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Unidade 5 - Distribuição Discreta de Probabilidades

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Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha
Distribuições Discretas de 
Probabilidades
Unidade 5
Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha
Ementa:
5.1 – Introdução
5.2 – Distribuição Binomial
5.3 – Distribuição de Poisson
5 – Distribuições Discretas
Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha
5.1 – Introdução
Como vimos na unidade 4, as distribuições de
probabilidade nos dão a probabilidade de ocorrência
de cada valor de uma determinada variável aleatória,
e possuem como condições de existência:
-Somatório das probabilidades é igual a 1;
-A probabilidade de ocorrência de cada valor de x é
um número entre 0 e 1.
5 – Distribuições Discretas
Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha
Nesta unidade, estudaremos duas distribui-ções de
probabilidades de variáveis aleató-rias discretas de
grande aplicação prática e suas características.
Estas distribuições são:
-Distribuição Binomial, que trata de contagem de
sucessos em experimentos;
-Distribuição de Poisson, que trata de contagem de
eventos em um meio contínuo.
Existem diversas outras distribuições discretas, tais
como: Uniforme, Pascal, Geométrica, Multinomial e
Hipergeométrica.
5 – Distribuições Discretas
Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha
5.2 – Distribuição Binomial
Nesta seção, veremos como determinar as
probabilidades para uma categoria importante de
distribuição de probabilidades: Os experimentos
Binomiais.
Esses experimentos têm a característica de
apresentarem exatamente dois resultados
complementares: em processos industriais, as peças
falham ou não falham. Na medicina, um paciente vive
ou morre. Em propaganda, um consumidor reconhece
um produto, ou não.
5 – Distribuições Discretas
Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha
Um experimento binomial satisfaz as seguintes
condições:
1. O experimento deve comportar um número fixo de
provas.
2. As provas devem ser independentes (o resultado
de uma prova não afeta as probabilidades das
outras provas).
3. Cada prova deve ter todos os resultados
classificados em duas categorias.
4. As probabilidades devem permanecer constantes
para cada prova.
5 – Distribuições Discretas
Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha
Notação para a Distribuição Binomial:
S e F (sucesso e falha) denotam as duas cate-gorias
possíveis de todos os resultados.
p e q denotam as probabilidades de S e F.
P(S)=p P(F)=1-p=q
n = denota o número fixo de provas;
x = denota o número de sucessos em n provas;
p = prob. de sucesso em 1 das n provas;
q = prob. de falha em 1 das n provas;
P(x)=prob. de se obter exatamente x sucessos em n
provas.
5 – Distribuições Discretas
Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha
Exemplo:
Dado que 10% das pessoas são canhotas, suponha
que queiramos achar a probabilidade de se obter
exatamente 3 estudantes canhotos em uma turma de
15 estudantes.
a. Trata-se de um experimento binomial?
b. Em caso afirmativo, identifique os valores de n, x,
p e q.
5 – Distribuições Discretas
Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha
Solução:
a. Verificando as condições para um experimento
binomial:
1. O número de provas (15) é fixo.
2. As provas são independentes. O fato de um
estudante ser canhoto ou destro não afeta a
probabilidade de outro estudante ser canhoto.
3. Cada prova tem duas categorias (um estudante é
canhoto ou não).
4. A probabilidade (0,10) é constante.
5 – Distribuições Discretas
Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha
b. Como o experimento é binomial, temos:
1. Com 15 estudantes em uma turma, n = 15.
2. Queremos 3 estudantes canhotos (sucesso), assim
x = 3.
3. A probabilidade de um estudante ser canhoto é
0,10 e, assim, p=0,10.
4. A probabilidade de falha (não canhoto) é 0,9, logo
q = 0,9.
5 – Distribuições Discretas
Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha
Como determinar então a probabilidade em um
experimento binomial?
Estudaremos 2 métodos nesta unidade:
-Cálculos com a fórmula da probabilidade;
-Utilização da tabela de probabilidades binomiais.
5 – Distribuições Discretas
Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha
A fórmula da probabilidade:
Em um experimento binomial, as probabili-dades
podem ser calculadas utilizando-se a fórmula da
probabilidade binomial:
com: P(x) = prob. de x sucessos em n provas
n = número de provas
x = número de sucessos
p = prob. de sucesso em qualquer prova
q = prob. de falha em qualquer prova
5 – Distribuições Discretas
xnx qp
xxn
n
xP 

 ..
!)!.(
!
)(
Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha
Nesta fórmula, repare que:
Portanto, ela também pode ser escrita como:
Alguns autores ainda preferem:
Na prática, todas as fórmulas são iguais e produzem
o mesmo resultado.
5 – Distribuições Discretas
!)!.(
!
xxn
n
Cxn


xnx
xn qpCxP
 ..)(
xnx pp
x
n
xP 





 )1.(.)(
Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha
Utilização da tabela de probabilidades:
Em alguns casos, podemos achar facilmente as
probabilidades binomiais recorrendo a uma tabela de
probabilidades binomiais. Nesta tabela, localiza-se
inicialmente o valor de n, em seguida o valor de x e
procura-se na tabela na coluna da respectiva
probabilidade p, como mostrado abaixo.
No slide a seguir é mostrado um exemplo de tabela
para n=15 e p=0,10.
5 – Distribuições Discretas
Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha
Em tabelas maiores, existem
diversos valores de n, cada um dos
quais com as diversas
probabilidades p mostradas
conforme o exemplo ao lado.
5 – Distribuições Discretas
n x p
0,10
15 0 0,206
1 0,343
2 0,267
3 0,129
4 0,043
5 0,010
6 0,002
7 0+
8 0+
9 0+
10 0+
11 0+
12 0+
13 0+
14 0+
15 0+
Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha
Exemplo:
Aplicando a fórmula da probabilidade binomial,
determine a probabilidade de se obter 3 estudantes
canhotos em uma turma de 15 alunos, dado que 10%
da população são canhotos.
Solução:
Dos dados fornecidos, temos:
n=15
x= 3
p=0,10 e q = 1 – 0,10 = 0,90
5 – Distribuições Discretas
Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha
Portanto, temos:
Então, há a probabilidade de 12,9% de que hajam 3
estudantes canhotos em uma sala.
Nota: Somente arredonde os valores no final do
cálculo, para evitar erros.
5 – Distribuições Discretas
129,0282429536,0.001,0.455)3(
9,0.001,0.
!3!.12
!12.13.14.15
)3(
9,0.10,0.
!3)!.315(
!15
)3(
..
!)!.(
!
)(
12
3153








P
P
P
qp
xxn
n
xP xnx
Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha
Exemplo:
Refaça o exemplo anterior, utilizando a tabela para
resolver o problema.
Solução:
Localizamos n=15 na tabela dada, em seguida,
localizamos x=3 e lemos o valor da probabilidade
diretamente da coluna de p=0,10 na tabela, obtendo
então:
P(3) = 0,129
5 – Distribuições Discretas
Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha
Em muitos cálculos, as probabilidades solicitadas
são compostas de várias probabilidades, como no
exemplo abaixo:
Exemplo:
Qual a prob. de se obter pelo menos 3 alunos
canhotos em uma turma de 15 alunos?
Solução:
Este cálculo (pelo menos 3), exige que se conheçam
todas as probabilidades para x igual a 3 até 15, para
que somadas seja encontrada a probabilidade de pelo
menos 3.
5 – Distribuições Discretas
Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha
Traduzindo em números:
P(pelo menos 3) = P(3)+P(4)+P(5)+...+P(15)
P(pelo menos 3)= 0,129+0,043+0,010+0,002
+0+0+0+0+0+0+0+0+0 = 0,184
Outra forma de calcular:
P(pelo menos 3) = 1 – P(menos que 3)
P(pelo menos 3) = 1 – (P(0)+P(1)+P(2))P(pelo menos 3) = 1 – (0,206+0,343+0,267)
P(pelo menos 3) = 1 – 0,816 = 0,184
Em muitos cálculos, é mais fácil trabalhar com a
segunda forma de cálculo.
5 – Distribuições Discretas
Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha
Média, variância e desvio padrão da distribuição
binomial:
Na unidade 6, vimos as fórmulas gerais para o
cálculo da média, desvio padrão e variância de uma
distribuição de probabilidades qualquer:
5 – Distribuições Discretas
  )(. xPx
    22222 ])(.[ou )](.[    xPxxPx
222 ))](.([ou )](.)[(    xPxxPx
Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha
Para uma distribuição binomial, as fórmulas podem
ser simplificadas para:
Média (ou valor esperado):
Variância:
Desvio padrão:
5 – Distribuições Discretas
pn.
qpn ..2 
qpn ..
Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha
Exemplo:
Qual o número de canhotos esperado para uma sala
de aula com 15 alunos, sabendo que a probabilidade
de alguém ser canhoto é de 0,10?
Solução:
Sabendo que n=15 e p=0,10, temos:
5 – Distribuições Discretas
5,11,0.15.  pn
35,19,0.1,0.15..2  qpn
161895,135,1..  qpn
Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha
5.3 – Distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson é uma distribuição discreta
de probabilidade, aplicável a ocorrências de um
evento em um intervalo especificado. A variável
aleatória x é o número de ocorrências do evento em
um intervalo. O intervalo pode ser o tempo, a
distância, a área, o volume ou outra unidade
contínua análoga.
Ela é utilizada também como modelo matemático da
chegada de pessoas em filas.
5 – Distribuições Discretas
Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha
A probabilidade de Poisson pode ser encontrada com
a seguinte fórmula:
Onde:
x = número de ocorrências da variável aleatória em
um determinado intervalo.
µ = média de ocorrências da variável aleatória pela
unidade do intervalo.
e = 2,71828....
5 – Distribuições Discretas
!
.
)(
x
e
xP
x  

Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha
A distribuição de Poisson exige:
-Que a variável aleatória x seja o número de
ocorrências de um evento em um intervalo.
-Que as ocorrências sejam aleatórias.
-Que as ocorrências sejam independentes umas das
outras.
-Que as ocorrências sejam distribuídas
uniformemente sobre o intervalo considerado.
5 – Distribuições Discretas
Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha
A distribuição de Poisson tem os seguintes
parâmetros:
-Média µ
-Desvio padrão σ=√ µ
Ela difere da distr. Binomial em 2 aspectos:
1 – A distr. Binomial é afetada pelo tamanho amostral
n e pela prob. p, enquanto que a distr. de Poisson é
afetada apenas pela média µ.
2 – Em uma distr. Binomial, x pode variar de 0 a n,
enquanto que na de Poisson não há limite superior.
5 – Distribuições Discretas
Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha
Exemplo:
Para fins de análise dos impactos das bombas V-1 na
Segunda Guerra Mundial, o sul de Londres foi
subdividido em 576 regiões com área de 0,25km2
cada. A área conjunta das 576 regiões foi atingida
por 535 bombas.
Escolhida aleatoriamente uma região, determine a
probabilidade de ela ter sido atingida exatamente 2
vezes.
5 – Distribuições Discretas
Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha
Solução:
Aplica-se a distribuição de Poisson porque estamos
em face de ocorrências de impactos de bombas no
intervalo de uma região. O número médio de
impactos por região é:
µ=535/576=0,929
Como queremos a probabilidade de dois impactos em
uma região, fazemos x=2 na fórmula:
5 – Distribuições Discretas
170,0
2
395,0.863,0
!2
.929,0
!
.
)(
929,02

 e
x
e
xP
x 
Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha
Às vezes, utiliza-se a distribuição de Poisson como
aproximação da distribuição binomial, quando n é
grande e p é pequeno. Uma regra empírica consiste
em utilizar esta aproximação quando n ≥ 100 e n.p ≤
10. Ao utilizarmos a distribuição de Poisson como
aproximação da binomial, podemos achar o valor da
média com a fórmula µ=n.p.
5 – Distribuições Discretas
Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha
Exemplo:
Apostando no número 7 em uma roleta de cassino,
tem-se a probabilidade de ganhar igual a 1/38.
Suponha que apostemos no número 7 em cada uma
das 500 rodadas.
a. Determine o número médio de ganhos em tais
experimentos.
b. Determine a probabilidade do número 7 ocorrer
exatamente 13 vezes.
5 – Distribuições Discretas
Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha
Solução: Não dá para utilizarmos a fórmula da distr.
Binomial, pois n! = 500!, e as calculadoras não
fazem esta conta.
Mas n =500 e n.p=13,158 (quase satisfaz a condição
empírica, portanto, podemos usar a distr. de Poisson
para aproximar). Assim:
Comparando com P(13)=0,111, vemos que o erro
cometido é muito pequeno.
5 – Distribuições Discretas
1098,0
!13
.158,13
!
.
)(
158,13
38
1
.500.
158,1313


 e
x
e
xP
pn
x 


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