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Geometria Analítica Lista de Exercícios – Cônicas (Hipérboles) 27 de Agosto de 2016 1 Cônicas(Hipérboles) Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja a diferença das distâncias, em valor absoluto, a dois pontos fixos desse plano é constante. F1 F2 P 1.1 Hibérbole – Definição |d(P, F1)− d(P, F2)| = 2a ou ∣∣∣|−−ÏPF1| − |−−ÏPF2|∣∣∣ = 2a Um ponto P só está na hipérbole, se e somente se:d(P, F1)− d(P, F2) = ±2a d(F1, F2) = 2c 2a < 2c 1.2 Hibérbole – Simetria A hipérbole é uma curva simétrica em relação a estas duas retas, como também em relação ao ponto C. P1 F1 F2A1 A2 P4 P3 P2 C 2c 2a Se P1 é um ponto da hipérbole, existem os P2, P3 e P4 tais que: P2 é o simétrico de P1 em relação à reta horizontal, P3 é o simétrico de P1 em relação à reta vertical, P4 é o simétrico de P1 em relação ao ponto C.d(A1, F1) = d(A2, F2)d(A1, A2) = 2a 1.3 Elementos Focos: são os pontos F1 e F2. Distância focal: é a distância 2c entre os focosF1F2 Vértices: são os pontos A1 e A2. Eixo real ou transitivo: é o segmentoA1A2 de comprimento 2a. Eixo imaginário ou conjugado: é o segmento B1B2 de comprimento 2b. A1 A2F1 F2C 2c B1 b a c B2 O valor de b é definido através da relação:c2 = a2 + b2 onde a, b e c são as medidas dos lados doo triângulo retângulo B2CA2 Lista № 4 Página 1 / 10 1.4 Assíntotas Geometria Analítica 1.4 Assíntotas As retas r e s, que contém as diagonais de referido retângulo, chamam-se assíntotas da hipérbole. O ângulo θ é chamado abertura da hipérbole. chama-se excentricidade da hipérbole ao número e dado por:e = ca mas c>a:.e>1. 1.5 Equação da Hipérbole de Centro na Origem do sistema 1ºcaso: O eixo real está sobre o eixo dos x Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma hipérbole de focos F1(−c,O) e F2(c,O). por definição, tem-se:|d(P, F1)− d(P, F2)| = 2a ou, em coordenadas:|√(x + c)2 + (y − 0)2 −√(x − c)2 + (y − 0)2| = 2a x y F1 F2A1 A2 P(x, y) ca √(x − c)2 + y2 −√(x + c)2 + y2= 2a√(x − c)2 + y2= 2a +√(x + c)2 + y2x2 + 2cx + c2 + y2= 4a2 + 4a√(x + c)2 + y2 + x2 + 2cx + c2 + y24a√(x + c)2 + y2= 4a2 + 4cx√(x + c)2 + y2= a + caxx2 − 2cx + c2 + y2= a2 + 2cx + c2a2x2x2 ( c2a2 − 1)− y2= c2 − a2(c2 − a2)x2 − a2y2= a2(c2 − a2)x2a2 − y2c2−a2 = 1 por causa da relação estabelecida entre a,b e c a expressão b2 = c2 − a2 é válida nos permitindo escrever desta forma:x2a2 − y2b2 = 1 a equação destacada é a equação reduzida da hipérbole de centro na origem e eixo real sobre o eixo dos x. Pode-se perceber que ela é semelhante a equação da elipse porém, enquanto ela é fruto da soma das distâncias, a equação da hipérbole parte da diferença. 2ºcaso: o eixo real está sobre o eixo dos y a equação reduzida desse caso se difere apenas pela troca de posição de variáveis:x2a2 − y2b2 = 1 1.6 Equação da hipérbole de Centro fora da Origem do Sistema Se o centro de uma hipérbole estiver em (h,k) e seu eixo principal for paralelo ao eixo x, então se os eixos forem transladados de forma que o ponto (h,k) seja a nova origem, a equação da hipérbole em relação ao novo sistema de coordenadas será x′2a2 − y ′2b2 = 1. Substituindo x′ por x − h e y ′ por y − k essa equação torna-se:(x−h)2a2 − (y−k)2b2 = 1 Lista № 4 Página 2 / 10 Geometria Analítica x y F1 B A1 D ca Da mesma forma, a equação da hipérbole com centro em (h,k) e o eixo real paralelo ao eixo dos y é:(y−k)2a2 − (x−h)2b2 = 1 x y A BC D x y A B C D 2 Exercícios Em cada um dos problemas de 1 a 10, determinar os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles dadas. esboçar o gráfico 1 x2100 − y264 = 1c2 = a2 + b2c2 = 100 + 64c2 = 164c = √164c = 2√41 V (±10, 0) F (±2√41, 0, ) e = √415 −10. 10. x −10. y 0 e AB CD E 2 y2100 − x264 = 1c2 = a2 + b2c2 = 100 + 64c2 = 164c = √164c = √41 V (0,±10) F (0,±2√41) e = √415 −10. x −10. 10. y 0A B C D E 3 9x2 − 16y2 = 144 9x2144 − 16y2144 = 1x216 − y29 = 1 c2 = a2 + b2c2 = 16 + 9c2 = 25c = √25c = 5 V (±4, 0) F (±5, 0) e = 54 −10. −5. 5. x −10. −5. 5. 10. y 0AB CD E 4 4x2 − 5y2 + 20 = 0 Lista № 4 Página 3 / 10 Geometria Analítica 4x220 − 5y220 = −1 (−1)y24 − x25 = 1 c2 = a2 + b2c2 = 5 + 4c2 = 9c = √9c = 3 V (0,±2) F (0,±3) e = 32 −10. −5. 5. x −10. −5. 5. 10. y 0 5 x2 − 2y2 − 8 = 0 x28 − 2y28 = 1x28 − y24 = 1 c2 = a2 + b2c2 = 8 + 4c2 = 12c = √12c = 2√3 V (±2√2, 0) F (±2√3, 0) e = 2√32√2 = √62 −10. −5. 5. x −10. −5. 5. 10. y 0 6 3x2 − y2 + 3 = 0 3x23 − y23 = −1 (−1)y23 − x21 = 1 c2 = a2 + b2c2 = 3 + 1c2 = 4c = √4c = 2 V (0,±√3) F (0,±2) e = 2√33 −10. −5. 5.x −10. −5. 5. 10. y 0 7 x2 − y2 = 1 x21 − y21 = 1 c2 = a2 + b2c2 = 1 + 1c2 = 2c = √2 V (1, 0) F (±√2, 0) e = √2 −3. −2. −1. 1. 2. x −4. −3. −2. −1. 1. 2. 3. 4. y 0 8 x2 − y2 = 2 x22 − y22 = 1 c2 = a2 + b2c2 = 2 + 2c2 = 4c = √4c = 2 V (√2, 0) F (±2, 0) e = √2 −3. −2. −1. 1. 2. x −4. −3. −2. −1. 1. 2. 3. 4. y 0 9 y2 − 4x2 = 1 y21 − x214 = 1 c2 = a2 + b2c2 = 1 + 14c2 = 54c =√ 54c = √52 V (0, 1) F (0,±√52 , ) e = √52 −1.5−1.−0.5 0.5 1. x −1.5 −0.75 0.75 1.5 y 0 10 2y2 − 4x2 = 1 Lista № 4 Página 4 / 10 Geometria Analítica y212 − x214 = 1 c2 = a2 + b2c2 = 12 + 14c =√ 34c = √32 V (0,±√22 ) F (0,±√32 ) e = √32√22 = √62 −1.5−1.−0.5 0.5 1. x −1.5 −0.75 0.75 1.5 y 0 Em cada um dos problemas 11 a 24, determinar a equação de hipérbole que satisfaz as condições dadas. 11 focos F(±5,0), vértices A(± 3,0)c2 = a2 + b252 = 32 + b225− 9 = b216 = b2 x29 − y216 = 1 16x2 − 9y2 = 144 12 focos (0,±3), vértices A(0,±2)c2 = a2 + b232 = 22 + b29− 4 = b25 = b2 y24 − x25 = 15y2 − 4x2 = 20 (−1) 4x2 − 5y2 + 20 = 0 13 vértices A(±4, 0), passando por P(8, 2)a = 4x2a2 − y2b2 = 1 (∗)8242 − 22b2 = 16416 − 4b2 4− 4b2 = 14b2 = 3b2 = 43 x216 − 3y24 = 1x2−12y216 = 1 x2 − 12y2 − 16 = 0 14 centro C(0,0),eixo sobre Oy, e b=8 e excentricidade 53b = 8 e e = ca = 53 (∗)c2 = a2 + b2 (∗∗)53 = 106 = ca = e y2a2 − x2b2 = 1y262 − x282 = 1y236 − x264 = 1 y2 1636 − x2964 = 1 (−1) 9x2 + 16y2 + 576 = 0 15 focos F(0,± 5), comprimento do eixo imaginário 4c2 = a2 + b2 (∗)52 = a2 + 2225− 4 = a2a2 = 21 y2a2 − x2b2 = 1y221 − x24 = 1 21x2 − 4y2 + 84 = 0 16 vértices A(±3, 0), equações das assíntotas y=±2xba = 2 a = 3b3 = 2b = 3 · 2b = 6 x29 − y236 = 1 17 vértices em (5,-2) e (3,-2), e um foco em (7,-2)C = ( 5+32 , −2+(−2)2 )= (4,−2)d(CF ) = (7− 4,−2− (−2)) = (3, 0)= |√32 + 02| = 3 = cd(CA1) = (5− 4,−2− (−2)) = (1, 0)= |√12 + 02| = 1 = a c2 = a2 + b2 (∗)9 = 1 + b28 = b2 (x−4)21 − (y+2)28 = 18(x − 4)2 − (y + 2)2 = 88(x2 − 8x + 16)− (y2 + 4y + 4)− 8 = 08x2 − y2 − 8x − 4y + 128 − 4− 8 = 0 8x2 − y2 − 64x − 4y + 116 Lista № 4 Página 5 / 10 Geometria Analítica 18 vértices em (5,5) e (5,-1), excentricidade e=2C = ( 5+52 , 5+(−1)2 ) = (5, 2)d(CA) = (5− 5, 5− 2) = | �.√3�2| = 3ca = e = 2 = 6362 = 32 + b236− 9 = b227 = b2 (y−2)29 − (x−5)227 = 13(y2−4y+4)−(x2−10x+25)27 = 03y2 − 12y + 12− x2 + 10x − 25− 27 = 0 (−1) x2 − 3y2 − 10x + 12y + 40 = 0 19 centro C(5,1), um foco em (9,1), eixo imaginário mede 4 √2d(CF ) = | �.√4�2| = 42b = 4√2b = 4√22b = 2√2 c2 = a2 + b216 = 8 + a216− 8 = a28 = a2 (x−5)28 − (y−1)28 = 1(x2 − 10x + 25)− (y2 − 2y + 1)− 8 = 0 x2 − y2 − 10x + 2y + 16 = 0 20 focos F1(-1,-5) e F2(5,-5), hipérbole equiláteraC = ( 5+(−1)2 , −5+(−5)2 ) = (2,−5)d(CF2) = F2 −C = (3, 0) = | �.√3�2| = 3 = cc2 = a2 + b2 (a = b→ a2 = b2)9 = 2a292 = a2 (x−2)292 − (y+5)292 = 12(x−2)29 − 2(y+5)29 = 12(x2 − 4x + 4)− 2(y2 + 10y + 25) = 9 2x2 − 2y2 − 8x − 20y + 51 = 0 21 vértices A1(-3, -4) e A2(-3, 4), hipérbole equilátera C = (−3+(−3)2 , −4+42 ) = (−3, 0)(a = b→ a2 = b2) y2a2 − (x+3)2b2 = 1y2−x2−6x−942 = 1y2 − x2 − 6x − 9 = 16y2 − x2 − 6x − 9− 16 = 0 x2 − y2 + 6x + 25 = 0 22 centro C(2, -3), eixo real paralelo a Oy, passando por (3, -1) e (-1, 0)(y+3)2a2 − (x−2)2b2= 1(−1+3)2a2 − (3−2)2b2 = 14a2 − 1b2 = 14b2a2b2 − a2a2b2 = 14b2 − a2= a2b2 (I) (y+3)2a2 − (x−2)2b2 = 1(0+3)2a2 − (−1−2)2b2 = 19a2 − 9b2 = 19b2a2b2 − 9a2a2b2 = 19b2 − 9a2= a2b2 (II) (I)= (II)4b2 − a2= 9b2 − 9a25b2= 8a2b2= 8a25 (III) retomando(I)32a25 − a2= 8a45 (5)32a2 − 5a2= 8a427a2= 8a4a2= 278 retomando(III)b2= �85 · 27�8b2= 275 8(y+3)2−5(x−2)227 = 18(y + 3)2 − 5(x − 2)2= 278(y2 + 6y + 9)− 5(x2 − 4x + 4)= 278y2 + 48y + 72− 5x2 + 20x − 20− 27= 0 5x2 − 8y2 − 20x − 48y − 25 = 0 23 centro C(-2,1), eixo real paralelo a Ox, passando por (0, 2) e (-5, 6) Lista № 4 Página 6 / 10 Geometria Analítica (x+2)2a2 − (y−1)2b2 = 1(0+2)2a2 − (y−1)2b2 = 14a2 − 1b2 = 1(4b2−a2)a2b2 = 14b2 − a2= a2b2 (I) (−5+2)2a2 − (6−1)2b2 = 19a2 − 25b2 = 19b2−25a2a2b2 = 19b2 − 25a2= a2b2 (II) 4b2 − a2= 9b2 − 25a29b2 − 4b2= 25a2 − a2b2= 24a25 4 · 24a25 − a2= 24a45 ��a2 ( 965 − 1)=��a2 24a2524a2 �5 = 91�5a2= 9124 4b2 − 9124= 91b224b2 (4− 91�24)= 91�24b2= 915 24(x+2)2−25(y−1)291 = 124(x2+4x+4)2−5(y2−2y+1)291 = 124x2 − 5y2 + 96x + 10y + (96− 5− 91)= 0 24x2 − 5y2 + 96x + 10y = 0 24 focos em(3, 4) e (3, -2), excentricidade e = 2C= ( 3+32 , (4+(−2))2 )= ( 62 , 22 ) = (3, 1)d(CF )= F −C = (3− 3, 4− 1)= (0, 3) = | �.√3�2| = 3e= 2 = ca2= 3aa= 32 (y−1)2a2 − (x−3)2b2 = 1 4(y2−2y+1)9 − 4(x2−6x+9)27 = 112y2−24y+12−4x2+24x−3627 = 112y2 − 24y + 12− 4x2 + 24x − 36= 27 12y2 − 4x2 − 24y + 24x − 51 = 0 Em cada um dos problemas 25 a 30, determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles dadas. esboçar o gráfico. 25 9x2 − 4y2 − 18x − 16y − 43 = 0 9x2 − 18x − 4y2 − 16y= 439(x2 − 2x + 1)− 4(y2 + 4y + 4)= 43 + 9− 169(x−1)236 − 4(y+2)236 = 3636(x−1)24 − (y+2)29 = 1 C= (1,−1)V= (−1,−2) , (3,−2)F= (1±√13,−2)e= √132 −3. −2. −1. 1. 2. 3. 4. x −4. −3. −2. −1. y0 26 x2 − 4y2 + 6x + 24y − 31 = 0x2 + 6x − 4y2 + 24y= 31(x2 + 6x + 9)− 4(y2 − 6y + 9)= 31 + 9− 36(x+3)24 − 4(y−3)24 = 44(x+3)24 − (y−3)21 = 1 C= (−3, 3)V= (−5, 3) , (−1, 3)F= (−3±√5, 3)e= √52 2 3 y 27 9x2 − 4y2 − 54x + 8y + 113 = 0 9x2 − 54x − 4y2 + 8y= −1139(x2 − 6x + 9)− 4(y2 − 2y + 1)= −113 + 81− 44(y−1)236 − 9(x−3)236 = 3636(y−1)29 − (x−3)24 = 1 C= (3, 1)V= (3,−2) , (−1, 3) , (3, 4)F= (3, 1±√13)e= √132 1. 2. 3. 4. 5. x 28 4x2 − y2 − 32x + 4y + 24 = 0 Lista № 4 Página 7 / 10 Geometria Analítica 4x2 − 32x − y2 + 4y= −244(x2 − 8x + 16)− (y2 − 4y + 4)= −24 + 64− 4(x−4)29 − (y−2)236 = 1 C= (4, 2)V= (1, 2) , (−1, 2)F= (4± 3√5, 2)e= √5 −2. 2. 4. 6. 8. 10. x −2. −1. 1. 2. 3. 4. 5. y 0 29 9x2 − y2 + 36x + 6y + 63 = 0 9(x2 + 6x + 4)− (y2 − 6y + 9)= −63 + 36− 9(y−3)236 − (x+2)24 = 1 C= (−2, 3)V= (−2,−3) , (−2, 9)F= (−2, 3± 2√10)e= √103 −4.−3.−2.−1. x −3. 3. 6. 9. y 0 30 16x2 − 9y2 − 64x − 18y + 199 = 0 16(x2 − 4x + 4)− 9(y2 + 2y + 1)= −199 + 64− 9(y+1)216 − (x−2)29 = 1 C= (2,−1)V= (2,−5) , (2, 3)F= (2,−6) , (2, 4)e= 54 −2.−1. 1. 2. 3. 4. 5. x −7.−6. −5.−4. −3.−2. −1. 1.2. 3.4. y 0 31 Obter a equação reduzida resultante de uma translação de eixos, classificar, dar os elementos e representar graficamente as equações a) x2 + 4y2 − 4x − 24y + 36 = 0 R. (x2 − 4x) + (4y2 − 24y) = −36(x2 − 4x + 4) + 4(y2 − 6y + 9) =���−36 + 4 +��4(9)(x−2)24 + 4(y−3)24 = 44(x−2)24 + (y−3)21 = 1 a2 = c2 + b24 = 1 + c23 = c2c = ±√3 a forma que a expressão apresenta caracteriza elipse cujo os elementos são: Centro: (2,3) Foco: F1(2−√3, 3) e F2(2 +√3, 3), eixo maior 4 e eixo menor 2. 2. 4. 2. 4. 0 cX = 2 cY = 3 Centro a = 2 b = 1 F1 F2 b) x2 − y2 − 8x − 4y + 11 = 0 R. (x2 − 8x)− (y2 + 4y) = −11(x2 − 8x + 16)− (y2 + 4y + 4) = −11 + 16− 4(x−4)21 − (y+2)21 = 1x′2 − y ′2 = 1 c2 = a2 + b2c2 = 1 + 1c = ±√2 a forma que a expressão apresenta caracteriza hipérbole cujo os elementos são: Centro: (4,-2) Foco: F1(4−√2,−2) e F2(4+√2,−2), eixo real 2 e eixo imaginário 2. 2. 4. 6. x −6. −4. −2. 2. y 0 CentroF1 F2 c) y2 − 8x + 6y + 17 = 0 Lista № 4 Página 8 / 10 Geometria Analítica R. (y2 + 6) = 8x − 17(y2 + 6 + 9) = 8x − 17 + 9(y + 3)2 = 8x�����:−8−17 + 9 ��� ��:y ′2(y − h)2 = 2p����:x′(x − h)y ′2 = 8x′ (y − k)2 = 2p(x − h) = 0 (∗)(y2 + 6) = 8x − 17(y + 3)2 = 8(x − 1);p = 4;k = −3;h = 1; a forma que a expressão apresenta caracteriza parábola cujo os elementos são: p=4, diretriz: x=-1, F(3,-3),V(1,-3) 1. 2. 3. 4. 5. 6. x −6. −4. −2. y0 cX = 3 cY = −3 FV d) 3x2 + 2y2 − 12x + 8y + 19 = 0 R. (x2 − 12x) + (y2 + 8y) = −193(x2 − 4x + 4) + 2(y2 + 4y + 4) = −19 + 3(4) + 2(4)3(x − 2)2 + 2(y + 2)2 = 13x′2 + 2y ′2 = 1 a2 = c2 + b212 = 13 + c212 − 13 = c23−26 = c2c = ±√16 = ± √66 a forma que a expressão apresenta caracteriza elipse cujo os elementos são: Centro: (2,-2) Foco: F (2,−2± √66 ), eixo maior √2 e eixo menor 2√33 . 2. x −2. y 0 CF1 F2 e) x2 + 2x + 8y − 15 = 0 R. (x2 + 2x) + 8y = 15(x2 + 2x + 1) = −8y + 15 + 1(x2 + 2x + 1) = −8y + 16 ��� ��:x′2(x + 1)2 = −8����:y ′(y − 2) (x − h)2 = 2p(y − k) = 0 (∗)(x2 + 2x) = −8y + 16(x + 1)2 = −8(y − 2);p = −4;k = 2;h = −1; a forma que a expressão apresenta caracteriza parábola cujo os elementos são: p=-4, diretriz: y=4, F(-1,0),V(-1,2) −4.−2. 2. x−2. 2.4. 6. y 0 EF f) 9x2 − 4y2 − 54x + 45 = 0 R. mudar a equação para forma:(x−h)2a2 − (y−k)2b2 = 1 Assim: (9x2 − 54x)− (4y2 − 0y) = −459(x2 − 6x)− 4(y2 − 0y) = −459(x2 − 6x + 9)− 4(y2) = −45 + 9(9)9(x − 3)2 − 4y2 = 36 pelas formulas de translaçãox′ = x − 3y ′ = y9x′236 − 4y ′236 = 3636x′24 − y ′29 = 1 a forma que a expressão apresenta caracteriza hipérbole cujo os elementos são: Centro: (3,0) Foco: F1(3−√13, 0) e F2(3 +√13, 0), eixo real 2 e eixo imaginário 3. −1 1 2 3 4 5 6 x −3.−2. −1. 1.2. 3.4. 5. y 0 A BF g) 9y2 − 25x2 − 90y − 50x = 25 Lista № 4 Página 9 / 10 Geometria Analítica R. 9(y2 − 10y)− 25(x2 + 2x) = 259(y2 − 10y + 25)− 25(x2 + 2x) =��25 + 9(25)����−25(1)9(y − 5)2 − 25(x + 1) = 225 9(y−5)2225 − 25(x+1)2225 =���1225225(y−5)225 − (x+1)29 = 1x′2 − y ′2 = 1 c2 = a2 + b2c2 = 1 + 1c = ±√2 a forma que a expressão apresenta caracteriza hipérbole cujo os elementos são: Centro: (-1,5) Foco: F (−1, 5 ± √34), V (−1, 5 ± 5), eixo real 10 e eixo imaginário 18. −4. x−4. 4. 8. 12. y 0A B V1 V2 Lista № 4 Página 10 / 10 Cônicas(Hipérboles) Hibérbole – Definição Hibérbole – Simetria Elementos Assíntotas Equação da Hipérbole de Centro na Origem do sistema Equação da hipérbole de Centro fora da Origem do Sistema Exercícios
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