apostila Lab2

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1. Informações Gerais sobre a Disciplina 
As disciplinas de laboratório consistem em diversos experimentos com os quais 
se espera poder desenvolver no aluno o comportamento crítico diante dos fenômenos 
físicos. Os trabalhos de laboratório têm a finalidade de ilustrar os assuntos abordados no 
curso teórico e também de ensinar os rudimentos da técnica de observação dos 
fenômenos físicos, ou seja, como efetuar medidas, analisá-las e como apresentar os 
resultados obtidos. 
Para realizar as atividades experimentais alguns pontos são fundamentais, tais 
como; a organização, iniciativa, dedicação e apresentar os resultados de forma clara. 
Assim, recomenda-se a cada aluno o uso de um caderno específico para o curso de 
laboratório. Neste caderno deverão estar contidas as notas de aulas, resultados 
experimentais e detalhes do procedimento experimental adotado. Com esse caderno, a 
tarefa de confeccionar os relatórios será em muito facilitada. É importante que o aluno 
venha para a aula sabendo qual é a experiência que irá realizar e, quais os seus 
fundamentos teóricos. Durante o procedimento experimental o aluno deve prestar 
atenção no equipamento experimental disponível, procurando entender como este 
funciona, quais suas limitações, suas imperfeições e como isso tudo influi no modelo 
físico que se quer testar. 
A presença nas aulas é obrigatória. A ausência na aula implica em nota zero no 
relatório referente à experiência. Solicita-se aos alunos que respeitem rigorosamente o 
horário de início das aulas no laboratório. O atraso máximo permitido é de 10 min, após 
os quais não será permitido o acesso à aula. 
 
1.1. O Relatório 
A redação de relatórios será uma constante no decorrer das disciplinas de 
laboratórios de Física I e II. Estes relatórios deverão ser entregues em sala de aula, 
dentro do prazo pré-estabelecido. Relatórios entregas fora do prazo serão penalizados 
em 10 pontos por dia de atraso. Para evitar atrasos na entrega, recomenda-se que os 
relatórios sejam elaborados com antecedência, para que eventuais dúvidas sejam 
sanadas em tempo hábil para entrega. 
Importante: A existência de dois ou mais relatórios de igual teor poderá implicar 
em nota zero a todos eles. Cada relatório será classificado de 0 a 100. Receberá nota 
zero os relatórios referentes a uma prática que o aluno não tenha participado ou assinado 
a lista de frequência. A assinatura da lista de frequência é de responsabilidade do aluno. 
 
1.2. Modelo de Relatório de Práticas de Laboratório de Física 
As características fundamentais de um relatório ou artigo são a objetividade e a 
clareza. Os relatórios devem ser curtos mais completos, desta forma, escreva frases 
curtas claras e que conduza ao assunto. Evite utilizar a primeira pessoa do singular, use 
a forma passiva ou a primeira pessoa do plural, e não as misture. 
O relatório deve conter as informações necessárias para o entendimento do 
experimento realizado. Nesse sentido, para que todos os alunos de Laboratório de Física 
tenham uma orientação sobre como se deve fazer o relatório, segue-se um guia para a 
confecção do mesmo. Obviamente, variações são aceitáveis, desde que não fujam 
essencialmente da estrutura apresentada no modelo relatório_2013.doc em anexo. A 
seguir apresentam-se a descrição detalhada do modelo de relatório a ser seguido. 
 
1.2.1. Identificação 
Deve conter a indicação clara do título do trabalho, os nomes dos componentes 
do grupo, o grupo de laboratório e a data da realização do experimento. 
 
1.2.2. Resumo 
O resumo poderá ter de 6 a 12 linhas e deve indicar sucintamente os objetivos da 
experiência, equipamento utilizado, principais resultados e conclusões. Isto é, o resumo 
deve dar ao leitor uma idéia preliminar sobre o conteúdo do relatório e, portanto, deve 
ser escrito depois de finalizado o trabalho. Gráficos e fórmulas não fazem parte do 
resumo. 
 
1.2.3. Introdução 
A introdução deve conter os objetivos da experiência, discussão do tema da 
experiência, apresentação das fórmulas teóricas, leis físicas utilizadas, deduções teóricas 
mais relevantes e outros comentários que parecerem importantes. 
 
1.2.4. Materiais Utilizados 
Nesta seção deve-se apresentar os materiasi e equipamentos utilizados, 
enumerados claramente. 
 
1.2.5. Procedimento experimental 
Em procedimento experimental, deve-se dar uma descrição resumida do 
procedimento utilizado e do método de medição de cada grandeza. Devem também ser 
apresentados nesta parte do relatório, características dos instrumentos utilizados, 
discussão de incertezas de leitura e cuidados particulares que tenham sido adotados na 
tomada de dados. A descrição do arranjo experimental deve incluir figuras mostrando 
características e dimensões relevantes. 
 
1.2.6. Resultados e Discussão 
Esta é a parte principal do relatório, na qual serão mostrados todos os resultados 
obtidos, que podem ser numéricos ou não. Atenção: utilize apenas os dados obtidos 
experimentalmente, ou seja, NÃO INVENTE OU COPIE DADOS DE OUTRO 
GRUPO OU DE COLEGAS DO ANO ANTERIOR. 
Nesta seção apresentam-se inicialmente a(s) tabela(s) com os dados 
experimentais obtidos. Em seguida, vêm os cálculos, gráficos e discussões. É 
importante salientar que é obrigatória a apresentação das equações utilizadas, de forma 
que todos os valores apresentados possam ser recalculados pelo leitor. Os gráficos 
devem ser realizados em papel milimetrado e apresentado no anexo, porém, é necessário 
que o autor cite no texto qual o título da figura e onde esta inserida. 
Deverá ser feita uma análise dos resultados obtidos, com as observações e 
comentários pertinentes. Em um relatório desse tipo espera-se que o aluno discuta os 
resultados em termos dos fundamentos estabelecidos na introdução, mas também que os 
resultados inesperados e observações sejam relatados, procurando uma justificativa 
plausível para o fato. 
 
1.2.7. Resultados e Discussão 
Este item é dedicado à apresentação sucinta dos principais resultados e da 
conclusão obtida no trabalho. Aqui, deve-se fazer uma avaliação global do experimento 
realizado, apresentando os fatos extraídos do experimento, comentando-se sobre as 
adaptações ou não, apontando-se possíveis explicações e fontes de erro experimental. 
Esta etapa não é uma síntese do que foi feito e também não é a repetição da discussão. 
 
1.2.8. Referências Bibliográficas 
Referência bibliográfica é o conjunto de elementos que permitem a identificação 
de documentos impressos ou registrados em qualquer suporte físico, tais como: livros, 
periódicos e materiais audiovisuais, no todo ou em parte. Quando se faz uma referência 
bibliográfica deve-se levar em consideração a ordem convencional dos seus elementos, 
prevista pelas normas da ABNT (ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS 
TÉCNICAS). Em geral, em uma referência bibliográfica tem-se a seguinte ordem de 
elementos: autor, título, edição, local, editora, data, volume e páginas. 
Não se deve confundir referência bibliográfica com bibliografia. Referências 
bibliográficas é a relação das fontes utilizadas pelo autor ao fazer um trabalho. Todas as 
obras citadas no trabalho devem obrigatoriamente constar nas referências bibliográficas. 
Bibliografia é a relação dos documentos existentes sobre determinado assunto ou de 
determinado autor. 
 
2. Medidas e Introdução a Teoria de Erros 
Neste capítulo estuda-se como expressar os resultados experimentais de forma a 
incluir o máximo de informações obtidas durante a experimentação, seja realizando uma 
única medida ou realizando várias medições em medidas diretas ou indiretas. Para tanto, 
definimos um valor verdadeiro como o valor numéricoque acreditamos estar próximo 
probabilisticamente do valor verdadeiro da grandeza, atribuindo-lhe ademais uma 
margem de segurança, ou seja, o valor mais provável a menos de uma incerteza. Assim, 
para obtermos o valor da medição de um experimento, o mais próximo possível do valor 
verdadeiro com o erro cometido estimado, utiliza-se a Teoria de Erros. 
 
2.1. Representação de um Resultado Experimental 
Por ser o erro inerente ao próprio processo de medida de uma grandeza, o valor 
medido é geralmente indicado como segue: 
 *x x x  (1) 
sendo *x o valor observado em uma única medida ou o valor médio de uma série de 
medidas, e x o desvio(várias medidas) ou a incerteza (uma única medida). O sinal 
na equação indica que o valor de x esta compreendido no intervalo abaixo: 
 * *x x x x x    (2) 
Nas próximas seções apresentam-se como obter o valor observado, a incerteza, a 
média, e os desvios. Mas, primeiramente é necessário classificar as medidas e os erros. 
 
2.2. Classificação das Medidas 
As medidas podem ser de dois tipos: direta e indireta. 
a. Medida direta: é a medida (leitura) obtida diretamente do instrumento de 
medida. 
Ex.: medida de um comprimento mediante utilizando um régua graduada, 
de uma corrente elétrica com o amperímetro ou de um intervalo de 
tempo com um cronômetro. 
b. Medida indireta: é aquela que resulta do cálculo de uma equação. 
Ex.: velocidade média, área, volume, densidade, frequência, etc. 
 
2.3. Erros e Desvios 
Algumas grandezas possuem seus valores reais conhecidos e outras não. Quando 
conhecemos o valor real de uma grandeza e experimentalmente encontramos um 
resultado diferente, dizemos que o valor observado está afetado de um erro, o qual pode 
ser definido como: 
 .obs realV V   (3) 
em que  o erro da medida, .obsV e realV são os valores observado e real, 
respectivamente. 
Na maioria da vezes obter o valor real de um grandeza física, através de medidas 
é quase impossível. Mas podemos estabelecer um valor adotado que mais se aproximas 
do valor real, como é o caso da aceleração da gravidade. Nesse caso, ao efetuarmos a 
medida, denominaremos desvios e não erros. 
 
2.4. Classificação de Erros 
Por mais cuidadosa que seja uma medida e por mais preciso que seja o 
instrumento, não é possível realizar uma medida direta perfeita. Ou seja, sempre existe 
uma incerteza ao se comparar uma quantidade de uma grandeza física com sua unidade. 
Segundo sua natureza, os erros são geralmente classificados em três categorias: 
grosseiros, sistemáticos e aleatórios ou acidentais. 
 ERROS GROSSEIROS: ocorrem devido à falta de prática ou distração do 
experimentador. 
Ex.: erro na leitura da escala do instrumento; escolha da escala inadequada; 
erro de cálculos, etc. 
OBS.: Este tipo de erro pode ser evitado pela repetição cuidadosa das 
medidas. 
 
 ERROS SISTEMÁTICOS: caracterizam por ocorrerem e conservarem, 
em medidas sucessivas, o mesmo valor e sinal. Podem ter como origem: 
defeitos de instrumento de medidas, método de medida errôneo, ação 
permanente de causas externas, maus hábitos do experimentador. 
OBS.: Este tipo de erro nem sempre é de fácil correção. 
 
 ERROS ACIDENTAIS: caracterizam por ocorrerem e conservarem, em 
medidas sucessivas, o mesmo valor e sinal. Podem ter como origem: 
defeitos de instrumento de medidas, método de medida errôneo, ação 
permanente de causas externas, maus hábitos do experimentador. 
A distinção entre erros aleatórios ou sistemáticos é, até certo ponto, subjetiva, 
entretanto, existe uma diferença clara, a contribuição dos erros aleatórios pode ser 
reduzida pela repetição das medidas, enquanto àquelas relativas a erros sistemáticos, em 
geral é insensível à repetição. Os erros grosseiros e sistemáticos podem ser eliminados, 
os erros acidentais devem ser tratados quantitativamente através de métodos estatísticos, 
de maneira que seus efeitos sobre a grandeza física medida, podem ser, em geral 
determinados. 
 
2.5. Incertezas 
O erro é inerente ao processo de medidas, isto é, nunca será completamente 
elimidado. O erro poderá ser minimizado, procurando-se eliminar o máximo possivel as 
fontes. Ao realizar medidas é necessários avaliar quantitativamente as incertezas nas 
medidas ( x ). Para tal finalidade, devem-se levar em consideração os tipos de 
medidas. 
 
2.5.1. Incertezas em Medidas Diretas 
A medida direta de uma grandeza x com sua incerteza estimada pode ser feita 
de duas formas distintas. 
 
a. Medindo-se apenas uma vez a grandeza x : 
Neste caso tomamos como incerteza da medida ( x ) a metade da menor 
subdivisão. 
Exemplo: efetuando a medida de um comprimento, com uma trena, obtém-se 
que largura de um determinado objeto é 70 cm. Neste caso, como a menor subdivisão da 
trena é 01 mm a incerteza na medida será de 0,5 mm, que corresponde à metade da 
menor subdivisão da trena. Desta forma, o valor da grandeza é dado por
(700,0 0,5)l mm  . O que significa que o valor medido está entre 699,5 mm e 700,5 
mm. 
 
b. Medindo-se várias vezes a grandeza x , sob as mesmas condições físicas: 
Quando medidos N a mesma grandeza, sob as mesmas condições físicas os 
valores medidos 1 2 3, , , Nx x x x não são geralmente iguais entre si e mesmos 
desconsiderando os erros grosseiros e sistemáticos, as diferenças entre elas são 
atribuídas aos erros aleatórios. Neste caso, o resultado da medida é expresso como: 
 x x x  (4) 
na qual x é o valor médio das N medidas dado por: 
 1 2 3 1
N
i
n i
x
x x x x
x
N N
    

 (5) 
Exemplo 1: Consideremos os seguintes dados correspondentes aos comprimentos de 8 
rolos de fio de aço. 
Tabela1: Comprimentos dos fios em metros 
65 72 70 77 60 67 69 68 
 Determine o valor médio das medidas. 
65 72 70 77 60 67 69 68 584
68,50
8 8
m
      
  
ix é a incerteza da medida e representa a variabilidade e a dispersão das medidas. Esta 
incerteza pode ser determinada utilizando-se a incerteza absoluta (desvio absoluto) e o 
desvio padrão do valor médio. 
 
 DESVIO ABSOLUTO 
Denomina-se desvio absoluto ( ix ) de uma medida a diferença entre o valor 
obtido (xi) nessa medida e o valor médio x , obtido de diversas medidas. Esse 
desvio nos dirá o quanto à respectiva medida esta distante do valor médio. Se o 
valor de ix for positivo significa que o valor da medida está acima da média. 
Se o valor de ix for negativo significa que o valor da medida está abaixo da 
média. De uma forma geral podemos escrever os desvios como segue: 
 (6) 
Exemplo 2: Considerando os dados da Tabela 1 do exemplo 1 determine o desvio 
absoluto das medidas. 
Dados 
experimentais 
comprimento (m) 
Desvio 
Absoluto (m) 
i ix x x   
65 65 68,5 3,5  
72 72 68,5 3,5  
70 70 68,5 1,5  
77 77 68,5 8,5  
60 60 68,5 8,5   
67 67 68,5 1,5  
69 69 68,5 0,5  
68 68 68,5 0,5   
 
 
 DESVIO PADRÃO DA MÉDIA 
Desvio padrão do valor médio de uma série de medidas x é o desvio padrão de 
uma medida, dividido pela raiz quadrada do número de medidas na série. 
 
Para N ≤ 100: 
 
 
2
1
( 1)
N
i
i
x
x
N NN

 

 


 (7) 
Para N > 100: 
 
 
2
1
2
n
i
i
x
x
N
 



 (8) 
Exemplo 3: Determine o valor do desvio padrão do valor médio das medidas 
apresentadas na Tabela 1. 
 
Como N=8 e 8 < 100 o desvio padrão do valor médio é dado por: 
 
               
2
1
2 2 2 2 2 2 2 2
( 1)
3,5 3,5 1,5 8,5 8,5 1,5 0,5 0,5
8(8 1)
174
561,7627 m
N
i
i
x
x
x
x
x
N N








          



 

 
 
2.5.2. Incertezas em Medidas Indiretas 
Geralmente é necessário utilizar os valores medidos e afetados por incertezas 
para determinar os valores de outras grandezas. Nas medidas diretas o valor da grandeza 
final dependem das incertezas de cada uma das grandezas obtidas direta ou 
indiretamente, bem como da forma da expressão matemática utilizada para obtê-las. 
Considere uma grandeza M obtida através da solução de uma equação que 
envolve três grandezas X, Y e Z. Como X, Y e Z foram obtidas experimentalmente, 
suas incertezas ∆X, ∆Y e ∆Z podem ser quantificadas através da teoria de erros. Para 
quantificar o desvio (incerteza) da grandeza M, deve-se utilizar a definição de 
diferencial total de M, ou seja, 
M M M
M X Y Z
X Y Z
       
           
       
 
Por praticidade, consideremos agora um método mais imediato, envolvendo 
apenas operações de álgebra elementar. 
Seja: a = (x ± ∆x) e b = (y ± ∆y) 
 Adição: a + b = (x ± ∆x) + (y ± ∆y) = (x + y) ± (∆x +∆y) 
 Subtração: a - b = (x ±∆x) - (y ±∆y) = (x - y) ± (∆x + ∆y) 
 Multiplicação: a . b = (x ±∆x) . (y ±∆y) = (x . y) ± (x.∆y + y.∆x) 
 Multiplicação por uma constante c: c . a = c (x ± ∆x) = c. x ± c.∆x 
 Divisão: a / b = (x ±∆x) / (y ±∆y) = x/ y ± (x.∆y + y.∆x) / y2 
 Coseno: cos( ) cos (x ±Δx) = cos (x) ±Δx (x)a sen  
 Seno: ( ) (x ±Δx) = (x) ± Δx cos (x)sen a sen sen  
 Logaritmo:  Δxlog( ) log (x ±Δx) = log (x) ± xa  
 Exponencial:  x ±Δx x x= ± ln Δxac c c c c  
 Raiz quadrada:    
1
2
Δx
x Δx x Δx x
2 x
a       
 
2.6. Algarismos Significativos 
A medida de uma grandeza física é sempre aproximada, por mais capaz que seja 
o operador e por mais preciso que seja o aparelho utilizado. Para representarmos uma 
medida usamos algarismos. Além de utilizarmos algarismos que temos certeza de 
estarem corretos, admite-se o uso de apenas um algarismo duvidoso. O número de 
algarismos significativos está diretamente ligado à precisão da medida, ou seja, quanto 
mais precisa a medida maior é o numero de algarismos significativos. 
Exemplo: Se o resultado de uma medida é 3,24cm, os algarismos 3 e 2 são 
corretos e o algarismo 4 é o duvidoso não tendo sentido físico escrever qualquer 
algarismo após o 4. 
Observações importantes em relação aos algarismos significativos: 
 A presença de vírgula (casas decimais) no valor de uma medida não é 
considerada ao se tratar da identificação de algarismos significativos. 
Exemplo: uma medida de 7,45 cm possui duas casas decimais, mas três 
algarismos significativos. 
 Não é algarismo significativo o zero a esquerda do primeiro algarismo 
significativo diferente de zero. 
Exemplo 
 4 = 0,4 x 10 = 0,004 x 102 = 0,004 x 103 (1 algarismo significativo). 
 0,0003302 = 0,3302 x 10-3 (4 algarismo significativo). 
 
 Zero a direita de algarismo significativo também é algarismo significativo. 
Exemplo 
 5 (1 algarismo significativo). 
 5,000 (4 algarismo significativo). 
 
Obs. Quando tratamos apenas com a matemática podemos dizer que 5 cm; 
5,0 cm e 5,000 cm são iguais. Mas quando estamos lidando com 
resultados de medidas devemos lembrar que esses resultados são 
diferentes, pois a precisão de cada uma delas é diferente. 
 
 É significativo o zero situado entre algarismos significativos. 
Exemplo 
 4,03 (3 algarismos significativos). 
 3,30002 (6 algarismo significativo). 
 
 Arredondamento: Quando for necessário fazer arredondamento de algum 
número, utiliza-se a seguinte regra: 
 
 
 
2.6.1. Algarismo Significativos em Medidas Incertezas em Medidas Indiretas 
Suponha que um um aluno realizou uma série de medidas de comprimento de 
uma barra metálica  , e obteve os seguintes resultados: 
 Comprimento médio: 62,63899cm ; 
 Incerteza: 0,437cm  ; 
Como a incerteza da medida esta na casa dos décimos de cm, não faz sentido 
fornecer os algarismos correspondentes aos centésimos, milésimos de cm e assim por 
diante. Ou seja, a incerteza estimada de uma medida deve conter apenas um algarismo 
significativo. Os algarismos a direita deste, serão utilizados apenas para efetuar os 
calculos e arredondamento ou simplemente desprezados. Assim, a incerteza da medida 
realizada pelo aluno é dados por: 
 0, 4cm  
 
Quanto ao comprimento médio das medidas temos que os algarismos 6 e 2 são 
exatos porém o algarismos 6 já é duvidoso porque o erro estimado afeta a casa 
que lhe corresponde, consequentemente, os algarismos 3, 8, 9 e 9 são 
desprovidos de significado físico e não é correto escrevê-los. Estes algarismos 
Condições Procedimentos Exemplos
< 5
O último algarismos a permanecer ficará 
inalterado
23,24  23,2
55,94  55,9
>5
Soma-se uma unidade ao algarismo que 
permanece
42,28  42,3
25,08  25,1
55,99  56,0
= 5
Se o algarismo após o número 5, em qualquer 
casa, existe um número diferente de 0, soma-se 
1 unidade ao algarismo que permanece
2,352  2,4
6,250002  6,3 
= 5
Se 5 for o ultimo algarismo ou se após o 5 
seguirem só 0, o ultimo algarismo a ser 
conservado só será aumentado de 01 unidade se 
for ímpar.
24,75  24,8
24,65  24,6
2,7500  2,8
2,8500  2,8
serão utilizados para a realização de calculos e arrendondadamento o 
simplesmente desprezados. Desta forrma, o modo correto de escrever o resultado 
final desta medida é dado abaixo: 
 
 62,6 0, 4 cm  
 
 
3. Ajuste de Curvas Experimentais 
 
Os processos de medidas usualmente disponíveis em laboratório não permitem 
que se obtenha um espectro contínuo de valores das variáveis medidas, ou seja, o 
resultado da medição não se traduz em uma função contínua do tipo  y f x , mas sim 
em um conjunto de N pontos discretos da forma  ,i ix y , 1,2, ,i N  . Assim, é comum 
dar um tratamento a esses dados, obtidos experimentalmente, ajustando os pontos 
experimentais a uma função analítica a esse conjunto de pontos. 
 
3.1. Ajuste para uma função do primeiro grau 
 
3.11. reta 
 Mostraremos, inicialmente, como ajustar um conjunto de pontos a uma reta 
y ax b  , sendo a e b os parâmetros a serem determinados. Neste caso estamos 
interessados em minimizar a distância de cada ponto  ,i ix y da tabela, obtida durante a 
realização do experimento, a cada ponto  ,i ix ax b , conforme ilustra a Fig. 1. 
 
 
Fig. 1: Distância de um ponto  ,i ix y à reta y ax b  . 
 A distância entre esses pontos é i iy ax b  e a soma dos quadrados dessas 
distâncias é dada por: 
 
2
1
N
i i
i
d y ax b

   (9) 
sendo N o número de medidas realizadas. 
 Os candidatos a ponto mínimo da função (9) são aqueles para os quais são nulas 
as derivadas parciais de d em relação a cada um de seus parâmetros, isto é: 
 
1
2 0
n
i i i
i
d
x y ax b
a 

   

 (10) 
 
1
2 0
n
i i
i
d
y ax b
b 

   

 (11) 
 Tendo em vista que: 
  2
1 1 1 1
n n n n
i i i i i i i
i i i i
x y ax b x y a x b x
   
   
       
   
    
e que: 
 
1 1 1 1 1 1
n n n n n n
i i i i i i
i i i i i i
y ax b y a x b y a x nb
     
     
            
     
      
obtemos o seguinte sistema de equações, denominado “equações normais” do problema, 
cujas incógnitas são os parâmetros a e b da equação y ax b  . 
1 1
2
1 1 1
n n
i i
i i
n n n
i i i i
i i i
y a xnb
x y a x b x
 
  
  
   
  

   
    
   
 
  
 (11) 
Exemplo: Considere uma medida do movimento retilíneo uniforme efetuado por 
um carrinho no laboratório. Na tabela abaixo apresentam-se as posições (x em 
metros) e os tempos (t em segundos). Determine pelo método dos mínimos 
quadrados os coeficientes linear (posição inicial) e angular (velocidade). Apresenta 
a reta que melhor se ajusta aos pontos experimentais. 
 
Tabela: Valores de x em função de t. 
Medidas 1 2 3 4 5 
t(s) 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 
x(m) 0,51 0,59 0,72 0,80 0,92 
 
Para a aplicação do método dos mínimos quadrados, sugere-se a construção de uma 
tabela, conforme indicado abaixo, lembrando que neste caso a variável t é a variável 
independente e a variável dependente é dada por x. 
 
 
t(s) x(m) tx t2 
0,100 0,51 0,051 0,010 
0,200 0,59 0,12 0,040 
0,300 0,72 0,22 0,090 
0,400 0,80 0,32 0,160 
0,500 0,92 0,46 0,250 
1
1,500
N
i
i
t

 
1
3,54
N
i
i
x

 
1
1,17
N
i i
i
t x

 2
1
0,550
N
i
i
t

 
 
Os resultados acima devem ser substituídos na equação abaixo para se determinar os 
coeficientes linear e angular (b e a, respectivamente) . Lembrando que neste caso temos 
N= 5 medidas e que para determinar os coeficientes b e a pode-se aplicar qualquer 
método numérico para resolver sistemas lineares, tais como, método de Gauss, Jacob, 
fatoração, entre outros. 
 
1 1
2
1 1 1
3,54 1,500 5
0, 40 1,1
1,17 0,550 1,500
n n
i i
i i
n n n
i i i i
i i i
x a t Nb
t x a t b t
a b
b e a
a b
 
  
  
   
  

   
    
   
 
  
 
 
  
 
Portanto, temos: 
0
1,1
a equaçãoda reta édada por: ( ) 0, 40 1,1
0,40
mv
s x t t
x m
 
 

 
 
 
3.2. Ajuste para uma função de grau n 
 Um caso especial de ajuste linear múltiplo ocorre quando 
2
1 2, , ,
n
nx x x x x x   . Neste caso a equação do modelo é dada por: 
  20 1 2
n
nP x a a x a x a x     
ou seja, estamos perante um ajuste polinomial, isto é, estamos ajustando os dados a um 
polinômio de grau n (não confundir com o número de medições). 
 Para este caso o sistema normal é dado por: 
2
1 1 1 1
2 3 1
1 1 1 1 1
2 2 3 4 2
1 1 1 1 1
1 2 2
1 1 1 1
n n n n
n
i i i i
i i i i
n n n n n
n
i i i i i i
i i i i i
n n n n n
n
i i i i i i
i i i i i
n n n n
n n n n n
i i i i i i
i i i i i
y n x x x
x y x x x x
x y x x x x
x y x x x x
   

    

    
 
    
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
   
    
    
   



     

0
1
2
1
n
n
a
a
a
a
 
 
 
   
   
   
   
   
   
     
 
 
 


 
Para encontrar os parâmetros 0 1 2, , , , na a a a pode-se aplicar qualquer método 
numérico para resolver sistemas lineares, tais como, método de Gauss, Jacob, fatoração, 
entre outros. 
 
3.3. Ajuste para uma função não linear 
Em alguns casos, obtém-se em laboratórios dados experimentais em que o ajuste 
linear não pode ser considerado, pois não é combinação linear dos parâmetros. Nestes 
casos, necessitamos de outras famílias de funções para representar adequadamente os 
pontos experimentais. Isto é, para se aplicar o método dos míninos quadrados faz-se 
necessário a linearização do problema através de transformações convenientes. 
 
Para exemplificar, deseja-se ajustar uma função com dados tabelados f(x) à 
função xex 21)(
  , 1 e 2 positivos. Observe que a função a ser ajustada é não-
linear com relação aos s' . Esta função não pode ser ajustada diretamente utilizando o 
Método dos Mínimos Quadrados. Pode-se aplicar a transformação ))(ln()( xx  , 
resultando em: 
 
xxx 21 )ln())(ln()(   
 
Definindo: )ln( 11   e 22   , tem-se: 
xx 21)(   
A função )(x é linear com relação aos s' , desta forma, pode-se determinar 
os valores de 21  e pelo Método dos Mínimos Quadrados. Os valores de 1 e 2 
são obtidos pelas relações definidas acima. Os valores 21  e ajustam a função 
)(x à função ))(ln( xfz  no sentido dos mínimos quadrados. Não se pode afirmar 
que os parâmetros 1 e 2 obtidos a partir de 21  e ajustam )(x a f(x) no 
mesmo sentido. 
 
Exemplo: Ajustar os dados tabelados abaixo pelo Método dos Mínimos Quadrados. 
 
x -1,0 -0,7 -0,4 -0,1 0,2 0,5 0,8 1,0 
f(x) 36,547 17,264 8,155 3,852 1,820 0,860 0,406 0,246 
 
 
 
A partir dos dados tabelados, pode-se desenhar os diagrama de dispersão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
0
5
10
15
20
25
30
35
40
O diagrama de dispersão sugere o ajuste pela função xex 21)(
  . Como visto 
acima, neste caso deve-se linearizar o problema por meio de uma transformação 
conveniente: 
 
)()ln()](ln[)](ln[ 21 xxxxf   
xx 21)(   
na qual )ln( 11   e 22   . 
Para a notação utilizada, tem-se: 
1)(1 xg e xxg )(2 
 
 
O ajuste será feito para )](ln[ xfz  . Os valores da tabelados são modificados 
para: 
 
x -1,0 -0,7 -0,4 -0,1 0,2 0,5 0,8 1,0 
)](ln[ xfz  3,599 2,849 2,099 1,349 0,599 -0,151 -0,901 -1,402 
 
Deve-se resolver o sistema linear: 
 


















2
1
2
1
1413
1211
b
b
aa
aa


 
 
Em que: 
 
 
 

8
1
8
1
2
111 811)(
i i
xga 



8
1
8
1
212112 3,01)()(
i
k
i
kk xxgxgaa 
 
 

8
1
8
1
22
222 59,3)(
i i
kxxga 



8
1
8
1
11 041,81)ln()()ln(
i
k
i
kk xxgxb 



8
1
8
1
22 646,8)ln()()ln(
i
kk
i
kk xxxgxb 
 



















646,8
041,8
59,33,0
3,08
2
1


 
 








5,2
099,1
 
 
Portanto, 
001,3099,11
1  ee 
5,222   
xx eex 5,21 001,3)(
2    
 
 
A seguir apresentam-se alguns ajustes de funções não lineares. 
2
1
2
2
2
2
1 1 2
2
2
ln( ) ln( ) ln( )
ln( ) ln( ) ln( )
ln( ) ln( )
ln( )
ln( ) ln( ) ln( ) ln( )
1 1
cos( ) , c
b
x
bx
a bx cx
b c
a bx cx
a bx cx
y ax y a b x
y ab y a b x
y ae y a bx
y e y a bx cx
y ax x y a b x c x
y a bx cx
y
x x
y a bx cx
y
y a b x y a bt
 
 
 
   
   
   
    
    
    
    
     om cos( )t x
 
 
OBS.: O logaritmo natural é o logaritmo de base e, na qual é aproximadamente igual a 
2,71828.... . e é um número irracional definido para todos os números reais estritamente 
positivo números complexos diferentes de zero. O logaritmo natural é uma função, que 
é o expoente de uma potencia de e, e que torna possível o estudo de fenômenos que 
evoluem de modo exponencial. Também chamado de logaritmo neperiano. 
Principais propriedades: 
 ln(ab) = ln a + ln b; 
 ln(a/b) = ln a – ln b; 
 ln ab =b ln a; 
 ln e=1