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Equações Diferenciais 2ª ordem, ordem Superior e Aplicações Prof. Dr.Jorge L.P. Felix Equações Diferenciais I Tipos de EDO 2ª Ordem ED Homogênea Uma equação linear de segunda ordem chama-se de homogênea quando tem a seguinte forma: ED Não Homogênea Uma equação linear de segunda ordem chama-se de não homogênea se tem a forma seguinte, com 2 2 0 d y dy a b cy dx dx 2 2 ( ) d y dy a b cy Q x dx dx ( ) 0Q x ED com Coeficientes constantes A função y e suas derivadas são multiplicados por constantes. Exemplo: ED Coeficientes Variáveis A função y e suas derivadas são multiplicados por constantes e funções em x. Exemplo: 4 3y y y x xyyeyx x 2)1(3 Tipos de EDO 2ª Ordem Equação Diferencial Linear com Coeficientes Constantes 0''' cybyay A fórmula geral: xey Para resolver assumimos que a solução tem a forma de função exponencial: xey xey ' Se então Substituindo na ED: 02 cba Após de dividir por eλx obtemos: 02 xxx ecebea 0)( 2 cbae x Chama-se de equação característica. As raízes: xey 2'' e a acbb 2 42 12 ?)( xy Existe 3 tipos de Soluções de acordo ao discriminante D acbD 42 1) Se D>0, as raízes λ1, λ2 são reais e distintas xx eCeCy 21 21 2) Se D=0, As raízes são reais e iguais λ12 =λ xx xeCeCy 21 3) Se D<0, as raízes são complexas conjugadas λ1, λ2 onde α e ω são a parte real e imaginária da raiz i i 2 1 xixxixxx eKeKeKeKy 2121 21 )( 21 xixix eKeKey ]sin)(cos)[( 2121 xKKixKKey x cos sin i xe x i x Fórmula de Euler )();( 212211 KKiCKKC ]sincos[)( 21 xCxCexy x Se substituimos obtemos Usando : cos;sin 21 ACAC ]sincoscossin[)( xAxAexy x E então sincoscossin)sin( considerando Finalmente )sin()( xAexy x onde a amplitude A e fase φ são constantes na qual podem ser determinados pelas condições iniciais e ω é a frequência angular. Este exemple leva a movimento oscilatório. Solução geral desta forma, porem … Equação Característica 2 2 0 d y dy a b by dxdx 2 0a b c Casos: Raizes diferentes e reais Raizes iguais e reais Raizes Complexas Resolver 065 2 2 y dx dy dx yd Equação característica 2 5 6 0 1 2 2 3 2 3 1 2 x xy C e C e Resolver 096 2 2 y dx dy dx yd Equação característica 2 6 9 0 1 2 3 3 1 2( ) xy C C x e Solve 054 2 2 y dx dy dx yd Equação característica 2 4 5 0 2 i 2 1 2( cos sin ) xy e C x C x ED com condição Inicial 0 2 2 Ry dx dy Q dx yd P 0(0)y y 0(0)y v 2 2 4 0 d y y dx Exemplo: (0) 1y (0) 1y 1 1 2 2( ) ( )y C y x C y x Resumo de 3 casos – Homogênea Caso Raízes Solução Geral 1 Reais 2 Reais 3 Complexos Equação Característica Equação Diferencial 2 2 0 d y dy a b cy dx dx 2 0a b c xx eCeCy 21 21 1 2( ) rxy C C x e i 1 2( cos sin ) xy e C x C x 1 2 1 2 r Caso I Não Homogênea 2 2 ( ) d y dy a b cy Q x dx dx Seja a equação diferencial não homogênea de segunda ordem linear: A solução geral seria da forma: h py y y Solução Homogênea: Solução Particular-similar do lado direito: 2 2 0h h h d y dy a b cy dx dx ( )py Q x Os termos de yh não Aparece em Q(x) 2 2 Ache a solução para 5 6 15 7, Dada SP da forma y ( ) Sol. p d y dy y x dx dx x Ax B Exemplos Calculando as constantes A e B. Temos y ( ) Suas derivadas : y ( ) y ( ) 0 p p p x Ax B x A x Substituindo na equação original Temos : (0)-5(A)+6(Ax+B) 15 7x 2 2 Ache a solução para 5 6 3sin 2 , Dada SP da forma y ( ) cos2 sin 2p d y dy y x dx dx x A x B x Exemplos Sol. y ( ) cos2 sin 2 ; y ( ) 2 sin 2 2 cos2 y ( ) 4 cos2 4 sin 2 p p p x A x B x x A x B x x A x B x ( 4 cos2 4 sin 2 5( 2 sin 2 2 cos2 ) 6( cos2 sin 2 ) 3sin 2 A x B x A x B x A x B x x Tabela de Soluções Particulares Lado Direito Q(x) Escolha py 0( ) n nP x a x a 0( ) n p ny Q x A x A xce xAe cos sina x ou b x cos sinA x B x ( ) axP x e ( ) axQ x e ( )cos ( )sinP x x ou P x x ( )cos ( )sinQ x x R x x ( ) cos ( ) sinx xP x e x ou P x e x ( ) cos ( ) sinx xQ x e x R x e x Exercícios Caso II Não Homogênea 2 2 ( ) d y dy a b cy Q x dx dx Seja a equação diferencial não homogênea de segunda ordem linear A solução geral seria da forma: h py y y A solução Homogênea de: A solução Particular (SP)-similar do lado direito 2 2 0h h h d y dy a b cy dx dx ( )p hy Q x y Os termos de yh Aparece em Q(x) 2 2 Ache a solução para 2 3 8 , Dada SP da forma y ( ) ? x x p d y dy y e dx dx x Ae Exemplos 2 3 1 2 Eq. Caract. 2 3 0 3; 1 y ( ) x xh x C e C e 1a Tentativa xpy Ae não 2a tentativa y simxp Axe As derivadas y ( ) y ( ) substituindo na equação original. x x p x x x p A e xe A e e xe CI: (0) 1; (0) 0y y (2 ) 2 ( ) 3 8 4 (3 3 ) 8 4 8 2. A solução particular: 2 x x x x x x x x x x p A e xe A e xe Axe e Ae A A xe e A A y xe Exemplos 3 1 2 2 x x x h py y y C e C e xe 3(0) (0) (0) 1 2(0) 1 1 2(0)y C e C e e 3(0) (0) (0) (0) 1 2(0) 0 0 3 2( (0) )y C e C e e e 1 21 C C 3 1 23 2( ) x x x xy C e C e e xe 1 22 3C C 1 21/ 4; 5 / 4C C 31 5 2 4 4 x x x h py y y e e xe A solução geral: Achando a solução particular 2 2 ( ) com ( ) 0 d y dy a b cy Q x Q x dx dx Quando o(s) termo(s) da solução homogênea aparece na solução particular 2 = ( ) Quando o termo de y ( ) é similar de ( ) Se continua similar ( ) p p h p p escolha y Q x x y y xQ x y x Q x 2 2 Ache a solução para 9 sin3 Dada SP da forma y ( ) cos3 sin3 ? Sol. p d y y x dx x A x B x Exemplos 2 1 2 Eq. Caract. 9 0 3 cos3 sin3h i y C x C x 1a Tentativa cos3 sin3 py A x B x não 2a tentativa y cos3 sin3 simp Ax x Bx x Determine as constantes A e B. Calcule y ; yp p Principio de Superposição 2 2 ( ) i d y dy a b cy Q x dx dx Se for solução particular de cada equação não homogênea: ip y Então é solução particular da equação não homogênea: 1 2 np p p p y y y y 2 1 22 ( ) ( ) ( ) n d y dy a b cy Q x Q x Q x dx dx Principio de Superposição 1 2 np p p p y y y y 2 1 22( ) ( ) ( ) ( ) n d y dy a b cy Q x Q x Q x Q x dx dx 1 2 2 12 2 22 2 2 ( ) ( ) ( ) n p p n p d y dy a b cy Q x y dx dx d y dy a b cy Q x y dx dx d y dy a b cy Q x y dx dx 2 2 Resolver 1 sin Sol. d y y x dx Exemplo 1 1 2 2 Resolver 1 p d y y y A dx 2 2 2 2 a Resolver sin cos sin 1 Tentativa ( cos sin ) p p d y y x y B x C x dx y x B x C x 2 1 2 Eq. Caract.: 1 0 cos sinh i y C x C x 2 2 Resolver 1 sin Sol. d y y x dx Exemplo 1 1 2 A solução particular: ( cos sin )p p py y y A x B x C x 1 2 A solução homogêa: cos sinhy C x C x As derivadas da solução particular: ( cos sin ) ( sin cos ) ( sin cos ) ( sin cos ) ( cos sin ) p p y B x C x x B x C x y B x C x B x C x x B x C x 1 1 cos 2 py x x 1 2 1 cos sin 1 cos 2 y C x C x x x 2 2 Resolver 2 2 Sol. xd y y x e dx Exemplo 2 Como Q(x)= 2 ( )x xpx e y Ax B Ce O termo polinomial mult. por ( ) xpx y x Ax B Ce 2 2 1 22 0; 0 2 x hy C C e 1O termo constante C de tem const. de h py B y Princípio de superposição Exercícios Determine a solução de cada equação diferencial: Exercícios Determine a solução particular de cada equação diferencial: EXEMPLO(CONT.) 3Resolver 4 4cos2xy y e x 2 1 2 Eq. Caract. 4 0 2 cos2 sin 2h i y C x C x 1a Tentativa cos2 sin 2 xpy Ae B x C x não 2a Tentativa y cos2 sin 2 simxp Ae Bx x Cx x (cos2 2 sin 2 ) (sin 2 2 cos2 )xpy Ae B x x x C x x x ( 2sin 2 2(sin 2 2 cos2 )) (2cos2 2(cos2 2 sin 2 )) x py Ae B x x x x C x x x x EXEMPLO(CONT.) 3Resolver 4 4cos2xy y e x ( 2sin 2 2(sin 2 2 cos2 )) (2cos2 2(cos2 2 sin 2 )) x py Ae B x x x x C x x x x y cos2 sin 2xp Ae Bx x Cx x 4 4 5 4 sin 2 4 cos2 5 1 1/ 5 4 0 0 4 4 1 x p py y Ae B x C x A A B B C C 3 4cos2xe x 1 y sin 2 5 x p e x x 1 2 1 cos2 sin 2 sin 2 5 xy C x C x e x x EXEMPLO(CONT.) 3Resolver 6 13 4 cos2xy y y e x 2 3 1 2 Eq. Caract. 6 13 0 3 2 ( cos2 sin 2 )xh i y e C x C x 3 1 21a Tentativa ( cos2 sin 2 ) x py e C x C x não 3 1 22a Tentativa y ( cos2 sin 2 ) sim x p e C x x C x x 3 1 2 3 1 2 y 3 ( cos2 sin 2 ) cos2 2 sin 2 sin 2 2 cos2 x p x e C x x C x x e C x x x C x x x Método de Variação de Parâmetros 2 2 ( ) com ( ) 0 d y dy a b cy Q x Q x dx dx Quando não é possível determinar a solução particular diretamente de Q(x) ou seja não sejam similares da tabela de soluções particulares 1 1 2 2 1 1 2 2 = C ( ) C ( ) u ( ) ( ) u ( ) ( ) h p y y x y x y x y x x y x 1 2As constantes ( ) e ( ) são funções a determinaru x u x Método de Variação de Parâmetros 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 Resolver o sistema em e : 0 ( ) u u u y u y u y u y Q x 2 2 1 1 2 1 2 0 ( ) y Q x y u y y y y 1 1 2 1 2 1 2 0 ( ) y y Q x u y y y y Usando Método de Cramer para determinar as incógnitas Método de Variação de Parâmetros 2 1 1 2 2 1 ( )y Q x u dx y y y y 1 2Integrar para determinar ( ) e ( )u x u x 1 2 1 2 2 1 ( )y Q x u dx y y y y Resolver 2 2 Sol. xe y y y x Exemplo 1 1 2 A solução particular: x x py u e u xe 2 1,2 1 2 1 2 1 2 2 1 0; 1 ( ) ; x x x h x x y C C x e C e C xe y e y xe 1 2; ( ) 2 x x x x y e y e xe e Q x x 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 Resolver o sistema em e : 0 ( ) u u u y u y u y u y Q x Resolver 2 2 Sol. xe y y y x Exemplo 1 1 2 1 2 2 (1 ) 1 1 1 1 2 2 2 x x x x x x x x e xe xu dx e x e xe e e u dx dx x e 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 Resolver o sistema em e : 0 ( ) u u u y u y u y u y Q x Resolver 2 2 Sol. xe y y y x Exemplo 1 2 2 2 2 2 (1 ) 1 1 1 1 ln 2 2 2 x x x x x x x x e e xu dx e x e xe e e u dx dx x xe x Resolver 2 2 Sol. xe y y y x Exemplo 1 1 2 A solução particular: 1 1 ln 2 2 x x p x x y u e u xe xe x xe Exercícios Determine a solução de cada equação diferencial:
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