Determinantes e Sistemas Lineares

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11 
2.6. DETERMINANTES: 
2.6.1. CONCEITO: 
Toda Matriz Quadrada de números será associada a um número, e toda 
Matriz Quadrada de Letras ou Letras e Número será associado a um polinômio. O Nú-
mero ou o Polinômio associado a uma Matriz Quadrada, obtido de acordo com certas 
regras, será denominado de Determinante. 
2.6.2. FORMA DE OBTENÇÃO: 
O Determinante de uma Matriz Quadrada é obtido fazendo-se a soma 
algébrica dos produtos dos seus elementos, permutando-se de todos os modos possí-
veis as colunas dos elementos da Diagonal Principal fixando-se as linhas, e admitindo-
se que estes produtos sejam positivos ou negativos, conforme os índices das colunas 
de seus fatores formem uma classe par ou ímpar, respectivamente. 
2.6.3. CÁLCULO DO DETERMINANTE: 
2.6.3.1. Matriz de Segunda Ordem: 
É obtido pela diferença dos produtos dos elementos da diagonal princi-
pal e secundária. 
21122211
2221
1211 a.aa.a
aa
aa
−==∆ 
2.6.3.2. Matriz de terceira ordem (Regra de Sarrus): 
É obtido repetindo-se as 2 primeiras colunas (ou as duas primeiras li-
nhas) a direita da 3.ª Coluna (ou abaixo da 3.ª Linha), a seguir soma-se os produtos 
dos elementos da Diagonal Principal e das 2 paralelas, e subtraem-se os produtos dos 
elementos da Diagonal Secundária e das 2 paralelas. 
332112322311312213322113312312332211
3231
2221
1211
333231
232221
131211
............ aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
−−−++==∆
 
Obs.: Regra de Sarrus, só se aplica a determinantes de terceira ordem. 
 
2.6.4. PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES: 
� O Determinante de uma Matriz é igual ao Determinante de sua Transposta; 
 12 
� Se uma Matriz possui uma Linha ou Coluna de “zeros” o seu determinante é 
nulo; 
� Se uma Matriz possuir 2 Linhas ou Colunas iguais ou proporcionais, seu De-
terminante é “zero”; 
� O Determinante de uma Matriz Triangular Superior ou Inferior é igual ao pro-
duto dos elementos da Diagonal Principal; 
� Se trocarmos 2 Linhas ou 2 Colunas entre si em uma Matriz, o seu Determi-
nante muda de sinal; 
� Se multiplicarmos ou dividirmos todos os elementos de uma Linha ou Coluna 
de uma Matriz, por certo número, o Determinante da Matriz fica multiplicado 
por este número; 
� Se multiplicarmos uma Linha ou Coluna de uma Matriz por certo número e o 
resultado somarmos ou subtrairmos com outra Linha ou Coluna da Matriz, 
seu Determinante não se altera. 
 
2.6.4.1. Matriz de ordem superior a três: 
 
Teorema de Laplace: 
O Determinante de uma matriz quadrada A = (aij), de ordem n, é a soma 
do produto dos elementos de uma fila qualquer da matriz pelos respectivos cofatores. 
 
det(A) = a11.D11 – a12.D12 + a13 . D13 - .... + (-1)n+1 . a1n + D1n 
 
Ex: Calcule o determinante da matriz A, sendo A = 










−
−
224
612
053
 
 
Solução: 
Escolhemos a primeira linha (ao acaso) 
A11 = (– 1)1+1 22
61
−
 = 1 . (– 2 – 12) = – 14 
 
A12 = (– 1)1+2 24
62
−
−
 = – 1 . (4 – 24) = 20 
 
 13 
A13 = (– 1)1+3 24
12−
 = 1 . (– 4 – 4) = – 8 
 
como Det A = a11A11+a12A12+a13A13 
 
então Det A = 3 . (–14) + 5 . 20 + 0 . (– 8) = – 42 + 100 = 58 
Resposta: Det A = 58 
Observação: 
Note que a ordem do Determinante fica reduzida. 
Note que fica mais fácil quando escolhemos uma fila com maior núme-
ros de zeros. 
 
Exercícios de aplicação: 
Calcular o valor dos seguintes determinantes: 
a) 










506
235
406
 b) 










−
415
103
215
 c) 










431
645
300
 d) 
9118
7234
6103
5000
 
e) 














−
−
1035
4202
3150
4203
 f) 












−
−
−
−
1265
1220
2413
0237
 g) 
















−
−
−
21010
41550
12040
00010
24321
 
h) 












4321
3321
2221
1111
 i) 
3214
1120
0312
3142
−
 
Respostas: 
a) 18 b) – 6 c) 33 d) 85 e) – 452 f) – 2 g) – 25 h) 1 i) 20 
 
 
Regra de Chió: 
O Determinante de uma Matriz D, que possui um elemento aij = 1, é i-
gual ao Determinante obtido suprimindo-se na Matriz D, a linha i e a coluna j,e substitu-
indo-se os elementos restantes pela diferença entre cada elemento da Matriz restante e 
o produto dos 2 termos das filas suprimidas que pertençam a linha e a coluna do ele-
 14 
mento considerado. Esse Determinante deverá ser precedido do sinal + ou – conforme 
o resultado de i + j do elemento considerado seja par ou ímpar. 
det(Dn) = (-1)i+j.det(D’n-1) 
 
2.7. SISTEMAS LINEARES: 
 
2.7.1. EQUAÇÃO LINEAR: 
É toda a equação da forma: 
a1.x1 + a2.x2 + a3.x3 + ... + an.xn = b 
Obs.: Caso b seja igual a “zero”, então a Equação Linear é dita Homogênea. 
2.7.2. SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES: 
É um conjunto de Equações Lineares, e é representado por: 








=++++
=++++
=++++
=++++
nnnn33n22n11n
3nn3333x32131
2nn2323222121
1nn1313212111
bx.a...x.ax.ax.a
.......................................
bx.a...x.ax.ax.a
bx.a...x.ax.ax.a
bx.a...x.ax.ax.a
 
Onde: 
x1, x2, x3, ..., xn são variáveis; 
a1, a2, a3, ..., an são coeficientes numéricos, 
b é o termo independente. 
 
Obs.: 
a) Denomina-se Solução de um sistema de Equações Lineares ao conjunto 
de n valores que é simultaneamente a solução de todas as equações do 
sistema; 
b) Um Sistema de Equações Lineares pode ser Possível (quando admite so-
lução) ou Impossível (quando não admite solução); 
c) Um Sistema de Equações Lineares Possível pode ser Determinado 
(quando admite uma única solução) ou Indeterminado (quando admite 
mais de uma solução); 
 15 
d) Dois sistemas de Equações Lineares são ditos Equivalentes quando pos-
suem a mesma solução. 
 
2.7.3. SOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES nxn 
Regra de Cramer: 
Um Sistema de n Equações Lineares com n incógnitas, cujo determi-
nante da Matriz dos Coeficientes das Incógnitas é diferente de “zero” é Determinado, e 
sua solução é obtido pela razão entre o Determinante que se deriva da Matriz dos Coe-
ficientes pela substituição dos Termos Independentes em cada uma das incógnitas e o 
Determinante da Matriz dos Coeficientes. 








=++++
=++++
=++++
=++++
nnnn33n22n11n
3nn3333x32131
2nn2323222121
1nn1313212111
bx.a...x.ax.ax.a
.......................................
bx.a...x.ax.ax.a
bx.a...x.ax.ax.a
bx.a...x.ax.ax.a
 
Determinante das incógnitas d∆ 
nn3n2n1n
n1131211
a...aaa
...............
a...aaa
=∆ 
Determinante da primeira variável 
∆
∆
=⇒=∆ 1
1
x
1
nn3n2nn
n113121
x x
a...aab
...............
a...aab
 
................................... 
Determinante da enézima variável 
∆
∆
=⇒=∆ n
n1
x
n
n3n2n1n
1131211
x x
b...aaa
...............
b...aaa
 
Resumindo: 
 
Sistema 
Linear 
Possível 
Admite Soluções 
Determinado 
Admite uma única solução 
Indeterminado 
Admite infinitas soluções 
Impossível 
Não admite Solução 
 16 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
1) Dadas as Matrizes A = 





10
25
, B = 




 −
31
24
, C = 





30
21
 e D = 




−
03
21
, determi-
nar: 
a) A+B resp. a) 





41
09
 
b) 2.B+Ct resp. b) 




 −
94
49
 
c) B+D resp c) 





34
03
 
d) 3.A+Bt+C resp. d) 





− 92
920
 
 
2) Dadas as Matrizes A= 





19
74
 e B= 





− 46
22
, resolva o sistema: 



=−−
=+
Ayx
Byx2
 
resp. X = 





− 315
96
 e Y = 





−
−−
224
1610
 
 
3) Dadas as Matrizes









 −
=
321
542
201
A
 e B = 









 −
231
610
213
, resolva o sistema: 



=+−
=−
By2x
Ayx
 Resposta: x = 








 −−
873
1694
215
 y = 









 −
552
1152
014
 
 
4) Sendo A = 





− 31
20
e B = 





52
42
, resolva os Sistemas: 
a) 



−=−
=+
BAyx
A2yx
 b) 



−=+
+=−
BA3yx
B3Ayx3
 
resp. a) x = 





−
−
25,2
11
 y = 





45,0
31
 b) x = 





5,50
41
 y = 





−−
−−
5,15
23
 
5) Construir a matriz A=( aij )2x2 cujos elementos satisfazem a relação aij = 2i + j 
resp. = 





65
43
 
 17 
 
6) Considerando a matriz A=( aij )2x2 com aij = ( i + j )², calcular x,y, z e t para que se 
tenha: A = 





−−
+−+
tzyx4
t3z6y2x3
 
resp. x=2, y = -1, z = -19, t = -
35 
7) Calcular o produto AB sendo, A = 





43
21
 e B = 




−
50
12
 
Resp. 





−
−
236
112
 
8) Para as matrizes A = 




 −
24
32
 e B = 





53
61
, mostrar que: 
a) AB ≠ BA 
b) ( A+B )t = At +Bt 
 
9) Determinar a inversa das seguintes matrizes 
a) A = 





−15
20
 resp. A¯1 = 





02/1
5/110/1
 
b) B = 





52
83
 resp. B¯1 = 





−
−
32
85
 
c) C = 





−− 64
43
 resp. C¯1 = 





−− 2/32
23
 
d) D = 










−− 111
132
011
 resp. D¯1 = 










−−
−
101
113
114
 
 
10) Dada a matriz A = 





11
32
, determinar a matriz X, tal que X+ A¯1 = At 
resp. = 




 −
32
23
 
11) Calcule X e Y na igualdade: 
 





−
24
61
. 





Y
X
= 





22
1
 resp. X= 5 e Y= 1 
 
 18 
12) Verifique quais dos seguintes produtos podem ser efetuados 
a) A2x3 . B3x1 b) A4x2 . B2x3 c) A2x3 . B4x2 d) A3x1 . B3x1 
 
13) Resolva as seguintes equações: 
a) X. 





52
42
 - 





10
01
 = 0 resp. X= 





−
−
11
22/5
 
 
b) 










123
012
101
.X = 










13
4
6
 resp. X= 










5,5
3
5,0
 
 
c) 










123
012
001
.X = 










8
4
3
 resp. X= 










−
3
2
3
 
 
14) Efetue os produtos 
 
a) 





−
−
41
35
. 





− 2
3
 = resp. = 





−11
21
 
b) [ ]531 .










3
0
2
 = resp. = [ ]17 
c) 










1
2
3
. [ ]230 − = resp. =










−
−
−
230
460
690
 
d) 





− 41
25
 . 




 −
30
12
 = resp. = 





− 132
110
 
e) [ ]851 .










3
1
0
 = resp. = [29] 
f) 





34
51
. 





−101
234
 = resp. = 




 −
51219
339
 
 19 
g) 










−16
24
31
. 





362
501
 = resp. = 










− 2764
26128
14187
 
h) 










−
−
312
231
101
.










−
112
512
014
 = resp = 










−
−
2416
1762
102
 
15) Calcule os seguintes determinantes: 
 a) b) c) d) 
224
612
053
−
− 
300
030
003
−
 
1185
1074
963
 
514
185
431
−
−−
 
 resp. = 58 resp. = -27 resp. = zero resp. = - 154 
 
16) Resolva as seguintes equações: 
 a) b) c) 
0
x31
4x2
2x1
=
−−
−− 0
643
x62
231
=
−
 6x
245
x0x
312
−= 
 resp. X= 0 e X= -2 resp. X = 4 resp. X= -1 
 
17) Seja A = (aij) uma matriz quadrada de 2°ordem tal que aij = i² + i.j . Calcular o de-
terminante de A. resp. = -2 
 
18) Dada a matriz A = 





42
01
, determinar o determinante de (A¯¹). resp. = ¼ 
 
19) Calcule o determinante das matrizes. 
a) A = ( aij )2x2 sendo aij = i + 2j 
b) B = (bij)2x2 sendo bij = i² - j 
c) C = (cij)3x3 sendo cij = 2i – 3j 
d) D = (dij)3x3 sendo dij = 3i – 2j 
 
resposta: a) -2 b) 3 c) zero d) zero 
 
 
 20 
20) Resolva as equações 
a) 8
13
2x
= b) 
12
43
53
1x2
= 
c) 
38
2x
43
1x22x −
=
−+
 d) 
17
13
33
21
6x
x7
+= 
 
Respostas: a) x = 14 b) x = - 0,2 c) x = -1 d) x = ± 7 
 
21) Determine o valor do determinante da matriz A = (aij) de terceira ordem onde: 
 aij = 



=−
≠
jise;ji3
jise;0
 resp. = 48 
 
22) Calcule o determinante de A, sendo A = aij uma matriz quadrada de terceira ordem 
onde aij = 





>−
=+
<
jise;ji
jise;ji
jise;0
 resp. = 48 
 
23) Resolva as seguintes equações: 
 a) b) c) 
0
213
x42
142
= 2
3x2
x10
232
=
−
−
 0
1x2x
1x3
x31x
=
−
+
 
 resp. X=1 resp. X = 1 e X = 2 resp. X = 7/3 
 
24) Aplicando o teorema de Laplace, calcule o valor do determinante das seguintes 
matrizes: 
 a) b) c) d) 










506
235
406
 










−
415
103
215
 










431
645
300
 














9118
7234
6103
5000
 
 resp.= 18 resp. = -6 resp. = 33resp. = 85 
 
 e) f) g) h) 
 21 












−
−
1035
4202
3150
4203
 
1265
1220
2413
0237
−
−
−
−
 














−
3214
1120
0312
3142
 
21010
41550
12040
00010
24321
−
−
−
 
 resp. = -452 resp. = -2 resp. = 20 resp. = -25 
 
25) Determine o valor real de X, no determinante: 
16
2000
3x02
21x1
000x
= resp. X = 2 
 
26) Resolva a equação: 
1
01x3
110
35x4
=−
−
 resp. X = -1/2 
 
27) Resolva os sistemas aplicando a regra de Cramer 
 
a) 



=+
−=−
8y2x
6y4x3
 resp. ( 2,3 ) 
 
b) 



=+
=−
8y3x2
1yx3
 resp. ( 1,2 ) 
 
c) 



=−
=+
0yx
10y4x
 resp. ( 2,2 ) 
 
d) 




−=−+
−=−+
=−+
4z5y2x7
2z2yx2
0zyx
 resp. ( 1,2,3 ) 
 
e) 




=−−
=−+−
=−++
03z2y7
01zyx
013z5y3x2
 resp. ( 0,1,2 ) 
 22 
 
f) 




=+
=++
=+−
0yx
2z2y2x2
3z3yx
 resp. ( 0,0,1 ) 
 
28) Discutir o sistema segundo os valores de m e n. 
 
 



=+
=+
nmyx6
7y2x3
 resp. 
 
29) Discutir os sistemas 
a) 



=+
=−
3yx
1myx
 resp. se m ≠ - 1 (s.p.d.) , se m = - 1 (s.i.) 
 
b) 



=+
=+
3myx2
5y8mx
 resp. se m ≠ ± 4 (s.p.d.) , se m = ± 4 (s.i.) 
 
c) 




=−
=++
=−+
2yx
0zmyx
4zymx
 resp se m ≠ - 1 (s.p.d.) , se m = -1 (s.i.) 
 
d) 



=+
=+
7myx3
6y5x
 resp. se m≠15 (s.p.d) , se m = 15 (s.i) 
 
e) 



=−
=+
1yx
2myx3
 resp. se m≠-3 (s.p.d) , se m = -3 (s.i) 
 
f) 



=−
=+
myx
2ymx
 resp. se m≠-1 (s.p.d) , se m = -1 (s.i) 
 
g) 



=+
=+
2yx
1ykx
 resp. se k≠1 (s.p.d) , se k = 1 (s.i) 
 
Se m ≠ 4 (s. p. d.) 
Se m = 4 e n = 14 (s. p. i.) 
Se m = 4 e n ≠ 14 (s. i.) 
 23 
h) 




=++
=++
=−+
nmzyx4
6zyx
10z3yx7
 resp. se m≠-1 (s.p.d) , se m =-1 e n = 8 ( s.p.i ) se m = -1 e n≠8 (s.i) 
 
i) 




−=++
=−+−
−=+
5azyx4
azyx2
20yax
 resp. se a≠1 e a≠ -4 (s.p.d. ), se a=1 e a = -4 ( s.i.) 
 
j) 



=−
=+
0yx
myx2
 resp. ( s.p.d. para qualquer m ) 
 
k) 



=+
=+
0yx
0myx
 resp. se m≠1 (s.p.d. ), se m=1 ( s.p.i. ) 
 
l) 




=+
=−
=+
0zky
0kzx
0yx
 resp. se k ≠ ±1 ( s.p.d.), se k=±1 ( s.p.i ) 
 
 24 
2.8. EXERCÍCIOS SOBRE MATRIZES 
1. Sejam as matrizes: 






−
=
112
321
A , 




−
=
103
102
B , 









−
=
4
2
1
C e [ ]12D −= , calcule: 
a) A + B b) 2B – 3C c) A . C d)B.C e) C.D f)D.A g) D.B 
 
2. Dadas as matrizes: 





−
=
21
65
A . 




 −
=
68
1210
B e C = 





− 13
25
, calcule: 
a) B
2
1A3 + b) A2C3 − c) C
5
1B
2
3
+
−
 d) )BC.(2A −− 
 
3. Calcule A2 , sabendo que .
23
12
A 




−
= 
 
4. Dadas as matrizes: 





−
=
11
02
A , 




 −
=
10
13
B e 





−
=
01
20C , determine a matriz X na 
equação 2.A+ B = X + 2.C. 
 
5. Dadas as matrizes A = 





03
21
 e B = 





01
10
, determine a matriz X tal que A – B + 3X = 0. 
 
6. Se A = 





63
12
, B 





34
12
 e C = 





10
10
, calcule a matriz X na equação 
( ) ( )CX
3
1BAX
2
1
−=−− . 
 
7. Sendo 





=
75
64
A e 





=
16
52
B , calcule a matriz X na equação A.X = B. 
 
8. Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e co-
lonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela matriz: 
 
 25 
 Ferro Mad Vidro Tinta Tijolo 
Colonial
eoMediterrân
Moderno










1358256
21912187
17716205
 
(Qualquer semelhança dos números com a realidade é mera coincidência). 
Utilizando operações entre matrizes resolva as seguintes situações: 
a) Se ele vai construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, res-
pectivamente, quantas unidades de cada material serão empregadas? 
b) Suponha agora que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo se-
jam, respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10 unidades. Qual o preço unitário de cada tipo de 
casa? 
c) Qual o custo total do material empregado? 
 
9. Dadas as matrizes: 





=
01
21
A e 




 −
=
10
13
B , calcule: a) det(A) + det(B) b) det(A+B) 
 
10. Calcule o determinante de cada matriz abaixo: 










−
−
=
734
203
102
A 










=
987
654
321
B 












−
−
=
0211
3102
1020
0513
C 
















−
−pi−=
16538
00324
0056
0001819
00003
D 
11. Construa a matriz 3X3ij )a(A = , com 2j6i2a 3ij +−= e calcule det(A) 
 
12. Resolva os sistemas aplicando a regra de Cramer: 





=−
=−
=+−
0zy2
5z3x
1z7y3x2
)a 





=++
=++
=++
12z5y7x4
5z2y3x2
5zyx
)b 





=−−
=++
=++
5zyx
0z2yx3
0z4y2x
)c 







=++−
−=+−+
=−++
=+++
2wzyx
4wzyx
4wzyx
0wzyx
)d 
 



=+
=+
50y16x10
34y8x5)e 





=++
=++
=++
10z3y2x3
23z6y4x3
10z3y2x
)f 







=−+
=++−
=++
=−+−
0z5y3x9
0tz2y2
0t2yx2
4tzyx
)g 







=+−+
−=−+−
=+−−
=−++
0uz2yx
1u2z2y3x
3uzyx2
0uzyx
)h 
 
 26 
13. Represente graficamente os pares de retas, indicando a solução do sistema: 
a)



=−
=+
3yx2
3yx
 b)



−=−
=+
6yx3
5y2x
 c)



=−
=+
3yx
6y3x2
 d)



=+
−=−
2yx
4y2x
 e)



=+
=−
12y3x
3yx2
 f)




=−
=+
3yx
0
2
y
x
 
 
14. Resolva as seguintes equações: 
a) 





+
=





−
+
3y25
37
2y5
32x
 b) 




−
=





+
−
3
3
yx
y2x
 c) 










−=










−
+
2
1
1
z
yx
yx2
 
 
d) 





−
−
=





11
11
yx
yx
2
2
 e) 





−
=





−−
++
711
811
wz2y4x
wzy3x2
 
 
15. Calcule x e y em cada caso: 
a) 




−
=





+





− 40
11
1x
xy
3x
y2x
 b) 




=




−
+






20
00
y0
x1
1x
xy
2
2
 
 
16. Resolver a equação 





−
=





⋅





− 4
1
y
x
31
12
 
 
17. Resolver a equação 





=





⋅
01
01
01
31
X 
 
18. Resolver a equação A.X = B, sendo A = 





− 01
47
 e B = 





11
12
 
 
19. Calcule x na equação 3
x2
1xx3
=
−
−
 
 
20. Calcule o valor do determinante: 
acosasen
asenacos −
 
 
21. Calcule x em cada igualdade: 
a) 0
31
1x2x
=
+
 b) 2
x3
1xx2
=
−
 c) 
x33
xx
x1
x25 −
= 
 27 
 
22. Resolva as equações: 
a) 5
x21
1x2
113
= b) 3
331
4x3
x1x
−= c) 0
736
5x4
31x
=
−
−
−
 d) 0
011
2x3
102
= 
 
23. Calcule o valor dos determinantes das seguintes matrizes: 
A = 














−
−
1410
2131
2110
4231
 B = 













 −
0014
0103
1002
6321
 C = 
















80000
05000
00400
00030
00002
 
D = 
4001
0306
5002
4321
−
 E = 
21010
41550
12040
00010
24321
−
−
−
 
 
24. Se 5
ihg
fed
cba
= , calcule 
ihg
fed
c2b2a2
 
 
25. Se 6
ihg
fed
cba
= , calcule 
i5h5g5
f2e2d2
c3b3a3
 
 
26. Se A é uma matriz quadrada de ordem 4, com det A = 3, calcule o det B, onde B = 5A. 
 
27. Se A é uma matriz quadrada de ordem 3, com det A = 4, calcule o det B, onde B = 2A. 
 
28. Se A é uma matriz quadrada de ordem 4, tal que det A ≠ 0 e A2 = 3A, calcule det A. 
 
29. Se A é uma matriz quadrada de ordem 3, tal que det A ≠ 0 e A2 = -2A, calcule det A. 
 28 
30. Se A = 
120
413
201
, calcule det (4At). 
31. Calcule o determinante da matriz 














216125278
362594
6532
1111
. 
 
32. Determine a solução dos seguintes sistemas usando matrizes 
a) 





=+−
−=−+
=+−
0z4y2x3
2z2y3x
1zy3x
 b) 





=+−
=++
=++
5z2yx
14z3y2x
7z2y2x
 
RESPOSTAS 
1. a) 




−
015
421
 b)Impossível c) 





− 4
15
 d) 





1
6
 e)










−
−
−
48
24
12
 f) [ ]730 g) [ ]107− 
2. a) 





91
1220
 b) 





−−
−
17
65
 c) 





−−
−
544563
59214
 d) 




 −
1221
2215
 
3. 





70
07
 
4. X = 





−
−
14
57
 
5. X = 
1 1
3 3
2 0
3
 
− − 
 
 
− 
 
 
6. X = 12 4
21 25
 
 
 
 
7. 








−
−
=
2
217
2
2911
X 
8. a) Ferro: 146 Madeira: 526 Vidro: 260 Tinta: 158 Tijolo: 388 
b) Moderno: $ 492,00 Mediterrâneo: $ 528,00 Colonial: $ 465,00 c) $ 11.736,00 
9. a) 1 b) 3 
10. det(A) = 21 det(B) = 0 det(C) = 12 det(D) = 0 
11. 









 −−−
=
384450
0612
1482
A det(A) = 0 
12. a) S = {(61/23, -9/23,-18/23)} b) S = {(3,-5,7)} c) S = {(0,-10,5)} d) S = {(1,-1,2,-2)} e) S = ∅ f) S = ∅ g) S = {(1,2,3,-2)} h) S = {(1,0,2,3)} 
13. a) (2,1) b) (-1,3) c) (3,0) d) (0,2) e) (3,3) f) (1,-2) 
14. a) x = 5 e y = – 5; b) x = 1 e y = 2; c) x = 0, y = 1 e z = 2; d) x = – 1 e y = – 1; e) x = 1, y = 3, z = 5 e w = 3 
15. a) x = – 3 e y = 2; b) x = 0 e y = 1 
16. 





− 1
1
 17. 





10
10
 18. 







 −−
24
9
11
 
19. x = 1 ou x = 
3
5
− 20. 1 21. a) 1; b) 1 ou ½; c) 0 
22. a) 2 ou – 1; b) 2 ou – ½; c) 2 ou –11/7; d) – 1 
23. detA = 31 ; detB = 4 ; detC = 960 ; detD = 78 ; detE = - 25 
24. 10 25. 180 26. 1875 27. 32 28. 81 29. – 8 
30. 320 31. 72 32. a) 





−−
9
1;
9
4;
9
4
 b) 





− 7;
3
2;
3
25