5. FUNÇÕES DO 2º GRAU

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01 
Prof. Esp. José Antonio 
 
 
1 
ALUNO: 
FUNÇÃO 
 DO2º GRAU 
 
E SUAS TECNOLOGIAS 
 
OU QUADRÁTICA 
 
MATEMÁTICA
A 
 
Prof. José Antonio 
 
 
 
 
 
 
Álgebra – Funções 
 
INTRODUÇÃO 
Para entender a Função de 2º Grau - importante tema 
para o Enem -, acompanhe o seguinte raciocínio: na física, 
sabe-se que a trajetória de um projétil lançado 
obliquamente em relação ao solo horizontal é um arco de 
parábola com a concavidade voltada para baixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Adotando a origem O do sistema de eixos coordenados 
no ponto de lançamento, pode-se demonstrar que a altura 
atingida, num determinado instante, por esse projétil 
(ordenada y) e a distância alcançada, nesse mesmo 
instante, na horizontal (abscissa x) relacionam-se de acordo 
com a função definida pela sentença y = A.x2 + B.x, na qual 
A é uma constante que depende do ângulo de tiro, da 
velocidade vo de lançamento e da aceleração local da 
gravidade, e B é um valor constante que depende do 
ângulo do tiro. Tal função descrita acima é uma função 
polinomial do 2º grau ou também conhecida como função 
quadrática. Esta função tem aplicação em diversos 
cálculos. 
 
DEFINIÇÃO 
Função Polinomial do 2º Grau ou Função Quadrática é a 
função real definida por: 
 
f(x) = ax
2
 + bx + c 
 
onde a, b e c são coeficientes reais, sendo a ≠ 0.Vejamos 
alguns exemplos de função quadrática: 
a) y = x
2
 – 5x + 6, na qual a = 1, b = -5 e c = 6 
b) y = - x
2
 + x + 4, na qual a = - 1, b = 1 e c = 4 
c) y = 3x
2
 – 4x, na qual a = 3, b = -4 e c = 0 
d) y = 2x
2
 – 1, na qual a = 2, b = 0 e c = -1 
 
PROPRIEDADES GRÁFICAS 
O gráfico da Função Polinomial do 2º Grau y = ax
2
 + bx + c 
é uma parábola cujo eixo de simetria é uma reta vertical, 
paralela ao eixo y ou até mesmo o próprio eixo y, passando 
pelo vértice da parábola. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCAVIDADE DA PARÁBOLA 
A parábola pode ter a concavidade voltada para cima ou 
para baixo. A parábola tem a concavidade voltada para 
cima quando a > 0 enquanto tem a concavidade voltada 
para baixo quando a < 0. Observe: 
 
 
 
a> 0 a < 0 
 
Interseção da parábola com o eixo x (eixo das 
abscissas): 
A parábola intercepta o eixo x (eixo das abscissas) no 
ponto (x,0), ou seja, sempre que y for igual a zero. Logo, 
temos que ax
2
 + bx + c = 0. As raízes da função são raízes 
da equação do 2º grau, ou seja, x = 
 √ 
 
 
Repare que, sendo ∆ = b
2
 – 4ac, podemos ter: 
Δ < 0 = a parábola não intercepta o eixo Ox. 
Δ = 0 = a parábola é tangente ao eixo Ox. 
Δ > 0 = a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos 
distintos. 
Observe as possibilidades descritas abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
01 
MATEMÁTICA – Prof. José Antonio 
 
INTERSEÇÃO DA PARÁBOLA COM O EIXO Y (EIXO 
DAS ORDENADAS): 
A parábola intercepta o eixo das ordenadas sempre 
quando temos o valor de x igual a zero, ou seja, y = a.0
2
 + 
b.0 + c = 0 + 0 + c = c. Logo, a parábola intercepta o eixo 
das ordenadas no ponto (0,c). 
 
VÉRTICE DA PARÁBOLA: 
O vértice da parábola determina o ponto de mínimo ou 
de máximo da função. Tal vértice será o par ordenado 
(xv,yv). 
Para determinarmos os vértices de uma parábola temos 
que encontrar o par ordenado de pontos que constituem as 
coordenadas de retorno da parábola. Esse ponto de retorno 
da parábola, mais conhecido como vértice da parábola, 
pode ser calculado com base nas expressões matemáticas 
envolvendo os coeficientes da função do 2º grau dada pela 
lei de formação y = ax² + bx + c. 
 
 
Exemplo 2: Determine o vértice da parábola: 
a) x
2
 – 2x – 3 
b) – x
2
 – 4x 
c) x
2
 – 4 
 
Exemplo 3: Dada a função f(x) = 3x
2
 – 4x + 1, determine: 
a) f(2) 
b) f(1) 
c) f(0) 
 
Exemplo 4: Seja f: R R a função definida por f(x) = 4x2 – 
4x + 3. Determine x, se houver, para que se tenha: 
a) f(x) = 3 
b) f(x) = –1 
 
Exemplo 05: Determine o valor de m para que a função 
f(x) = 4x
2
 – 4x – m tenha zeros duplos: 
 
Exemplo 06: Para que valores reais de k a função 
 f(x) = (k – 1)x
2
 – 2x + 4 não admite zeros reais? 
 
Exemplo 07: Calcule o valor de k de modo que a função 
f(x) = 4x² – 4x – k não tenha raízes, isto é, o gráfico da 
parábola não possui ponto em comum com o eixo x. 
 
Exemplo 08: Determine os valores de m, para que a função 
f(x) = (m – 2)x² – 2x + 6 admita raízes reais. 
 
Exemplo 09: (UCSal-BA) Determine os pontos de 
intersecção da parábola da função f(x) = 2x² – 3x + 1, com o 
eixo das abscissas. 
Exemplo 10: A representação cartesiana da função 
f(x) = ax
2
 + bx + c é a parábola abaixo. Tendo em vista esse 
gráfico, podemos afirmar que: 
 
 
(A) a<0, b<0 e c>0 
(B) a>0, b>0 e c<0 
(C) a>0, b>0 e c>0 
(D) a<0, b>0 e c<0 
(E) a<0, b>0 e c>0 
 
Exemplo 11: (ENEM 2000) 
Um boato tem um público alvo e alastra-se com 
determinada rapidez. Em geral, essa rapidez é 
diretamente proporcional ao número de 
pessoas desse público que conhece o boato e 
diretamente proporcional também ao número 
de pessoas que não o conhece. Em outras 
palavras, sendo R a rapidez e propagação, P o público-alvo 
e x o número de pessoas que conhece o boato, tem-se: 
R(x) = kx(P – x), em que k é uma constante positiva 
característica do boato. Considerando o modelo acima 
descrito, se o público-alvo é de 44000 pessoas, então a 
máxima rapidez de propagação ocorrerá quando o boato for 
conhecido por um número de pessoas igual a: 
a) 11000 
b) 22000 
c) 33000 
d) 38000 
e) 44000 
 
Solução: Sendo P = 44 000 temos R(x) = kx(44 000 – x) 
R(x) = -kx
2
 + 44 000kx 
Para se obter o número de pessoas onde teremos a 
máxima rapidez de propagação, basta utilizar o xv = - b/2a = 
-44 000/-2 = 22 000 
Letra B. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 12: A trajetória da bola, num chute a gol, 
descreve uma parábola. Supondo que sua altura h, em 
metros, t segundos após o chute, seja dada por h= -t² + 6t, 
determine: 
a) Em que instante a bola atinge o solo? 
b) Qual é a altura máxima atingida pela bola? 
 
 
 
 
Caiu no 
ENEM 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
01 
MATEMÁTICA – Prof. Esp. José Antonio 
 
 
 
 
 
 
 
 
01 
Dada a função quadrática f(x) = 3x
2
 – 10x + 3, vamos 
determinar: 
A) Se a concavidade da parábola da parábola definida pela 
função está voltada para cima ou para baixo; 
B) Os zeros da função; 
C) O vértice da parábola definida pela função; 
D) A intersecção com o eixo x; 
E) A intersecção com o eixo y; 
F) O eixo de simetria; 
G) O esboço do gráfico; 
 
02 
(UCSal-BA) Determine os pontos de intersecção da 
parábola da função f(x) = 2x² – 3x + 1, com o eixo das 
abscissas. 
a) 1 e 0,5 
b) 1 
c) 0,5 
d) 0 
e) 2 e 1 
 
03 
Com relação à função f(x) = x² – x + 4, assinale a opção 
correta. 
a) O gráfico dessa função é uma parábola com concavidade 
voltada para baixo, pois o coeficiente a é positivo; 
b) O gráfico dessa função é uma parábola que corta o eixo 
Oy no ponto da abscissa 4, pois c = 4; 
c) As coordenadas do vértice da parábola são Xv = 3 e Yv = 
1; 
d) Essa função não possui raízes reais; 
 
04 
(ENEM 2013) A parte interior de uma taça foi 
gerada pela rotação de uma parábola em torno 
de um eixo z, conforme mostra a figura. 
Figura 
 
A função real que expressa a 
parábola, no plano cartesiano 
da figura, é dada pela lei 
f(x) = 32x
2
 – 6x + C, onde C é 
a medida da altura do líquido 
contido na taça, em 
centímetros. Sabe-se que o 
ponto V, na figura, representa 
o vértice da parábola, 
localizadosobre o eixo x. 
 
Nessas condições, a altura 
do líquido contido na taça, em 
centímetros, é 
A) 1. 
B) 2. 
C) 4. 
D) 5. 
E) 6. 
 
05 
A temperatura, em graus centígrados, no interior de uma 
câmara, é dada pela função f(t) = t
2
 − 7t + A, onde t é 
medido em minutos e A é constante. Se, no instante t = 0, a 
temperatura é de 10º C, o tempo gasto pra que a 
temperatura seja mínima, em minutos, é: 
a) 3, 5 
b) 4, 0 
c) 4, 5 
d) 6, 5 
e) 7, 5 
 
06 
Para um indivíduo sadio em 
repouso, o número N de 
batimentos cardíacos por 
minuto varia em função da 
temperatura ambiente t (em 
graus Celsius), segundo a 
função N(t) = 0,1t² – 4t + 90. 
Nessas condições, em qual temperatura o número de 
batimentos cardíacos por minuto é mínimo? 
a) 31º C 
b) 12, 4º C 
c) 20º C 
d) 25º C 
 
07 
Suponha que um grilo, ao saltar do solo, tenha sua posição 
no espaço descrita em função do tempo (em segundos) 
pela expressão h(t) = 3t − 3t
2
 , onde h é a altura máxima 
atingida em metros. 
a) Em que instante t o grilo retorna ao solo? 
b) Qual é a altura máxima, em metros, atingida pelo grilo? 
 
08 
Uma espécie animal, cuja família no início era composta de 
200 elementos, foi testada num laboratório sob a ação de 
uma certa droga. Constatou-se que a lei de sobrevivência 
nesta família obedecia à relação n(t) = at
2
 + b em que n (t) é 
igual ao número de elementos vivos no tempo t (dado em 
horas); a e b são parâmetros que dependem da droga 
ministrada. Sabe-se que a família desapareceu (morreu seu 
último elemento) quando t = 10h (após o início da 
experiência). Calcular quantos elementos tinha essa família 
8 horas após o início da experiência. 
 
 
 
Caiu no 
ENEM 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MATEMÁTICA – Prof. José Antonio 
 
 
Exemplo 03: 
a) 5 
b) 0 
c) 1 
 
Exemplo 04: 
a) 1 
b) – 3 < 0 
 
Exemplo 05: m = - 1 
 
Exemplo 06: Para que valores reais de k a funçãof(x) = (k 
– 1)x2 – 2x + 4 não admite zeros reais? 
Pede-se: para que valores de "k" a função abaixo NÃO 
admite raízes reais (zeros de uma equação é a mesma 
coisa que raízes dessa função): 
 
f(x) = (k-1)x² - 2x + 4 
 
Observe que a nossa função acima temos os seguintes 
coeficientes: 
 
a = k-1 -----(é o coeficiente de x²) 
b = -2 -------(é o coeficiente de x) 
c = 4 --------(é o termo independente). 
 
Agora vamos à questão. Queremos que a função NÃO 
tenha raízes reais. 
Observe: para que uma equação do 2º grau NÃO admita 
raízes reais, é necessário que o seu delta seja MENOR do 
que zero. 
Veja que o delta é dado por: 
 
b² - 4*a*c 
Então teremos que impor que o delta acima seja menor 
do que zero. Assim: 
 
b² - 4*a*c < 0 ----fazendo as devidas substituições (vide 
coeficientes acima), temos: 
(-2)² - 4*(k-1)*4 < 0 
4 - 16*(k-1) < 0 
4 - 16k + 16 < 0 
-16k + 20 < 0 
-16k < - 20 -----multiplicando ambos os membros por (-1), 
ficamos com: 
16k > 20 
k > 20/16 ----dividindo numerador e denominador por 4, 
vamos ficar apenas com: 
k > 5/4 ------Pronto. Essa é a resposta. "k" terá que maior 
do que 5/4 para que a equação acima NÃO admita raízes 
reais. 
 
Exemplo 08: Determine os valores de m, para que a função 
f(x) = (m – 2)x² – 2x + 6 admita raízes reais. 
Δ ≥ 0 
b²-4.a.c ≥ 0 
(-2)² -4.(m-2).6 ≥ 0 
4 -24(m-2) ≥0 
4-24m+48 ≥ 0 
-24m ≥ -52.............(*-1) 
24m ≤ 52 
m ≤ 52/24..........(: 4/4) 
m ≤ 13/6 
´phe 
Exemplo 09:(UCSal-BA) Determine os pontos de 
intersecção da parábola da função f(x) = 2x² – 3x + 1, com o 
eixo das abscissas. 
No instante em que a parábola cruza o eixo das abscissas o 
valo de y ou f(x) é igual a zero. Portanto: 
 
f(x) = 0 
2x² – 3x + 1 = 0 
 
 
Os pontos de interseção são: 
x = 1 e y = 0 
x = 1/2 e y = 0 
 
Exemplo 10: Isto é apenas análise de coeficientes: 
- a concavidade da parábola está para baixo, portanto, o 
coeficiente "a" é negativo (a<0); 
- a parábola corta o eixo Y (eixo vertical) em um ponto 
acima da origem, logo "c" é positivo (c>0); 
- após o ponto de corte do eixo Y, a parábola sobe, então 
"b" é positivo; 
- resposta certa letra "E" 
 
Exemplo 11 
Solução: Sendo P = 44 000 temos R(x) = kx(44 000 – x) 
R(x) = -kx
2
 + 44 000kx 
Para se obter o número de pessoas onde teremos a 
máxima rapidez de propagação, basta utilizar o xv = - b/2a 
= -44 000/-2 = 22 000 
Letra B. 
 
Exemplo 12 
Solução: 
a) t = - b/2a = -6/2(-1) = 3 
 
b) h= -t² + 6t 
 h = -3² + 6.3 
 h = 9 
 
EXERCÍCIO 
EXERCÍCIO 02: 
No instante em que a parábola cruza o eixo das abscissas o 
valo de y ou f(x) é igual a zero. Portanto: 
f(x) = 0 
2x² – 3x + 1 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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01 
MATEMÁTICA – Prof. Esp. José Antonio 
 
 
 
Os pontos de interseção são: 
x = 1 e y = 0 
x = 1/2 e y = 0 
 
 
 
EXERCÍCIO 04: 
==>(ENEM 2013)A parte interior de uma taça foi gerada 
pela rotação de uma parábola em torno de um eixo z, 
conforme mostra a figura. 
Figura 
 
 
A função real que expressa a 
parábola, no plano cartesiano da 
figura, é dada pela lei f(x) = 32x
2
 – 
6x + C, onde C é a medida da 
altura do líquido contido na taça, 
em centímetros. Sabe-se que o 
ponto V, na figura, representa o 
vértice da parábola, localizado 
sobre o eixo x. 
 
Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em 
centímetros, é 
A) 1.32 
B) 2. 
C) 4. 
D) 5. 
E) 6. 
 
 
A função do segundo grau f(x)=32x
2
−6x+C apresenta 
duas raízes reais iguais, visto que seu gráfico corta o eixo x 
em um único ponto. A condição para que isso aconteça é 
que o discriminante (∆ = b
2
 – 4ac) dessa função do segundo 
grau seja igual à zero. Logo, ∆ = b
2
 – 4ac = (-6)
2
-4.32.C = 
36 – 6C = 0; C=6. 
 
EXERCÍCIO 05: 
==>A temperatura, em graus centígrados, no interior de 
uma câmara, é dada pela funçãof (t) = t
2
 − 7t + A, onde t é 
medido em minutos e A é constante.Se, no instante t = 0, a 
temperatura é de 10º C, o tempo gasto praque a 
temperatura seja mínima, em minutos, é: 
a) 3, 5 
b) 4, 0 
c) 4, 5 
d) 6, 5 
e) 7, 5 
f(t) = t
2
 − 7t + A 
f(0) = 0
2
 – 7.0 + A 
0
2
 – 7.0 + A = 10 
A = 10 
 
t
2
 − 7t + A = 0 
 = 9 
 
Se estamos procurando a temperatura mínima devemos 
encontrar o Xv = - b / 2a = - 3,5 – RESPOSTA A 
 
EXERCÍCIO 06: 
==>Para um indivíduo sadio em repouso, o número N de 
batimentos cardíacos por minuto varia em função da 
temperatura ambiente t (em graus Celsius), segundo a 
função N(t) = 0,1t² – 4t + 90. Nessas condições, em qual 
temperatura o número de batimentos cardíacos por minuto 
é mínimo? 
a) 31º C 
b) 12, 4º C 
c) 20º C 
d) 25º C 
 
N(t) = 0,1t² – 4t + 90 
Xv = - b / 2a 
Xv = - (-4) / 2.0,1 = 20 
 
EXERCÍCIO 07: 
==>Suponha que um grilo, ao saltar do solo, tenha sua 
posição no espaço descrita em função do tempo (em 
segundos) pela expressão h(t) = 3t − 3t
2
 , onde h é a altura 
máxima atingida em metros. 
a) Em que instante t o grilo retorna ao solo? 
0 = 3t-3t² = 3t(1-t) = 0  t= 1s 
 
b) Qual é a altura máxima, em metros, atingida pelo grilo? 
Xv = - b / 2a = - 3 / 2 . (-3) = -3 / -6 = 0,5 s 
 
h(0,5)=3 x 0,5 - 3 x 0,25 -> h=0,75m 
 
EXERCÍCIO 08: 
==> Uma espécie animal, cuja família no início era 
composta de 200 elementos, foi testada num laboratório 
sob a ação de uma certa droga. Constatou-se que a lei de 
sobrevivência nesta família obedecia à relação n(t) = at
2
 + b 
em que n(t) é igual ao número de elementos vivos no tempo 
t (dado em horas); a e b são parâmetros que dependem da 
droga ministrada. Sabe-se que a família desapareceu 
(morreu seu último elemento) quando t = 10h (após o início 
da experiência). Calcular quantos elementos tinha essa 
família 8 horasapós o início da experiência. 
 
Como tinha 200 inicialmente, ou seja, em t = 0, temos que: 
N(0) = 200 
a0² + B = 200 
B = 200 
 
como apos 10 horas, ou seja, em t = 10, todos morreram, 
temos que: 
N(10) = a(10)² + 200 
100a + 200 = 0 
a = -2 
 
Forma-se a seguinte equação: 
N(t) = -2t² + 200 
N(8) = -2.(8)² + 200 
N(8) = -128 + 200 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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01 
MATEMÁTICA – Prof. José Antonio 
 
N(8) = 72 
 
resposta: 72 elementos vivos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÕES 
 
 
 
==>Um projétil e lançado do alto de um morro e cai na 
praia.Sabendo-se que se a trajetória é descrita por h=–d²–
200d+404, onde h e a sua altitude (em m) ed e o seu 
alcance horizontal (em m), a altura do lançamento e a 
altitude máxima alcançada são respectivamente: 
a) superior a 400 e superior a 10km 
b)superior a 400 e igual a 10km 
c)superior a 400e inferia 10km 
d)inferior a 400 e superior a 10km 
e)inferior a 400 e inferior a 10km 
 
A trajetória é h(d) = -d² - 200d + 404 
 
A altura do lançamento é 
h(0) = -(0)² - 200(0) + 404 
h(0) = 404 metros (altura do lançamento) 
 
Vy = - /4a = 10404 (altitude máxima) 
 
RESPOSTA A 
 
==>(ENEM 2009)Um posto de combustível vende 10.000 
litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
01 
MATEMÁTICA – Prof. Esp. José Antonio 
 
percebeu que, para cada centavo de desconto que 
concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. 
Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, 
foram vendidos 10.200 litros. 
Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado 
no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por 
dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona 
V e x é 
A) V=10.000+50x−x
2
. 
B) V=10.000+50x+x
2
. 
C) V=15.000−50x−x
2
. 
D) V=15.000+50x−x
2
. 
E) V=15.000−50x+x
2
. 
Como o enunciado sugere vamos usar X como o valor, em 
centavos, do desconto dado no preço de cada litro, ou seja, 
vamos acumular um desconto total de 0,01x. 
 
Resolução: 
Portanto, o preço de cada litro de álcool é calculado 
subtraindo o preço inicial de seu desconto: 
 
(1,50 − 0,01X) reais. 
 
A quantidade de álcool vendida por dia é (10 000 +100X) 
litros. 
 
Multiplicando o preço de cada litro pela quantidade total de 
litros que foram vendidos teremos que o valor arrecadado é 
 
V = (1,50 − 0,01x) ⋅ (10 000 +100x) 
 
Fazemos a distrubutiva e chegamos a resposta final 
 
V =15 000 + 50x − x2. 
 
Portanto, o gabarito será letra D. 
 
 
(UNIFOR CE/2011) Uma pessoa dispõe de certaquantia 
para fazer uma aplicação financeira. Consultou obanco de 
sua preferência e foi informada de que,decorridos n anos 
sem retiradas, o lucro seria 
L(n) = 200 (–n
2
+ 20n) reais. 
Então, se esta pessoa não fizer retiradas, terá 
lucrocrescente: 
a) nos 8 primeiros anos. 
b) no período entre o 5º e o 13º ano. 
c) no período entre o 10º e o 15º ano. 
d) em qualquer período. 
e) nunca. 
 
 
Exemplo: (ENEM 2014) Um professor, depois de corrigir as 
provas de sua turma, percebeu que várias questões 
estavam muito difíceis. Para compensar, decidiu utilizar 
uma função polinomial f, de grau menor que 3, para alterar 
as notas x da prova para notas y = f(x), da seguinte 
maneira: 
• a nota zero permanece zero. 
• a nota 10 permanece 10. 
• a nota 5 passa a ser 6. 
A)y = −12/5x
2
+7/5x 
B)y = −1/10x
2
+2x 
C)y = 1/21x
2
+7/12x 
D)y = 4/5x+2 
E) y = x 
 
 
==>Uma companhia de avião freta um avião de 50 lugares 
de acordo com as seguintes condições especificadas no 
contrato de afretamento: 
(i) Cada passageiro pagará R$ 600,00 se todos os 50 
lugares forem vendidos. 
(ii) Cada passageiro pagará um adicional de R$ 30,00 por 
lugar não vendido. 
Quantos lugares a companhia deverá vender para obter um 
lucro máximo? 
I) Receita (R) = quantidade de passageiro (Q) * valor 
unitário (V) 
x: nao vendido 
 
II) Q = 50 - x 
 V = 600 + 30x 
 
R(x) = (50 -x).(600+30x) 
R(x)= 30000 + 1500x -600x -30x² 
R(x) = - 30x² + 900x + 30000 Simplifica por 30 
R(x) = -x² +30x +1000 
 
III) Lucro Máximo = Receita Máxima 
Lucro máximo ----> x máximo 
No caso x máximo, calcule X do Vértice 
 
Xv = 
 
Xv = 
 
Xv = 15 
 
IV) Para ter lucro máximo não devem ser vendidos 15 
lugares,ou seja, 50 - 15 = 35 passagens devem ser 
vendidas!