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11 2.6. DETERMINANTES: 2.6.1. CONCEITO: Toda Matriz Quadrada de números será associada a um número, e toda Matriz Quadrada de Letras ou Letras e Número será associado a um polinômio. O Nú- mero ou o Polinômio associado a uma Matriz Quadrada, obtido de acordo com certas regras, será denominado de Determinante. 2.6.2. FORMA DE OBTENÇÃO: O Determinante de uma Matriz Quadrada é obtido fazendo-se a soma algébrica dos produtos dos seus elementos, permutando-se de todos os modos possí- veis as colunas dos elementos da Diagonal Principal fixando-se as linhas, e admitindo- se que estes produtos sejam positivos ou negativos, conforme os índices das colunas de seus fatores formem uma classe par ou ímpar, respectivamente. 2.6.3. CÁLCULO DO DETERMINANTE: 2.6.3.1. Matriz de Segunda Ordem: É obtido pela diferença dos produtos dos elementos da diagonal princi- pal e secundária. 21122211 2221 1211 a.aa.a aa aa −==∆ 2.6.3.2. Matriz de terceira ordem (Regra de Sarrus): É obtido repetindo-se as 2 primeiras colunas (ou as duas primeiras li- nhas) a direita da 3.ª Coluna (ou abaixo da 3.ª Linha), a seguir soma-se os produtos dos elementos da Diagonal Principal e das 2 paralelas, e subtraem-se os produtos dos elementos da Diagonal Secundária e das 2 paralelas. 332112322311312213322113312312332211 3231 2221 1211 333231 232221 131211 ............ aaaaaaaaaaaaaaaaaa aa aa aa aaa aaa aaa −−−++==∆ Obs.: Regra de Sarrus, só se aplica a determinantes de terceira ordem. 2.6.4. PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES: � O Determinante de uma Matriz é igual ao Determinante de sua Transposta; 12 � Se uma Matriz possui uma Linha ou Coluna de “zeros” o seu determinante é nulo; � Se uma Matriz possuir 2 Linhas ou Colunas iguais ou proporcionais, seu De- terminante é “zero”; � O Determinante de uma Matriz Triangular Superior ou Inferior é igual ao pro- duto dos elementos da Diagonal Principal; � Se trocarmos 2 Linhas ou 2 Colunas entre si em uma Matriz, o seu Determi- nante muda de sinal; � Se multiplicarmos ou dividirmos todos os elementos de uma Linha ou Coluna de uma Matriz, por certo número, o Determinante da Matriz fica multiplicado por este número; � Se multiplicarmos uma Linha ou Coluna de uma Matriz por certo número e o resultado somarmos ou subtrairmos com outra Linha ou Coluna da Matriz, seu Determinante não se altera. 2.6.4.1. Matriz de ordem superior a três: Teorema de Laplace: O Determinante de uma matriz quadrada A = (aij), de ordem n, é a soma do produto dos elementos de uma fila qualquer da matriz pelos respectivos cofatores. det(A) = a11.D11 – a12.D12 + a13 . D13 - .... + (-1)n+1 . a1n + D1n Ex: Calcule o determinante da matriz A, sendo A = − − 224 612 053 Solução: Escolhemos a primeira linha (ao acaso) A11 = (– 1)1+1 22 61 − = 1 . (– 2 – 12) = – 14 A12 = (– 1)1+2 24 62 − − = – 1 . (4 – 24) = 20 13 A13 = (– 1)1+3 24 12− = 1 . (– 4 – 4) = – 8 como Det A = a11A11+a12A12+a13A13 então Det A = 3 . (–14) + 5 . 20 + 0 . (– 8) = – 42 + 100 = 58 Resposta: Det A = 58 Observação: Note que a ordem do Determinante fica reduzida. Note que fica mais fácil quando escolhemos uma fila com maior núme- ros de zeros. Exercícios de aplicação: Calcular o valor dos seguintes determinantes: a) 506 235 406 b) − 415 103 215 c) 431 645 300 d) 9118 7234 6103 5000 e) − − 1035 4202 3150 4203 f) − − − − 1265 1220 2413 0237 g) − − − 21010 41550 12040 00010 24321 h) 4321 3321 2221 1111 i) 3214 1120 0312 3142 − Respostas: a) 18 b) – 6 c) 33 d) 85 e) – 452 f) – 2 g) – 25 h) 1 i) 20 Regra de Chió: O Determinante de uma Matriz D, que possui um elemento aij = 1, é i- gual ao Determinante obtido suprimindo-se na Matriz D, a linha i e a coluna j,e substitu- indo-se os elementos restantes pela diferença entre cada elemento da Matriz restante e o produto dos 2 termos das filas suprimidas que pertençam a linha e a coluna do ele- 14 mento considerado. Esse Determinante deverá ser precedido do sinal + ou – conforme o resultado de i + j do elemento considerado seja par ou ímpar. det(Dn) = (-1)i+j.det(D’n-1) 2.7. SISTEMAS LINEARES: 2.7.1. EQUAÇÃO LINEAR: É toda a equação da forma: a1.x1 + a2.x2 + a3.x3 + ... + an.xn = b Obs.: Caso b seja igual a “zero”, então a Equação Linear é dita Homogênea. 2.7.2. SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES: É um conjunto de Equações Lineares, e é representado por: =++++ =++++ =++++ =++++ nnnn33n22n11n 3nn3333x32131 2nn2323222121 1nn1313212111 bx.a...x.ax.ax.a ....................................... bx.a...x.ax.ax.a bx.a...x.ax.ax.a bx.a...x.ax.ax.a Onde: x1, x2, x3, ..., xn são variáveis; a1, a2, a3, ..., an são coeficientes numéricos, b é o termo independente. Obs.: a) Denomina-se Solução de um sistema de Equações Lineares ao conjunto de n valores que é simultaneamente a solução de todas as equações do sistema; b) Um Sistema de Equações Lineares pode ser Possível (quando admite so- lução) ou Impossível (quando não admite solução); c) Um Sistema de Equações Lineares Possível pode ser Determinado (quando admite uma única solução) ou Indeterminado (quando admite mais de uma solução); 15 d) Dois sistemas de Equações Lineares são ditos Equivalentes quando pos- suem a mesma solução. 2.7.3. SOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES nxn Regra de Cramer: Um Sistema de n Equações Lineares com n incógnitas, cujo determi- nante da Matriz dos Coeficientes das Incógnitas é diferente de “zero” é Determinado, e sua solução é obtido pela razão entre o Determinante que se deriva da Matriz dos Coe- ficientes pela substituição dos Termos Independentes em cada uma das incógnitas e o Determinante da Matriz dos Coeficientes. =++++ =++++ =++++ =++++ nnnn33n22n11n 3nn3333x32131 2nn2323222121 1nn1313212111 bx.a...x.ax.ax.a ....................................... bx.a...x.ax.ax.a bx.a...x.ax.ax.a bx.a...x.ax.ax.a Determinante das incógnitas d∆ nn3n2n1n n1131211 a...aaa ............... a...aaa =∆ Determinante da primeira variável ∆ ∆ =⇒=∆ 1 1 x 1 nn3n2nn n113121 x x a...aab ............... a...aab ................................... Determinante da enézima variável ∆ ∆ =⇒=∆ n n1 x n n3n2n1n 1131211 x x b...aaa ............... b...aaa Resumindo: Sistema Linear Possível Admite Soluções Determinado Admite uma única solução Indeterminado Admite infinitas soluções Impossível Não admite Solução 16 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1) Dadas as Matrizes A = 10 25 , B = − 31 24 , C = 30 21 e D = − 03 21 , determi- nar: a) A+B resp. a) 41 09 b) 2.B+Ct resp. b) − 94 49 c) B+D resp c) 34 03 d) 3.A+Bt+C resp. d) − 92 920 2) Dadas as Matrizes A= 19 74 e B= − 46 22 , resolva o sistema: =−− =+ Ayx Byx2 resp. X = − 315 96 e Y = − −− 224 1610 3) Dadas as Matrizes − = 321 542 201 A e B = − 231 610 213 , resolva o sistema: =+− =− By2x Ayx Resposta: x = −− 873 1694 215 y = − 552 1152 014 4) Sendo A = − 31 20 e B = 52 42 , resolva os Sistemas: a) −=− =+ BAyx A2yx b) −=+ +=− BA3yx B3Ayx3 resp. a) x = − − 25,2 11 y = 45,0 31 b) x = 5,50 41 y = −− −− 5,15 23 5) Construir a matriz A=( aij )2x2 cujos elementos satisfazem a relação aij = 2i + j resp. = 65 43 17 6) Considerando a matriz A=( aij )2x2 com aij = ( i + j )², calcular x,y, z e t para que se tenha: A = −− +−+ tzyx4 t3z6y2x3 resp. x=2, y = -1, z = -19, t = - 35 7) Calcular o produto AB sendo, A = 43 21 e B = − 50 12 Resp. − − 236 112 8) Para as matrizes A = − 24 32 e B = 53 61 , mostrar que: a) AB ≠ BA b) ( A+B )t = At +Bt 9) Determinar a inversa das seguintes matrizes a) A = −15 20 resp. A¯1 = 02/1 5/110/1 b) B = 52 83 resp. B¯1 = − − 32 85 c) C = −− 64 43 resp. C¯1 = −− 2/32 23 d) D = −− 111 132 011 resp. D¯1 = −− − 101 113 114 10) Dada a matriz A = 11 32 , determinar a matriz X, tal que X+ A¯1 = At resp. = − 32 23 11) Calcule X e Y na igualdade: − 24 61 . Y X = 22 1 resp. X= 5 e Y= 1 18 12) Verifique quais dos seguintes produtos podem ser efetuados a) A2x3 . B3x1 b) A4x2 . B2x3 c) A2x3 . B4x2 d) A3x1 . B3x1 13) Resolva as seguintes equações: a) X. 52 42 - 10 01 = 0 resp. X= − − 11 22/5 b) 123 012 101 .X = 13 4 6 resp. X= 5,5 3 5,0 c) 123 012 001 .X = 8 4 3 resp. X= − 3 2 3 14) Efetue os produtos a) − − 41 35 . − 2 3 = resp. = −11 21 b) [ ]531 . 3 0 2 = resp. = [ ]17 c) 1 2 3 . [ ]230 − = resp. = − − − 230 460 690 d) − 41 25 . − 30 12 = resp. = − 132 110 e) [ ]851 . 3 1 0 = resp. = [29] f) 34 51 . −101 234 = resp. = − 51219 339 19 g) −16 24 31 . 362 501 = resp. = − 2764 26128 14187 h) − − 312 231 101 . − 112 512 014 = resp = − − 2416 1762 102 15) Calcule os seguintes determinantes: a) b) c) d) 224 612 053 − − 300 030 003 − 1185 1074 963 514 185 431 − −− resp. = 58 resp. = -27 resp. = zero resp. = - 154 16) Resolva as seguintes equações: a) b) c) 0 x31 4x2 2x1 = −− −− 0 643 x62 231 = − 6x 245 x0x 312 −= resp. X= 0 e X= -2 resp. X = 4 resp. X= -1 17) Seja A = (aij) uma matriz quadrada de 2°ordem tal que aij = i² + i.j . Calcular o de- terminante de A. resp. = -2 18) Dada a matriz A = 42 01 , determinar o determinante de (A¯¹). resp. = ¼ 19) Calcule o determinante das matrizes. a) A = ( aij )2x2 sendo aij = i + 2j b) B = (bij)2x2 sendo bij = i² - j c) C = (cij)3x3 sendo cij = 2i – 3j d) D = (dij)3x3 sendo dij = 3i – 2j resposta: a) -2 b) 3 c) zero d) zero 20 20) Resolva as equações a) 8 13 2x = b) 12 43 53 1x2 = c) 38 2x 43 1x22x − = −+ d) 17 13 33 21 6x x7 += Respostas: a) x = 14 b) x = - 0,2 c) x = -1 d) x = ± 7 21) Determine o valor do determinante da matriz A = (aij) de terceira ordem onde: aij = =− ≠ jise;ji3 jise;0 resp. = 48 22) Calcule o determinante de A, sendo A = aij uma matriz quadrada de terceira ordem onde aij = >− =+ < jise;ji jise;ji jise;0 resp. = 48 23) Resolva as seguintes equações: a) b) c) 0 213 x42 142 = 2 3x2 x10 232 = − − 0 1x2x 1x3 x31x = − + resp. X=1 resp. X = 1 e X = 2 resp. X = 7/3 24) Aplicando o teorema de Laplace, calcule o valor do determinante das seguintes matrizes: a) b) c) d) 506 235 406 − 415 103 215 431 645 300 9118 7234 6103 5000 resp.= 18 resp. = -6 resp. = 33resp. = 85 e) f) g) h) 21 − − 1035 4202 3150 4203 1265 1220 2413 0237 − − − − − 3214 1120 0312 3142 21010 41550 12040 00010 24321 − − − resp. = -452 resp. = -2 resp. = 20 resp. = -25 25) Determine o valor real de X, no determinante: 16 2000 3x02 21x1 000x = resp. X = 2 26) Resolva a equação: 1 01x3 110 35x4 =− − resp. X = -1/2 27) Resolva os sistemas aplicando a regra de Cramer a) =+ −=− 8y2x 6y4x3 resp. ( 2,3 ) b) =+ =− 8y3x2 1yx3 resp. ( 1,2 ) c) =− =+ 0yx 10y4x resp. ( 2,2 ) d) −=−+ −=−+ =−+ 4z5y2x7 2z2yx2 0zyx resp. ( 1,2,3 ) e) =−− =−+− =−++ 03z2y7 01zyx 013z5y3x2 resp. ( 0,1,2 ) 22 f) =+ =++ =+− 0yx 2z2y2x2 3z3yx resp. ( 0,0,1 ) 28) Discutir o sistema segundo os valores de m e n. =+ =+ nmyx6 7y2x3 resp. 29) Discutir os sistemas a) =+ =− 3yx 1myx resp. se m ≠ - 1 (s.p.d.) , se m = - 1 (s.i.) b) =+ =+ 3myx2 5y8mx resp. se m ≠ ± 4 (s.p.d.) , se m = ± 4 (s.i.) c) =− =++ =−+ 2yx 0zmyx 4zymx resp se m ≠ - 1 (s.p.d.) , se m = -1 (s.i.) d) =+ =+ 7myx3 6y5x resp. se m≠15 (s.p.d) , se m = 15 (s.i) e) =− =+ 1yx 2myx3 resp. se m≠-3 (s.p.d) , se m = -3 (s.i) f) =− =+ myx 2ymx resp. se m≠-1 (s.p.d) , se m = -1 (s.i) g) =+ =+ 2yx 1ykx resp. se k≠1 (s.p.d) , se k = 1 (s.i) Se m ≠ 4 (s. p. d.) Se m = 4 e n = 14 (s. p. i.) Se m = 4 e n ≠ 14 (s. i.) 23 h) =++ =++ =−+ nmzyx4 6zyx 10z3yx7 resp. se m≠-1 (s.p.d) , se m =-1 e n = 8 ( s.p.i ) se m = -1 e n≠8 (s.i) i) −=++ =−+− −=+ 5azyx4 azyx2 20yax resp. se a≠1 e a≠ -4 (s.p.d. ), se a=1 e a = -4 ( s.i.) j) =− =+ 0yx myx2 resp. ( s.p.d. para qualquer m ) k) =+ =+ 0yx 0myx resp. se m≠1 (s.p.d. ), se m=1 ( s.p.i. ) l) =+ =− =+ 0zky 0kzx 0yx resp. se k ≠ ±1 ( s.p.d.), se k=±1 ( s.p.i ) 24 2.8. EXERCÍCIOS SOBRE MATRIZES 1. Sejam as matrizes: − = 112 321 A , − = 103 102 B , − = 4 2 1 C e [ ]12D −= , calcule: a) A + B b) 2B – 3C c) A . C d)B.C e) C.D f)D.A g) D.B 2. Dadas as matrizes: − = 21 65 A . − = 68 1210 B e C = − 13 25 , calcule: a) B 2 1A3 + b) A2C3 − c) C 5 1B 2 3 + − d) )BC.(2A −− 3. Calcule A2 , sabendo que . 23 12 A − = 4. Dadas as matrizes: − = 11 02 A , − = 10 13 B e − = 01 20C , determine a matriz X na equação 2.A+ B = X + 2.C. 5. Dadas as matrizes A = 03 21 e B = 01 10 , determine a matriz X tal que A – B + 3X = 0. 6. Se A = 63 12 , B 34 12 e C = 10 10 , calcule a matriz X na equação ( ) ( )CX 3 1BAX 2 1 −=−− . 7. Sendo = 75 64 A e = 16 52 B , calcule a matriz X na equação A.X = B. 8. Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e co- lonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela matriz: 25 Ferro Mad Vidro Tinta Tijolo Colonial eoMediterrân Moderno 1358256 21912187 17716205 (Qualquer semelhança dos números com a realidade é mera coincidência). Utilizando operações entre matrizes resolva as seguintes situações: a) Se ele vai construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, res- pectivamente, quantas unidades de cada material serão empregadas? b) Suponha agora que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo se- jam, respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10 unidades. Qual o preço unitário de cada tipo de casa? c) Qual o custo total do material empregado? 9. Dadas as matrizes: = 01 21 A e − = 10 13 B , calcule: a) det(A) + det(B) b) det(A+B) 10. Calcule o determinante de cada matriz abaixo: − − = 734 203 102 A = 987 654 321 B − − = 0211 3102 1020 0513 C − −pi−= 16538 00324 0056 0001819 00003 D 11. Construa a matriz 3X3ij )a(A = , com 2j6i2a 3ij +−= e calcule det(A) 12. Resolva os sistemas aplicando a regra de Cramer: =− =− =+− 0zy2 5z3x 1z7y3x2 )a =++ =++ =++ 12z5y7x4 5z2y3x2 5zyx )b =−− =++ =++ 5zyx 0z2yx3 0z4y2x )c =++− −=+−+ =−++ =+++ 2wzyx 4wzyx 4wzyx 0wzyx )d =+ =+ 50y16x10 34y8x5)e =++ =++ =++ 10z3y2x3 23z6y4x3 10z3y2x )f =−+ =++− =++ =−+− 0z5y3x9 0tz2y2 0t2yx2 4tzyx )g =+−+ −=−+− =+−− =−++ 0uz2yx 1u2z2y3x 3uzyx2 0uzyx )h 26 13. Represente graficamente os pares de retas, indicando a solução do sistema: a) =− =+ 3yx2 3yx b) −=− =+ 6yx3 5y2x c) =− =+ 3yx 6y3x2 d) =+ −=− 2yx 4y2x e) =+ =− 12y3x 3yx2 f) =− =+ 3yx 0 2 y x 14. Resolva as seguintes equações: a) + = − + 3y25 37 2y5 32x b) − = + − 3 3 yx y2x c) −= − + 2 1 1 z yx yx2 d) − − = 11 11 yx yx 2 2 e) − = −− ++ 711 811 wz2y4x wzy3x2 15. Calcule x e y em cada caso: a) − = + − 40 11 1x xy 3x y2x b) = − + 20 00 y0 x1 1x xy 2 2 16. Resolver a equação − = ⋅ − 4 1 y x 31 12 17. Resolver a equação = ⋅ 01 01 01 31 X 18. Resolver a equação A.X = B, sendo A = − 01 47 e B = 11 12 19. Calcule x na equação 3 x2 1xx3 = − − 20. Calcule o valor do determinante: acosasen asenacos − 21. Calcule x em cada igualdade: a) 0 31 1x2x = + b) 2 x3 1xx2 = − c) x33 xx x1 x25 − = 27 22. Resolva as equações: a) 5 x21 1x2 113 = b) 3 331 4x3 x1x −= c) 0 736 5x4 31x = − − − d) 0 011 2x3 102 = 23. Calcule o valor dos determinantes das seguintes matrizes: A = − − 1410 2131 2110 4231 B = − 0014 0103 1002 6321 C = 80000 05000 00400 00030 00002 D = 4001 0306 5002 4321 − E = 21010 41550 12040 00010 24321 − − − 24. Se 5 ihg fed cba = , calcule ihg fed c2b2a2 25. Se 6 ihg fed cba = , calcule i5h5g5 f2e2d2 c3b3a3 26. Se A é uma matriz quadrada de ordem 4, com det A = 3, calcule o det B, onde B = 5A. 27. Se A é uma matriz quadrada de ordem 3, com det A = 4, calcule o det B, onde B = 2A. 28. Se A é uma matriz quadrada de ordem 4, tal que det A ≠ 0 e A2 = 3A, calcule det A. 29. Se A é uma matriz quadrada de ordem 3, tal que det A ≠ 0 e A2 = -2A, calcule det A. 28 30. Se A = 120 413 201 , calcule det (4At). 31. Calcule o determinante da matriz 216125278 362594 6532 1111 . 32. Determine a solução dos seguintes sistemas usando matrizes a) =+− −=−+ =+− 0z4y2x3 2z2y3x 1zy3x b) =+− =++ =++ 5z2yx 14z3y2x 7z2y2x RESPOSTAS 1. a) − 015 421 b)Impossível c) − 4 15 d) 1 6 e) − − − 48 24 12 f) [ ]730 g) [ ]107− 2. a) 91 1220 b) −− − 17 65 c) −− − 544563 59214 d) − 1221 2215 3. 70 07 4. X = − − 14 57 5. X = 1 1 3 3 2 0 3 − − − 6. X = 12 4 21 25 7. − − = 2 217 2 2911 X 8. a) Ferro: 146 Madeira: 526 Vidro: 260 Tinta: 158 Tijolo: 388 b) Moderno: $ 492,00 Mediterrâneo: $ 528,00 Colonial: $ 465,00 c) $ 11.736,00 9. a) 1 b) 3 10. det(A) = 21 det(B) = 0 det(C) = 12 det(D) = 0 11. −−− = 384450 0612 1482 A det(A) = 0 12. a) S = {(61/23, -9/23,-18/23)} b) S = {(3,-5,7)} c) S = {(0,-10,5)} d) S = {(1,-1,2,-2)} e) S = ∅ f) S = ∅ g) S = {(1,2,3,-2)} h) S = {(1,0,2,3)} 13. a) (2,1) b) (-1,3) c) (3,0) d) (0,2) e) (3,3) f) (1,-2) 14. a) x = 5 e y = – 5; b) x = 1 e y = 2; c) x = 0, y = 1 e z = 2; d) x = – 1 e y = – 1; e) x = 1, y = 3, z = 5 e w = 3 15. a) x = – 3 e y = 2; b) x = 0 e y = 1 16. − 1 1 17. 10 10 18. −− 24 9 11 19. x = 1 ou x = 3 5 − 20. 1 21. a) 1; b) 1 ou ½; c) 0 22. a) 2 ou – 1; b) 2 ou – ½; c) 2 ou –11/7; d) – 1 23. detA = 31 ; detB = 4 ; detC = 960 ; detD = 78 ; detE = - 25 24. 10 25. 180 26. 1875 27. 32 28. 81 29. – 8 30. 320 31. 72 32. a) −− 9 1; 9 4; 9 4 b) − 7; 3 2; 3 25
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