Exercícios de Álgebra Linear II

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Lista 8 - A´lgebra Linear II
Prof. Luciano Bedin
1. Dado um espac¸o vetorial V de dimensa˜o finita sobre um corpo Φ e T : V → V linear,
a multiplicidade alge´brica ma(λ) de um autovalor λ ∈ Φ de T e´ a multiplicidade de
λ como raiz de p(λ); a multiplicidade geome´trica mg(λ) e´ a dimensa˜o do autoespac¸o
Vλ.
a. Seja dim(V ) = n e λ1, λ2, . . . , λr ∈ Φ os autovalores de T . Mostre que T e´
diagonaliza´vel se, e somente se,
∑r
i=1 dim(Vλi) = n.
b. Prove que ma(λ) ≥ mg(λ), para todo autovalor λ ∈ Φ de T .
(Dica: suponha que mg(λ
∗) = r, enta˜o Vλ∗ = [v1, . . . ,vr] (vetores sa˜o L.I.). Seja
β = {v1, . . . ,vr,w1, . . . ,ws} base de V . Enta˜o
Tv1 = λ
∗v1, . . . , Tvr = λ∗vr,
Tw1 = a11v1 + a21v2 + . . .+ ar1vr + b11w1 + . . . bs1ws
...
Tws = a1sv1 + a2sv2 + . . .+ arsvr + b1sw1 + . . . bssws.
A seguir monta-se a matriz [T ]ββ e tambe´m [T ]
β
β − λI. Calculando-se det([T ]ββ − λI)
observa-se que este e´ igual a (λ∗ − λ)rdet(M(λ)), onde M e´ uma matriz de ordem
s. )
2. Mostre que a aplicac¸a˜o 〈A,B〉 = tr(BTA) define um produto interno complexo em
Mn(C).
3. Sejam V um espac¸o vetorial complexo com produto interno complexo e β = {u1, . . . , un}
uma base de V . Mostre que ∀u, v ∈ V , podemos escrever
〈u, v〉 = [u]Tβ A [v]β,
onde A = (aij) com aij = 〈ui, uj〉.
4. Sejam V um espac¸o vetorial complexo com dimensa˜o igual a n e A ∈Mn(C) hermi-
tiana satisfazendo wT A w > 0, ∀w ∈ Cn, w 6= (0, . . . , 0). Dada uma base β de V ,
mostre que
〈u, v〉 = [u]Tβ A [v]β,
e´ um produto interno complexo em V .
5. Sejam V um espac¸o vetorial complexo de dimensa˜o finita com produto interno com-
plexo. Mostre que se T ∈ L(V ) e´ auto-adjunto, dada qualquer base ortonormal β
de V , [T ]ββ e´ uma matriz hermitiana.
6. Seja V um espac¸o vetorial complexo de dimensa˜o finita com produto interno com-
plexo. Dado T ∈ L(V ) tal que, para uma certa base ortonormal β de V , [T ]ββ e´ uma
matriz hermitiana, prove que T e´ auto-adjunto.
7. Um operador auto-adjunto T ∈ L(V ), onde V e´ um espac¸o euclidiano, e´ dito positivo
definido se, e so´ se, todos os seus autovalores sa˜o positivos. Mostre que:
a. T ∈ L(V ) e´ positivo definido se, e so´ se, 〈Tu, u〉 > 0 para todo vetor na˜o
nulo u ∈ V .
b. Se T ∈ L(V ) e´ positivo definido enta˜o seu inverso tambe´m e´.
8. Seja H um subespac¸o vetorial de um espac¸o euclidiano V de dimensa˜o finita. Enta˜o
cada v ∈ V se expressa como v = vH + v⊥, onde vH ∈ H e v⊥ ∈ H⊥. Defina o
seguinte operador: T : V → V , Tv = vH−v⊥. Mostre que T e´ linear e auto-adjunto.
Se V = R3 com o produto interno usual e H = [(1, 1, 0)], ache a matriz de T com
relac¸a˜o a base canoˆnica de V .
9. Seja V um espac¸o euclidiano e T ∈ L(V ) um automorfismo. Se T e´ auto-adjunto,
mostre que tambe´m e´ T−1.
10. Seja V um espac¸o euclidiano de dimensa˜o finita e T ∈ L(V ) auto-adjunto. Se
H ⊂ V e´ um subespac¸o vetorial com a propriedade
u ∈ H → Tu ∈ H,
mostre que H⊥ tambe´m tem essa propriedade.
11. Seja V um espac¸o euclidiano e T ∈ L(V ) auto-adjunto. Se 〈Tu, u〉 = 0, para todo
u ∈ V , mostre que T e´ o operador nulo.