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Professora: Gisele Lamas Página 1 Lista de Exercícios IV Gabarito (Taxa Relacionada) 1) A altura h e o raio r da base de um cone circular reto estão variando a taxas constantes de 0,1 m/s e 0,3 m/s, respectivamente. A que taxa estará variando o volume do cone no instante que h = 0,5m e r = 0,2 m? R: 𝑑𝑣 𝑑𝑡 ≈ 0,064.𝜋 3 𝑚³/𝑠 2) Os lados x e y de um retângulo estão variando a taxas constantes de 0,2m/s e 0,1 m/s, respectivamente. A que taxa estará variando área do retângulo no instante em que x =1m e y = 2 m? R: 𝑑𝐴 𝑑𝑡 = 0,5 𝑚²/𝑠 3) O volume V e o raio r da base de um cone circular reto estão variando a taxas constantes de 0,1𝜋 m³/s e 0,2 m/s, respectivamente. Expresse 𝑑ℎ 𝑑𝑡 em termos de r e h, onde h é a altura do cone. R: 𝑑ℎ 𝑑𝑡 = 0,3−0,4𝑟.ℎ 𝑟² 𝑚/𝑠 4) Num determinado instante, as arestas do paralelepípedo medem a, b, c (m) e, neste instante, estão variando com velocidades 𝑣𝑎, 𝑣𝑏 e 𝑣𝑐 (m/s), respectivamente. Mostre que neste instante o volume do paralelepípedo estará variando a uma taxa de 𝑣𝑎𝑏𝑐 + 𝑎𝑣𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑣𝑐 (m³/s). R: 𝑣𝑎. 𝑏. 𝑐 + 𝑎. 𝑣𝑏 . 𝑐 + 𝑎. 𝑏. 𝑣𝑐 𝑚³/𝑠 5) Uma piscina tem 10 m de largura, 20 m de comprimento, 1m de profundidade nas extremidades e 3m no meio, de modo que o fundo seja formado por dois planos inclinados. Despeja-se água na piscina a uma taxa de 0,3 m³/min. Seja h a altura da água em relação à parte mais profunda. Com que velocidade h estará variando no instante que h = 1m? Professora: Gisele Lamas Página 2 R: 𝑑ℎ 𝑑𝑡 = 0,003 𝑚/𝑚𝑖𝑛 6) Uma escada de 8m está encostada em uma parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada do pé da parede a uma velocidade constante de 2 (m/s), com que velocidade a extremidade superior está descendo no instante em que a inferior estiver a 3m da parede? R: −0,81 𝑚/𝑠 7) Uma placa circular de metal expande-se quando aquecida, de modo que seu raio cresce a uma razão constante de 0,02 centímetros por segundo. A que razão a área de superfície ( de um lado) estará crescendo quando o raio for 4 centímetros? R: 𝑑𝐴 𝑑𝑡 = 0,16𝜋 𝑐𝑚²/𝑠 8) Uma viatura da polícia, vindo do norte e aproximando-se de um cruzamento em ângulo reto, está perseguindo um carro em alta velocidade, que, no cruzamento toma a direção leste. Quando a viatura está a 0,6 mi ao norte do cruzamento e o carro fugitivo a 0,8 mi a leste, o radar da polícia detecta que a distância entre a viatura e o fugitivo está aumentando a 20 mi/h. Se a viatura está se deslocando a 60 mi/h no instante dessa medida, qual é a velocidade do fugitivo? R: 70 𝑚𝑖/ℎ 9) Um menino empina uma pipa a 300 pés de altura; o vento afasta a pipa horizontalmente em relação ao menino a uma velocidade de 25 pés/s. A que taxa ele deve soltar a linha, quando a pipa está a 500 pés de distância? R: 20 𝑝é𝑠/𝑠 Professora: Gisele Lamas Página 3 10) Um bote é puxado por uma corda presa à proa que passa por uma argola presa no cais a 6 pés acima da proa. A corda é puxada com uma taxa de 2 pés/s. A que velocidade o bote se aproxima do cais quando 10 pés de corda foram puxados? R: −2,5 𝑝é𝑠/𝑠 11) Num determinado instante 𝜃 = 𝜋 3 e está variando, neste instante, a uma taxa de 0,01 radianos por segundo ( veja figura). A que taxa estará variando o ângulo 𝛼 neste instante? R: 𝑑𝛼 𝑑𝑡 = −1 95 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜𝑠/𝑠 𝜃 2 m 𝛼 5 m
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