AP1 Matematica Computação Gabarito 20161

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Curso Superior de Tecnologia em Sistemas de Computac¸a˜o
Disciplina: Matema´tica para Computac¸a˜o
AP1 - 1o semestre de 2016 - Gabarito
Questo˜es
1. (2,50 pontos) —————————————————————————————————
Determine o domı´nio e a imagem das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) =
 x + 2 se −1 < x < 0x se 0 ≤ x < 1
(b) f(x) =
 2− x se 0 < x < 2x− 1 se 3 ≤ x < 4
(c) f(x) =

x2 − 4
x− 2 se x 6= 2
4 se x = 2
Soluc¸a˜o:
(a) f(x) =
 x + 2 se −1 < x < 0x se 0 ≤ x < 1
Claramente o domı´nio D e a imagem I sa˜o
D = {x ∈ IR tais que − 1 < x < 1}
I = {y ∈ IR tais que 0 ≤ y < 1 ou 1 < x < 2}
(b) f(x) =
 2− x se 0 < x < 2x− 1 se 3 ≤ x < 4
Domı´nio D e a imagem I sa˜o
D = {x ∈ IR tais que 0 < x < 2 ou 3 ≤ x < 4}
I = {y ∈ IR tais que 0 < y < 3}
(c) f(x) =

x2 − 4
x− 2 se x 6= 2
4 se x = 2
Domı´nio D e a imagem I sa˜o
D = {x ∈ IR}
I = {y ∈ IR}
2. (2,50 pontos) —————————————————————————————————
Calcule os limites:
(a) lim
x→0
1
x2
(b) lim
x→1
−1
(x− 1)2
(c) lim
x→0
1
x
Soluc¸a˜o:
(a) lim
x→0
1
x2
= +∞
(b) lim
x→1
−1
(x− 1)2 = −∞
(c) lim
x→0
1
x
= +∞
3. (2,50 pontos) —————————————————————————————————
Verifique se a func¸a˜o
f(x) =
| x |
x
e´ cont´ınua em x = 0, justifique sua resposta.
Soluc¸a˜o:
A func¸a˜o na˜o esta´ definida em x = 0. Ale´m disso se verificarmos os limites laterais no
ponto x = 0, teremos
lim
x→0−
| x |
x
= −1
e
lim
x→0+
| x |
x
= +1
portanto o limite na˜o existe em x = 0. O que mostra claramente que a func¸a˜o na˜o e´
cont´ınua em x = 0.
4. (2,50 pontos) —————————————————————————————————
Determine as primeiras e segundas derivadas das seguintes func¸o˜es:
a) f(x) =
2
x1/2
+
x2
x2/3
+
x2 + 1
x2
b) f(x) = (x2 + 4)2(2x3 − 1)3
Soluc¸a˜o:
a)
f(x) =
2
x1/2
+
x2
x2/3
+
x2 + 1
x2
= 2x−1/2 + x2x−2/3 + (x2 + 1)x−2
= 2x−1/2 + x2−2/3 + x2x−2 + x−2
= 2x−1/2 + x4/3 + 1 + x−2
f ′(x) = 2
(
− 1
2
)
x−1/2−1 +
(
4
3
)
x4/3−1 + 0 + (−2)x−2−1
= −x−3/2 + 4
3
x1/3 − 2x−3
= − 1√
x3
+
4 3
√
x
3
− 2 1
x3
f ′′(x) =
[
−x−3/2 + 4
3
x1/3 − 2x−3
]′
= −
(
− 3
2
)
x(−3/2−1) +
4
3
(
1
3
)
x(1/3−1) − 2(−3)x(−3−1)
=
3
2
x−5/2 +
4
6
x−2/3 + 6x−4
=
3
2
√
x5
+
4
6
3
√
x2
+
6
x4
b)
f(x) = (x2 + 4)2(2x3 − 1)3
f ′(x) =
[
(x2 + 4)2
]′ · (2x3 − 1)3 + (x2 + 4)2 · [(2x3 − 1)3]′
=
[
2(x2 + 4)(2−1)(2x)
]
· (2x3 − 1)3 + (x2 + 4)2 ·
[
3(2x3 − 1)(3−1)(6x)
]
=
[
4x(x2 + 4)
]
· (2x3 − 1)3 + (x2 + 4)2 ·
[
18x(2x3 − 1)2
]
= 4(x3 + 4x) · (2x3 − 1)3 + 18(x2 + 4)2 · (2x5 − x2)2
f ′′(x) =
[
4(x3 + 4x) · (2x3 − 1)3 + 18(x2 + 4)2 · (2x5 − x2)2
]′
=
[
4(x3 + 4x) · (2x3 − 1)3
]′
+
[
18(x2 + 4)2 · (2x5 − x2)2
]′
= 4
[
(x3 + 4x) · (2x3 − 1)3
]′
+ 18
[
(x2 + 4)2 · (2x5 − x2)2
]′
= 4
{
(x3 + 4x) ·
[
(2x3 − 1)3
]′
+
[
(x3 + 4x)
]′ · (2x3 − 1)3}
+ 18
{
(x2 + 4)2 ·
[
(2x5 − x2)2
]′
+
[
(x2 + 4)2
]′ · (2x5 − x2)2}
= 4
{
(x3 + 4x) ·
[
3(2x3 − 1)2(6x)
]
+
[
(3x2 + 4)
]
· (2x3 − 1)3
}
+ 18
{
(x2 + 4)2 ·
[
2(2x5 − x2)1(10x)
]
+
[
2(x2 + 4)1(2x)
]
· (2x5 − x2)2
}
= 4
{
18x(x3 + 4x)(2x3 − 1)2 + (3x2 + 4)(2x3 − 1)3
}
+ 18
{
20x(x2 + 4)2(2x5 − x2) + 4x(x2 + 4)(2x5 − x2)2
}