aula 7

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Aula 07 – A Transformada Inversa de Laplace e sua Aplicação na 
Análise de Sistemas Dinâmicos
Na aula passada, discutimos qual é o procedimento utilizado para a aplicação da 
Transformada de Laplace na análise de sistemas dinâmicos. Aplicando a transformada nas equações 
diferenciais do sistema (modelo), conseguimos obter a transformada do sinal que queremos analisar. 
A partir de agora aprenderemos como dar o último passo no nosso método de análise, que é o 
cálculo da transformada inversa da resposta em s encontrada a fim de se determinar a expressão no 
tempo do sinal desejado.
A Transformada de Laplace Inversa também é um funcional, dado por:
Embora, a princípio, seja necessário calcular a integral da transformada inversa para se determinar a 
expressão do sinal no tempo, na análise de sistemas dinâmicos isto não será necessário em geral. 
Nossa estratégia será outra: a transformada do sinal no domínio da variável s pode ser desmembrada 
em um somatório de termos elementares, para os quais poderemos determinar facilmente a 
transformada inversa apenas por observação. Chamamos essa decomposição da transformada em 
termos elementares de expansão em frações parciais.
Transforma de Laplace Inversa via Expansão em Frações Parciais
As transformadas que encontraremos em circuitos elétricos e sistemas mecânicos sempre 
serão funções racionais da variável s:
,
as quais poderão ser desmembradas em frações parciais. Quer dizer, na forma
 .
Como sabemos que , podemos então deduzir que
A expansão em frações parciais acima será o procedimento que utilizaremos para determinar a 
transformada inversa dos sinais desejados do sistema. Como veremos nos exemplos a seguir, 
devemos apenas tomar um cuidado extra no caso em que as raízes forem complexas conjugadas ou 
que possuírem multiplicidade maior do que 1. Note que para determinarmos completamente a 
expressão de f(t), falta apenas determinarmos as constantes Ki presentes na expressão da expansão 
em frações parciais.
Para determinarmos as constantes Ki, utilizaremos um procedimento chamado cálculo de 
resíduos, extraído do Cálculo de Variáveis Complexas. Para entendermos a lógica por trás do 
procedimento, vamos imaginar o caso particular em que temos apenas duas raízes no denominador:
.
Repare que se multiplicarmos F(s) por (s+p1) e no resultado substituirmos s=-p1, teremos
,
o que nos permite determinar a constante K1.
1
Exemplo 1
Queremos determinar a transformada inversa de .
Solução
Repare que o denominador possui 3 raízes reais e distintas . Então, a expansão de 
F(s) em frações parciais deverá ser da forma
Para determinarmos as constantes K, utilizaremos o artifício discutido acima: 
, e .
Assim,
, 
 , 
.
Podemos, então, afirmar que
de modo que
.
Exemplo 2
Queremos determinar a transformada inversa de .
Solução
Repare que agora o denominador possui 3 raízes, sendo uma real e duas complexas conjugadas: 
. Analogamente, a expansão de F(s) em frações parciais deve ser da 
forma
.
Utilizaremos o mesmo procedimento, com o cuidado que as constantes Ki agora são números 
complexos:
, e .
Assim,
.
Repare que K2 e K3 são complexos conjugados. Isto sempre acontecerá nos nossos problemas, de 
modo que precisamos calcular apenas uma das constantes. Temos, então, que
Vamos nos concentrar nos dois últimos termos. Note que
2
No presente caso, temos que e . 
Podemos, então, pelo mesmo raciocínio concluir que
Exemplo 3
Queremos determinar a transformada inversa de .
Solução
Repare que agora o denominador possui 2 raízes reais, sendo que uma (s=-5) possui multiplicidade 
3: . Na expansão de F(s) em frações parciais devemos levar em conta a 
multiplicidade da raiz:
Para determinarmos K1, utilizaremos o procedimento já conhecido:
Para determinarmos as outras constantes, temos que saber como lidar com raízes de multiplicidade 
maior que 1. 
Para o cálculo de K2 fazemos:
Para o cálculo de K3, além de multiplicarmos por é necessário também derivar o resultado. 
Assim,
E, finalmente para o cálculo de K3 temos que multiplicar por e derivar 2 vezes o resultado. 
Ou seja,
Temos, então, que
Lembrando que e que , temos finalmente que
Exemplo 4
Queremos determinar a transformada inversa de .
Solução
Repare que agora o denominador possui 2 raízes complexas conjugadas, sendo que cada uma possui 
multiplicidade 2: . O procedimento é análogo ao do exemplo anterior, 
com a diferença que agora as constantes são complexas:
3
Então,
As outras constantes são dadas pelos complexos conjugados: e .
Temos, então, que
Lembre-se que vimos que
Logo, podemos concluir que
A Transformada Inversa de Laplace na Análise de Sistemas Dinâmicos
Como veremos nos exemplos a seguir, com o cálculo da Transformada Inversa de Laplace 
via expansão em frações parciais temos finalmente todas as ferramentas necessárias para a análise 
da resposta temporal dos sistemas dinâmicos.
Exemplo 1
No sistema mecânico indicado ao lado, u(t) representa uma força externa 
aplicada à massa m e y(t) representa o deslocamento vertical da massa ao longo do 
tempo. Considere que o sistema está inicialmente em repouso. Determine a 
expressão do deslocamento y(t) quando a entrada u(t) é um degrau unitário.
Dados: m=1, b=3 e k=2.
Solução
Esse sistema já foi modelado anteriormente. É fácil confirmarmos que o deslocamento y(t) obedece 
à equação diferencial
.
No presente problema, em particular, como a entrada é um degrau unitário, , a equação 
diferencial torna-se
.
Aplicando a Transformada de Laplace à equação diferencial, temos:
,
,
.
Como o sistema está inicialmente em repouso, temos e , e a equação acima 
simplifica para
.
Colocando Y(s) em evidência, temos
,
e, finalmente,
.
4
Substituindo os valores do problema na expressão literal de Y(s), temos
.
Para determinarmos y(t), precisamos calcular a transformada inversa de Y(s). Expandindo em 
frações parciais, temos
Já sabemos como calcular as constantes K1, K2 e K3:
,
 , 
.
Ou seja,
.
Com isso, fica fácil determinarmos a expressão no tempo y(t) para o deslocamento:
.
Outra forma de representarmos essa expressão é
, .
Podemos verificar a expressão determinada acima testando se as condições iniciais são respeitadas. 
Para , temos
A condição é de fato respeitada. Também temos que ter . 
Derivando y(t) temos
, .
Note que, de fato,
,
confirmando que a expressão determinada para y(t) está correta.
Figura 1
Observe na Figura 1 acima os gráficos da posição y(t) e velocidade dy(t)/dt da massa m em função 
do tempo. Note que à medida que o sistema tende ao equilíbrio, a massa tende para a posição 
y∞=0,5. De fato, no equilíbrio a massa m estaciona em uma posição y∞ em que a força da mola 
possui a mesma intensidade que a força de entrada u(t). Assim, temos , ou 
seja,
,
o que confirma que
.
5
Exemplo 2
Considere novamente o sistema do Exemplo 1. Agora, porém, temos b=4 
e k=5. Além disso, no instante em que o degrau unitário é aplicado na entrada u(t) 
a massa apresenta um deslocamento para baixo de valor 2 e uma velocidade para 
cima de valor 6. Queremos determinar a expressão de y(t) nessas novas 
condições. Novamente temos m = 1.
Solução
Note que a equação diferencial literal permanece a mesma:
,
de modo que temos a mesma expressão após a aplicação da transformada de Laplace:
.
Observe, também, que as condições iniciais e não são mais nulas. Reorganizando a 
expressão acima, temos
.
Podemos, então, determinar Y(s) como sendo
.
Substituindo na expressão acima o valor dos parâmetros m, b e k, além das condições inicias 
 e , temos
Precisamos, para terminar, determinar a transformadainversa de Y(s). Note que, agora, o 
denominador de Y(s) possui raízes complexas conjugadas devido ao termo , cujas 
raízes são
.
Expandindo Y(s) em frações parciais temos:
.
Então,
.
Note que 
.
Ou seja,
.
A determinação de y(t) a partir de Y(s) é direta:
, .
6
Podemos verificar se as condições iniciais estão sendo respeitadas pela expressão determinada:
(OK!)
Derivando y(t) temos,
.
Então,
(OK!)
Os gráficos da posição y(t) e velocidade dy(t)/dt da massa em função do tempo estão desenhados na 
Figura 2 abaixo. No presente problema, a massa tende para a posição y∞=0,2 à medida que o 
sistema tende ao equilíbrio. Isso porque
.
Figura 2
7
	Exemplo 1
	Solução
	Exemplo 2
	Solução
	Exemplo 3
	Solução
	Exemplo 4
	Solução