Solução da 2ª Prova

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Segunda prova de estat´ıstica - seg.sem. de 2014
Henrique Dantas Neder- Professor Associado
12 de janeiro de 2015
1. Um juiz de futebol possui treˆs carto˜es no bolso. Um e´ todo
amarelo, outro e´ todo vermelho e o terceiro e´ vermelho de
um lado e amarelo do outro. Num determinado lance, o juiz
retira, ao acaso, um carta˜o do bolso e mostra a um jogador.
Qual e´ a probabilidade da face que o juiz veˆ ser vermelha
e da outra face, mostrada ao jogador, ser amarela? (Valor:
20 pontos)
Soluc¸a˜o:
A = {o juiz escolhe o terceiro carta˜o}
B = {o juiz veˆ a face vermelha e o jogador veˆ a face
amarela}
P (B) = P (A)× 1/2 = 1/3× 1/2 = 16
2. Duas ma´quinas A e B produzem 3000 pec¸as em um dia. A
ma´quina A produz 1000 pec¸as, das quais 3 % sa˜o defeitu-
osas. A ma´quina B produz as restantes 2000, das quais 1
% sa˜o defeituosas. Da produc¸a˜o total em um dia uma pec¸a
e´ escolhida ao acaso e, examinando-a, constata-se que e´ de-
feituosa. Qual e´ a probabilidade de que a pec¸a tenha sido
produzida pela ma´quina A? (valor: 20 pontos)
Soluc¸a˜o:
A = {A pec¸a e´ produzida pela ma´quina A}
B = {A pec¸a e´ produzida pela ma´quina B}
D = {A pec¸a e´ defeituosa}
P(A) = 1/3
P(B) = 2/3
P(D/A) = 0,03
1
P(D/B) = 0,01
P (A/D) = P (A∩D)P (D) =
P (A)×P (D/A)
P (D) =
P (A)×P (D/A)
P ((D∩A)∪(D∩B) =
P (A)×P (D/A)
P (A)×P (D/A)+P (B)×P (D/B) =
1/3×0,03
1/3×0,03+2/3×0,01 = 0, 6
3. Joga-se um dado duas vezes. Calcule a probabilidade condi-
cional de obter 3 na primeira jogada, sabendo que a soma
dos resultados foi 7. (Valor: 20 pontos)
Soluc¸a˜o:
A = {obte´m-se 3 na primeira jogada}
B = {A soma dos dados e´ 7}
P (A/B) = P (A∩B)P (B) =
1/36
6/36 = 1/6
4. Sejam A e B dois eventos independentes tais que P(A)=1/3
e P(B) = 1/2.
Calcule P (A∪B), P (A∪B) e P (A∩B) (Valor: 20 pontos)
Soluc¸a˜o:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = P (A) + P (B) −
P (A)× P (B) = 1/3 + 1/2− 1/3× 1/2 = 23
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = P (A) + P (B) −
P (A)× P (B) = 2/3 + 1/2− 2/3× 1/2 = 1/2
P (A ∩B) = P (A)× P (B) = 2/3× 1/2 = 1/3
5. Uma moeda equilibrada e´ jogada duas vezes. Sejam A e B
os eventos: A: cara na primeira jogada; B: cara na segunda
jogada. Verifique se A e B sa˜o independentes (Valor: 20
pontos)
Soluc¸a˜o:
Para que A sejam independentes e´ necessa´rio (e suficiente)
que seja verificada a sequinte relac¸a˜o (equac¸a˜o):
P (A ∩B) = P (A)× P (B)
2
P (A ∩B) = 1/4
P(A) = P(cara na primeira e na˜o cara na segunda) + P(cara
na primeira jogada e cara na segunda jogada) = 1/2×1/2+
1/2× 1/2 = 1/2
P(B) = P(coroa na primeira e na˜o coroa na segunda) +
P(coroa na primeira jogada e coroa na segunda jogada) =
1/2× 1/2 + 1/2× 1/2 = 1/2
P (A)× P (B) = 1/2× 1/2 = 1/4 = P (A ∩B)
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