Auxílio estudo Sequencias e Séries

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1- Sequências 
 
1.1 - Sequência Numérica 
1, 2, 3, 4, ..., n, ... 
a1 a2 a3 a4 an 
 
 
1.2 Sequência an 
i) Uma sequência an é convergente, ou seja, converge para um nº L, se: 
 
Lim an = L 
 n=∞ 
 
ii) Uma sequência é divergente se an = +/- ∞ 
Lim an = n 
 n=∞ 
Ex: 
Lim 1/n = 0 , ou seja, converge (convergiu a zero) 
 n=∞ 
 
2- Séries numéricas 
2.1 – Série da somatória das sequências 
 ∞ 
a1+a2+a3+,....+an+.... = Σ an 
 n=1 
Se a sequência das somas parciais convergir para um limite L, dizemos que ela converge e 
que a soma é L, neste caso dizemos: 
 ∞ 
a1+a2+a3+,....+an+.... = Σ an = L 
 n=1 
Caso contrário, a série diverge. 
 
Ex: 
a) 
 ∞ 
a1+a2+a3+,....+an+.... = Σ (n+1)/n = (1+1)/1 + (2+1)/2 + (3+1)/3 + ... = ∞ 
 n=1 a1=2 a2= 3/2 a3= 4/3 
 (resultados maiores que 1) 
 
2.2 – Série geométrica 
 ∞ 
a+ a.r+ a.r²+ a.r³+ ... + a.r^n-1+ ... = Σ a.r^n-1 
 n=1 
 
Se lrl < 1 a série geométrica acima é convergente e sua soma é dada por: 
S= a/1-r 
Se lrl > ou = a 1, a série geométrica diverge 
 
Ex1: 
∞ 
Σ 6.(1/64)^n-1 
n=1 
a= 6 (numero sozinho) 
r= 1/64 (numero elevado a n) 
lrl = l1/64l < 1 ou seja, converge! 
 
Se a série converge, fazemos a somatória: 
S= a/1-r 
S= 6/1-(1/64) 
S= 6/(63/64) = 384/63 (A série convergiu para 384/63) 
 
Ex2: 
∞ 
Σ 1/2^2n+3 
n=1 
Algumas vezes temos que melhorar a fração para poder entender qual é o termo “a” e 
o termo “r” 
1/2^2n+3 = 1/2^2n . 2^3 = 1/(2^2)^n . 8 = 1/4^n . 8 = (1/4)^n . 1/8 
Simplificando a equação para: 
∞ 
Σ (1/4)^n . 1/8 
n=1 
 
Onde: 
a= 1/8 (numero sozinho) 
r= 1/4 (numero elevado a n) 
lrl= l1/4l < 1 ou seja, converge! 
 
S= a/1-r 
S= (1/8)/1-(1/4) 
S=(1/8)/(3/4) = 1/6 
2.3 Propriedades das séries 
 
Σ an = A e Σ bn = B 
 
Σ (an+bn) = Σ an + Σ bn = A+B 
 
Ou seja, quando há soma ou subtração de dois termos na somatória, podemos 
resolver em partes e somar os resultados 
Ex: 
∞ ∞ ∞ 
Σ [(3^n-1)-1]/6^n-1 = Σ (3^n-1)/6^n-1 - Σ 1/6^n-1 
n=1 n=1 n=1 
 
 
 
(A) 
 
Σ (3^n-1)/6^n-1 
 
a= 1 
r=3/6 
 
 
 
 
 
(B) 
Σ 1/6^n-1 
 
a=1 
r=1/6 
 
 
Subtraia os resultados: 
A-B = 2-(6/5) = 4/5 (A somatória convergiu para: quatro quintos) 
 
 
 
 
 
 
 (A) 
 
 
 
 (B) 
 
lrl= l3/6l < 1 ou seja, converge! 
 
S= a/1-r 
S= 1/1-(3/6) 
S=1/(3/6) = 2 
lrl= l1/6l < 1 ou seja, converge! 
 
S= a/1-r 
S= 1/1-(1/6) 
S=1/(5/6) = 6/5 
2.4 – Testes de convergência/divergência para SERIES (somatória Σ) 
 
2.4.1 – Teste do n-ésimo termo p/ DIVERGENCIA 
 
Uma série Σan diverge se o Lim an ≠ 0 
 n=∞ 
 
Ex: 
∞ 
Σ (n²+1)/n 
n=1 
 
Lim (n²+1)/n = ∞/∞ L’H  Lim (2n)/1 = ∞ ≠ 0 ou seja, diverge! 
n=∞ n=∞ 
 
Caso esse teste dê igual a zero, ele é inconclusivo! 
 
2.4.2 – Teste da razão 
Para esse teste devemos montar a Σ an o seguinte limite: 
Lim (an+1)/an = p . Então: 
 n=∞ 
(1) Se p<1, então Σ an CONVERGE 
(2) Se p>1, então Σ an DIVERGE 
(3) Se p=1, o teste é inconclusivo (NPC – Nada pode concluir) 
 
 Ex: 
 
 
 
an= n²/n! 
an+1 = (n+1)²/(n+1)! 
 
(an+1)/an = [(n+1)²/(n+1)!]/(n²/n!) = [(n+1)²/(n+1)!] x (n!/n²) = [(n+1)²/(n+1)n!] x (n!/n²) = 
= (n+1) / n² 
P.S: SEMPRE QUE 
APARECER FATORIAL 
USAR ESSE TESTE! 
∞ 
Σ n²/n! 
n=1 
Após as simplificações aplicar o limite! 
 
Lim (n+1)n = ∞/∞  L’H  Lim 1/2n = 1/∞ = 0 
n=∞ n=∞ 
 
 
2.4.3 – Teste da raiz 
Este teste só pode ser usado caso haja potência n-ésima na somatória, cuja o n seja positivo e 
esteja sozinho na potência – a^n ou n^a, então substituímos a somatória pelo limite: 
Lim n√an = p. Então: 
n=∞ 
(1) Se p<1, então Σ an CONVERGE 
(2) Se p>1, então Σ an DIVERGE 
(3) Se p=1, o teste é inconclusivo (NPC – Nada pode concluir) 
 
Ex: 
 
 
 
Lim n√(n²/2n) = Lim n√n²/ n√2n = Lim (n√n)²/ 2 = Lim (1)²/ 2 = 
n=∞ n=∞ n=∞ n=∞ 
 = 1/2 < 1 ou seja, CONVERGE 
 
2.4.3 – Teste da Integral. 
Para resolver esse teste você deve colocar a sua sequência an em uma função, ou seja an=f(x) 
e aplica a integral nessa função. (converge se chegar em um número p e diverge caso dê 
infinito) 
 
 
an= 1/n²  f(x)= 1/x² 
 
 
 
∞ 
Σ n²/2n 
n=1 
∞ 
Σ 1/n² 
n=1 
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 
∫ 1/x² dx  ∫ x-² dx  x-²+1 /(-2+1) l = x-1/-1 l = -1/x l = - ( Lim 1/x - 1/1) = 1 ou seja - CONVERGE 
1 1 1 1 1 x=∞ 
 
 
2.4.4 – Teste (definição) p-série 
Uma série do tipo Σ 1/np é denominado p-série e, além disso, se: 
p>1 – A série CONVERGE! 
p<= 1 – A série DIVERGE! 
 
Ex: 
 
 
 
 
2.4.5 – Teste da SÉRIE ALTERNADA 
Esse teste é de CONVERGENCIA de uma série alternada, ou seja 
 
(1) un é positivo 
(2) Os termos de un são decrescentes 
(3) Lim um = 0 
n=∞ 
Ex: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∞ 
Σ 1/n3/4 p=3/4 < 1 DIVERGE 
n=1 
∞ 
Σ (-1)n . un, onde: 
n=1 
∞ 
Σ (-1)n . 1/n 
n=1 
 
un= 1/n = 1/1, 1/2, 1/3 .... 
 
Analisando: 
(1) un é positivo 
(2) Os termos de un são decrescentes 
(3) Lim um = 0 
n=∞ 
Ou seja, CONVERGE 
 
2.5 – Séries de Potências 
Série de potência é uma série onde além da incógnita n, também temos o X, onde 
X=a. Nesse caso devemos seguir ou pelo método do teste da razão ou raiz. 
Obs: 
(1) Uma série Σ an é dita absolutamente convergente se: Σ lanl (somatória do módulo 
de an) converge 
(2) Se Σ lanl converge, então Σ an converge 
(3) Isolar o valor de X entre -1 e 1, para saber o que acontece nos extremos -1< X < 1 
 
Ex: 
 
 
 
 
 
∞ 
Σ (X+5)n 
n=0 
1º passo: escolher o teste (razão ou raiz?), neste caso escolhemos raiz... 
Lim l n√(X+5)n l (módulo da raíz enésima de X mais 5 elevado a n) corta os n 
n=∞ 
 
Lim l (X+5) l = 
n=∞ 
 
-1< (x+5) < 1 
-1 -5 < X < 1 -5 
-6 < X < -4 
 
-6 O--------I.C----------O -4 (Se alguma convergir, o extremo referente é pintado, 
(divergir sem pintar) – I.C = Intervalo de Convergencia 
 
(Agora, verificar o que acontece nos extremos) 
 
2º passo: Testar: 
p/ X = -6 
 
∞ ∞ ∞ 
Σ (X+5)n = Σ (-6+5)n = Σ (-1)n 
n=0n=0 n=0 
 
*Sequência Alternada 
∞ 
Σ (-1)n - un= 1, não decresce, ou seja, DIVERGE (não pinta o extremo -6) 
n=0 
 
 
p/ X = -4 
 
∞ ∞ ∞ 
Σ (X+5)n = Σ (-4+5)n = Σ 1n = 1+1+1+1+1+1+... = ∞ ou seja, DIVERGE (não pinta 
n=0 n=0 n=0 o extremo -4) 
 
I.C = ] -6, -4 [ 
Regra: 
I.C = ] ..., ...[ (Os dois DIVERGEM) 
I.C = [ ..., ...] (Os dois CONVERGEM) 
 
2.5 – Séries de TAYLOR E MACLAWIN 
2.4.5 –Série de Taylor