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UFC – Departamento de Matema´tica – UFC
Ca´lculo II
Prof. Cleon S. Barroso
1 Modelagem Matema´tica - Parte I
Problema 1. Suponha que um objeto esta´ caindo na atmosfera, perto do n´ıvel do mar.
Formule uma equac¸a˜o ”diferencial”que descreva o movimento.
Soluc¸a˜o Como trata-se de um movimento de queda livre pro´ximo do n´ıvel do mar, de-
vemos usar a 2a Lei de Newton, que e´ um lei f´ısica que rege o movimento em questa˜o. A
2a Lei de Newton pode ser descrita pela seguinte equac¸a˜o:
F = m · a (1)
em que F representa a intensidade da forc¸a resultante das forc¸as que atuam no objeto em
queda, m e´ a massa do objeto e a representa a acelerac¸a˜o da gravidade. Conclu´ı-se enta˜o
que:
F = P −R,
onde P e´ a forc¸a Peso e R e´ a forc¸a de resisteˆncia do ar. Por um lado, sabe-se que
P = m · g
onde g e´ a acelerac¸a˜o da gravidade, que e´ aproximadamente igual a g ≈ 9, 8. Por outro
lado, devido a variabilidade das poss´ıveis caracter´ısticas do objeto, devemos considerar
uma hipo´tese razoa´vel para o ca´lculo de R.
Hipo´tese sobre R: A forc¸a de resisteˆncia do ar e´ proporcional a` velocidade do objeto
Em resumo, tem-se:
R = κ · v,
onde κ e´ a constante de proporcionalidade relacionada a`s caracter´ısticas do objeto.
Por fim, sabe-se que a acelerac¸a˜o do objeto em queda e´ a derivada de sua velocidade,
i.e.,
a =
dv
dt
Apo´s estas considerac¸o˜es podemos concluir a resoluc¸a˜o do problema. Substituindo estas
equac¸o˜es na equac¸a˜o (1), obtemos:
m · dv
dt
= m · g − κ · v
Problema 2. Uma gota de chuva esfe´rica evapora a uma taxa proporcional a` a´rea de sua
superf´ıcie. Escreva uma equac¸a˜o diferencial para o volume de uma gota de chuva esfe´rica
em func¸a˜o do tempo.
Soluc¸a˜o. Como a gota de chuva e´ esfe´rica precisamos inicialmente recordar duas in-
formac¸o˜es ba´sicas sobre uma esfera de raio r:
• Volume: V = 4pir
3
3
• A´rea da Superf´ıcie Esfe´rica: A = 4pir2
Conve´m agora lembrar que do ponto de vista do Ca´lculo I, a palavra taxa significa
derivada. De acordo com o texto, obtemos a seguinte relac¸a˜o:
dV
dt
= −λA (2)
Agora um ca´lculo simples fornece a seguinte relac¸a˜o entre A e V :
A = θ · V 2/3
onde θ e´ um nu´mero constante.
Para concluir a resoluc¸a˜o, precisamos substituir esta u´ltima equac¸a˜o na equac¸a˜o (2),
donde obte´m-se:
dV
dt
= −λθ · V 2/3
2 Comenta´rios adicionais
Os problemas acima sa˜o exemplos concretos de situac¸o˜es pra´ticas onde as EDOs podem ser
usadas para Modelar matematicamente os fenoˆmenos descritos. Observem que em ambos
os casos obtivemos equac¸o˜es diferenciais de primeira ordem, ou seja, equac¸o˜es do tipo:
dX
dt
= f(t,X)
que e´ a forma mais geral de uma EDO de Primeira Ordem.
Observac¸a˜o. Ambos os problemas acima foram extra´ıdos do livro dos autores Boyce &
DiPrima.
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