Aulas circuitos 3

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NE7230 / EL5230 - Prof. Pedro Benko 
A Transformada de Laplace – CAP 16 [J. David Irwin] 
(NE7230 – Livro Texto: J. D. Irwin; Caps: 16,17 – 13, 15) 
 
Ferramenta poderosa e importante para análise e modelagem do 
comportamento transitório de circuitos elétricos, simplificando a 
solução de equações integro-diferenciais. 
 
Transforma o regime de domínio do tempo (t) p/ o domínio da 
freqüência complexa “s”, transformando equações integro - 
diferenciais em equações lineares. 
 
Dessa forma, facilita a solução de redes complexas de circuitos 
elétricos, permitindo o estudo do comportamento durante 
transitórios. Encontrada a solução no domínio “s”, aplicam-se 
técnicas de anti-transformada de Laplace p/ retorno ao domínio do 
tempo “t”. Definição: 
 
( ) dtetfsFtfL st−∞∫== 0 )()(][ 
 
Onde “s” é a freqüência complexa definida como ωσ js += sendo 
que se assume para f(t) a propriedade f(t)=0 para t<0 => ser a 
transformada de Laplace unilateral, assim (0 ≤ t ≤ ∞). Portanto, a 
análise descreverá a operação do circuito p/ t ≥ 0. 
 
Condição para existência da transformada de Laplace: 
 
∞<∫
∞
⋅−
0
|)(| dttfe tσ
, para algum valor Real de σ 
 
A transformada inversa de Laplace é definida pela relação: 
 
 
∫
∞+
∞−
−
⋅==
j
j
st dsesFjtfsFL
1
1
1 )(
2
1)()]([
σ
σpi 
 
 
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Sua solução é baseada na teoria da variável complexa, e, portanto 
vamos evitar o seu uso por meio de desenvolvimento e utilização 
de primitivas básicas de pares de transformadas de Laplace. 
 
Pares de transformadas de Laplace importantes 
 
Função Impulso: função singular (não possui derivada finita em 
todos os pontos) => são modelos matemáticos de sinais para 
análise de circuitos. 
 
Função impulso => função delta δ(t) (Dirac). 
 
Definida como o limite do pulso retangular p/ a => 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 δ(t-t0) = 0 p/ t ≠ 0 
 
 
Definição: “Um impulso é um sinal de amplitude infinita e 
duração Zero”. Tal sinal não existe na natureza, mas alguns sinais 
de tensão e corrente se aproximam dessa definição (operações 
com chaveamento de indutores, por exemplo). 
 
Propriedade da amostragem: 
 
 
2010
2
1
0 /)()()( tttptfdttttf
t
t
<<⇒⋅−⋅∫ δ
 e “0”p/ t0 < t1 ; t0 > t1 
 
 
Assim a função impulso amostra f(t) para t = t0. 
 
f(t) 
t 
a 
t0+a/2 t0-a/2 
t0 
1/a 
f(t) 
t 
δ(t-t0) 
t0 
1/a 
 
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Transformada de laplace – primitivas básicas 
Impulso 
1)(0|)()( 00
0
0
0
=⇒→⇒⇒⋅−= ∞−
∞
−
∫ sFtedtettsF
ststδ
 
(Caderno) 
 
Exercícios diversos - Prática 
 
Primitivas Básicas – Transformadas de Laplace 
f (t) F(s) f (t) F(s) 
( )tδ 1 
!n
et atn −
 ( ) 1nas
1
++
 
u (t) 
s
1
 sen bt 22 bs
b
+
 
tae− 
as
1
+
 cos bt 22 bs
s
+
 
t 2s
1
 btsene at− ( ) 22 bas
b
++
 
!n
tn
 1ns
1
+
 btcose at− ( ) 22 bas
as
++
+
 
atet − ( )2as
1
+
 f(t) periódica )s(F
e1
1
1sT ⋅
−
−
 
 
 
Atividade: 
Exercicios diversos da determinação da transformada de laplace pela 
definição – objetivo: familiarização e base de conhecimento. 
 
Função degrau 
Função degrau deslocada no tempo 
Função cosseno e “t” 
Função seno
 
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Aula2 – Propriedades úteis aplicadas na análise de circuitos 
Propriedades úteis – Transformadas de Laplace. 
 
Exemplos de aplicação: ( caderno ) 
 
Resumo propriedades 
 
f (t) F(s) 
A f (t) A F(s) 
f1(t) ± f2(t) F1(s) ± F2(s) 
f (t – t0) u(t – t0), t0 ≥ 0 )s(Fe st 0− 
f (t) u(t – t0) ( )[ ]0st ttfLe 0 +− 
( )tfe at− F (s+a) 
( )
n
n
dt
tfd
 
sn F(s) – sn–1 f(0) – sn–2 f ‘(0)… – f (n-1)(0) 
t f (t) ( )
ds
sFd
− 
( )∫ λλ
t
0
df ( )sF
s
1
 
 
 
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Aula 3: Exercicios=> determinação de F(s) (caderno) 
Função Porta 
 
Qualquer f(t) multiplicada pela função PORTA => 
 
 f(t) no intervalo τ < t < τ+t0 e “0” fora do intervalo. A função PORTA é 
 
utilizada em circuitos elétricos para geração de formas de onda. 
 
Exemplo: f(t) = u(t – τ) – u[t – (τ+t0)] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A função resultante é um pulso que começa em τ e tem duração t0. 
 
F(s) = F’(s) + F”(s) => 
s
e
s
e
sF
tss )( 0
)(
+⋅−⋅−
−=
ττ
 
 
 
u(t – τ) 
– u[t – (τ+t0)] 
τ 
τ+t0 
1 
-1 
f(t) 
t 
t0 
u(t – τ) – u[t – (τ+t0)] 
τ τ+t0 
1 
-1 
f(t) 
t 
t0 
 
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Exemplo 2: O dente de serra abaixo é formado pela composição 
de 3 funções distintas. 
 
)()()()()( 000
00
ttuAttutt
t
A
tut
t
A
tf −⋅−−⋅−⋅−⋅⋅=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde A/t0 é o coeficiente angular da reta. 
 
 
00
0
2
0
2)( tsts es
A
e
ts
A
ts
A
sF ⋅−⋅− ⋅−⋅−=
 
 
 
Primitivas utilizadas 
 
0)]([ 0 tse
s
A
ttuAL ⋅−⋅=−⋅
 Degrau: A é a amplitude 
 
0
200 )]()([ tses
B
ttuttBL ⋅−⋅=−⋅−⋅
 Rampa: B é o coeficiente angular 
 
Exercícios de aplicação - caderno
A 
f(t) 
t t0 
-A 
 
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Aula4 
Funções Periódicas: 
 
Se f(t) é uma função periódica com período T p/ t ≥ 0 e zero para t < 0 => 
 
f(t)= f1(t) + f2(t) + f3(t) + ...... onde f1(t) é a função no intervalo 0 ≤ t < T e 
 
f2(t) no intervalo T ≤ t < 2T e idêntica a f1(t) no intervalo 0 ≤ t < T , e 
assim por diante, então 
 
f(t)= f1(t) + f1(t-T)u(t-T) + f1(t-2T)u(t-2T)…… 
 
 
Logo a transformada de Laplace fica: 
 
 
.....)()()()( 2111 TsTs esFesFsFsF ⋅−⋅− ⋅+⋅+= 
 
 
.....]1)[()( 21 TsTs eesFsF ⋅−⋅− ++= 
Da matemática, se |x| < 1 então ...11
1 32 ++++=
−
xxx
x
 e fazendo 
 
1; <== ⋅−⋅− TsTs exex
 contanto que T > 0 então 
 
 
Tse
sF
sFtfL
⋅−
−
==
1
)()()]([ 1
 onde F1(s) é a transformada de Laplace do 
 
primeiro período de f(t). 
 
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Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
)()()()()( 000
00
1 ttuAttuttt
A
tut
t
A
tf −⋅−−⋅−⋅−⋅⋅=
 
 
 
 
)1()(
00
0
22
0
1
s
et
s
e
st
A
sF
tsts ⋅−⋅−
⋅
−−⋅=
 
 
 
 
 
)
1
1()1()(
00
0
22
0
Ts
tsts
es
et
s
e
st
A
sF
⋅−
⋅−⋅−
−
⋅
⋅
−−⋅=
 
 
 
Exercicios: (caderno)
A 
f(t) 
t t0 
-A 
T 2T 
 
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A Transformada Inversa de Laplace 
 
)()(1 tfsFL =−
 
 
Dado que a solução algébrica de circuitos no domínio da 
freqüência resulta em uma função em “s” na forma polinomial: 
 
01
2
2
1
1
01
2
2
1
1
)(
)()(
bsbsbsbsb
asasasasa
sQ
sP
sF
n
n
n
n
n
n
m
m
m
m
m
m
+⋅+⋅+⋅+⋅
+⋅+⋅+⋅+⋅
==
−
−
−
−
−
−
−
−
K
K
 
 
 
As raízes do polinômio P(s) são chamadas de “Zeros” da função 
pois nesses valores F(s)=0. As raízes do polinômio Q(s) são 
chamadas de “pólos” da função, pois nesses valores F(s)=> ∞ 
 
Se F(s) é uma função racional própria de S, onde n>m, então é 
possível determinar a transformada inversa de Laplace por 
semelhança com as primitivas básicas realizando a expansão do 
polinômio por frações parciais. 
 
Caso n ≤ m , então é necessáriodividir P(s)/Q(s), obtendo um 
Quociente e um Resto de modo a obter uma função racional. 
 
 
)(
)(
)(
)()( 10122
sQ
sPCsCsCsC
sQ
sP
sF nmnm ++⋅+⋅+⋅==
−
−
K
 
 
 Para funções racionais próprias, temos 3 caso de raízes de Q(s), 
com o objetivo de obtenção de F(s) em soma de frações parciais 
de modo que LLLL-1F(s) possa ser obtida a partir de valores 
conhecidos (primitivas básicas) 
 
 
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1) Caso- Pólos simples, raízes da forma: 
 
nps
Kn
ps
K
ps
K
sF
++
+
+
= L
21
21)(
 
 
Nesse Caso, Ki é obtido, como 
 
 
pisi sFpisK −=⋅+= )()( e uma vez que Ki é conhecido => 
 
 
tpi
ii eKpis
LK ⋅−− ⋅=
+
⋅ )1(1
 
 
Exemplo de aplicação e exercícios: (caderno) 
 
 
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Aula5 
 
2) Caso – Pólos complexos conjugados 
 
Caso F(s) possua um par de pólos conjugados complexos, a 
expansão é escrita como: 
 
⇒
++−+⋅
= ))(()(
)()( βαβα jsjssQ
sP
sF
 
 
 
)(
1
)(
1 *
βαβα js
K
js
K
++
+
−+
⇒
 
 
 
Nesse caso K1 pode ser determinado pelo mesmo procedimento 
de pólos simples 
 
βαβα jsi sFjsK +−=⋅−+= )()( 
 
Geralmente K1 é um numero complexo: 
 
 |K1| |+Θ_ , sendo |K1*| |-Θ_ o conjugado complexo 
 
Assim F(s) fica: 
 
 
)(
1
)(
1)(
*
βαβα js
K
js
K
sF
++
+
−+
=
 e f(t) => 
 
 
 
)()cos(12)( tuteKtf t ⋅+⋅⋅⋅⋅= ⋅− θβα
 
 
 
 
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3) Caso – Pólos múltiplos (Pólos com Multiplicidade): 
 
Nesse caso temos que separar em frações parciais conforme: 
 
r
r
r ps
K
ps
K
ps
K
pssQ
sP
sF )()()()()(1
)(1)( 121211 +++++=+⋅= L 
 
 
onde os K(s) são calculados de acordo com: 
 
 
ps
r
r sFpsK −=⋅+= )()( 
 
ps
r
r sFpsds
dK
−=−
⋅+= )]()[(1
 
 
ps
r
r sFpsds
dK
−=−
⋅+⋅= )]()[(
!2
1
2
2
2
 
 
E como formula genérica, para transformadas com mais de uma 
raiz com pólos multiplos temos: 
 
ps
r
jr
jr
ij sFpsds
d
jrK −=−
−
⋅+⋅
−
= )]()[()!(
1
 
 
 
Assim a f(t) primitiva fica: 
 
tp
r
ir e
r
tKtf
ps
Ki
sF ⋅−
−
−
⋅==>
+
= )!1()()()(
1
 
 
Exemplos: (caderno) 
 
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Aula6 
 
Aplicação da transformada de Laplace na solução de equações 
integro-diferenciais 
 
Uma grande vantagem de Transformada de Laplace é o seu uso 
para solução de equações diferenciais ordinárias. Para isso, 
procede-se passando uma equação diferencial f(t) para o dominio 
da frequencia complexa “s”, e resolvendo-a como uma equação 
algebrica, obtendo-se uma solução em “s” (F(s)). Deve-se 
conhecer as condições iniciais da equação diferencial f(0), f’(0)... 
 
Em seguida procede-se com Anti-transformada da F(s) e obtem-se 
a solução em f(t). Propriedades úteis: 
 
)0()0()0()()( 10'21 −−− ⋅⋅−⋅−⋅= nnnn
n
n
fSfSfSsFS
dt
tfd
K
)(1)(
0
sF
s
dft ⋅=⋅∫ λλ
 
 
Exemplo1: 1)0(';1)0()(6
)(5)(2
2
===>=⋅+⋅+ − yyety
dt
tdy
dt
tyd t
 
 
Em “s”=> ( ) 1
1)(6)1()(5)1()1()( 002
+
=+−+−−
s
sysssysssys
 
 
 
 
Exemplo2: 
0)0(1)()(2)( 2
0
==>−=++ −∫ yedytydt
tdy tt λλ
 
 
Em “s”=> 2
11)(1)(2)0()( 0
+
−=++−
s
sy
s
sysssy
 
 
 
exercícios
 
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Teorema do Valor Inicial e Final 
 
Técnica para descobrir o valor inicial e/ou o valor final da 
resposta de uma rede no domínio do tempo(t) sem fazer a 
transformada inversa de Laplace, respeitando-se condições. 
 
1- Teorema do valor inicial 
* Condição: Deve existir a transformada da derivada de f(t) 
 
Como )0()(
)((
0
fssFdte
dt
tfd st
−=
−
∞
∫ , aplicando-se limite nos lados 
=> )]0()([lim
)((lim
0
fssFdte
dt
tfd
s
st
s
−=
→∞
−
∞
→∞ ∫ , como 0lim
)((
0
=
−
→∞
∞
∫ dtedt
tfd st
s => 
 
0)]0()([lim =−
→∞
fssF
s => )0()]([lim fssFs =→∞ e )0()]([lim0 ftft =→ , logo => 
 
)(lim)(lim 0 sFstf st ⋅= ∞→→
 
 
 
2- Teorema do valor final 
* Condição: Deve existir a transformada da derivada de f(t) e não 
possuir polos à direita (s-a) com exceção de 1 polo na origem (s=0) 
 
Como )0()(
)((
0
fssFdte
dt
tfd st
−=
−
∞
∫
 aplicando-se limite nos lados => 
)]0()([lim)((lim
000
fssFdte
dt
tfd
s
st
s
−=
→
−
∞
→ ∫ => )]0()([lim
)((
00
fssFdt
dt
tfd
s
−=
→
∞
∫ => 
 
)0()]([lim)0()(
0
fssFff
s
−=−∞
→ => 
)]([lim)(
0
ssFf
s→
=∞
 e 
 
)(lim)( tff
t ∞→
=∞
 portanto, por semelhança, temos 
 
)(lim)(lim 0 sFstf st ⋅= →∞→
 
 
 
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Aula7 
Aplicação da Transformada de Laplace na Análise de 
circuitos – CAP 17 [J. David Irwin] 
roteiro 
 
* Análise de circuitos por equações de malha e equações nodais 
com condições iniciais nulas. 
 
*Análise de circuitos por equações de malha e equações nodais 
com condições iniciais não nulas. 
 
*Análise de redes excitadas por formas de onda diversas 
Aulas: 7,8,9,10 
 
*Função de transferência- repostas de redes de 1° e 2° ordens 
Aulas: 11 
 
 
*Resposta de redes em estado estacionário. 
Aulas: 12 
 
 
 
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Equivalências com condições iniciais não nulas 
Resistor: 
 
 
)()( tiRtV ⋅=
 => )()( siRsV ⋅= 
 
Capacitor: 
 s
V
Cs
sI
sVVdxxi
C
tV
t
cc
)0()()()0()(1)(
0
+
⋅
=⇒+= ∫
 
 
)0()()()()( VCsVCssI
dt
tCdV
tI cc ⋅−⋅⋅=⇒=
 
 
Indutor 
)0()()()()( iLsiLssV
dt
tLdi
tV LL ⋅−⋅⋅=⇒=
 
 
s
i
Ls
sV
sIidxxv
L
tI
t
LL
)0()()()0()(1)(
0
+
⋅
=⇒+= ∫
 
 
Para redes magneticamente acopladas 
 
 dt
tMdi
dt
tdiL
tV )()()( 2111 +=
 
dt
tMdi
dt
tdiL
tV )()()( 1222 +=
 
 
)0()()0()()( 221111 MissMiLisisLsV −+−= 
 
)0()()0()()( 112222 MissMiLisisLsV −+−= 
 
 
 
V1(t) 
M i1(t) 
V2(t) 
i2(t) 
 
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Indutor: Representações no domínio s condições iniciais ≠ 0 
 
f(t) F(s) (tensão) F(s) (corrente) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
*Indutor: o sentido da condição inicial segue a orientação da 
corrente 
 
 
Capacitor: Representações no domínio s condições iniciais ≠ 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
*Cacpacitor: o sentido da condição inicial segue a orientação da 
tensão 
 
 
Aulas: 8, 9, 10, 11 Exercícios: 
 
Cv(0) 
V(0)/s 
+ 
i(s) 
1/sC 
v(s) 
i(t) 
V(t) C 
i(s) 
sC v(s) 
v(t) 
i(t) 
L 
Li(0) 
+
i(s) 
sL 
v(s) 
i(s) 
1/sL v(s) i(0)/s 
 
NE7230 / EL5230 - Prof. Pedro Benko 
 
 
Regra de Cramer – Resolução de Sistema de Equações Lineares 
(Revisão) 
Fornece a solução de um sistema de equações lineares em termos 
de Determinantes e Matrizes 
Seja: 
→→
= bxA
 um sistema de equações lineares onde, 
 
A é a matriz de coeficientes 
→
x
 é a coluna das incógnitas 
→
b
 é a coluna dos termos independentes, de forma que: 
 
A
A
x
b
b
b
x
x
x
aa
aa
aaa
j
j
nnnnn
n
n
=⇒=×
MM
LL
M
LL
L
2
1
2
1
1
221
11211
 
 
Aj é a Matriz que se obtem da Matriz A substituindo a coluna j 
pela coluna dos termos independentes 
xj = solução da incógnita j 
jA = Determinante da matriz AjA
 = Determinante da matriz A 
 
Restrições: 
1) A regra só se aplica onde 0≠A 
2) O numero de equações deve ser igual ao numero de 
incógnitas => sistema linear com n equações e n incógnitas 
 
 
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Exercicio 1)
t 0.1 0.2, 100..:=
Vb t( ) 66.7 e
t−
30
⋅





 Φ t( )⋅:=
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
Vb t( )
t
 
 
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exemplo2 
 
 
 
 
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exerc. 17.3) - Irwin
t .01 .02, 5..:= 161.6 graus => 2.81 rad
v t( ) 36
5
7.59 e 2− t⋅⋅ cos 1 t⋅ 2.81+( )⋅+




Φ t( )⋅:=
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
0.8
1.6
2.4
3.2
4
4.8
5.6
6.4
7.2
8
v t( )
t
 
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exerc. 17.5) - Irwin
t .01 .02, 10..:= 45 graus => pi/4 rad
v t( ) 2 2⋅ e t−⋅( ) cos 1 t⋅ pi
4
−






⋅ Φ t( )⋅:=
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.5
0.25
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
v t( )
t
 
 
 
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Análise de Redes Excitadas por formas de onda diversas 
 
 
exerc. 17.9) - Irwin
t .001 .002, 3..:=
v t( ) 4 4 e 2.5− t⋅⋅−( ) Φ t( )⋅ 4 4 e 2.5− t 0.3−( )⋅⋅−  Φ t 0.3−( )⋅−:=
0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 2.4 2.7 3
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
2.25
2.5
v t( )
t
 
 
 
 
 
 
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Exercício extra : 
 
V1
0 V 1 V 
1 sec 10 sec 
L1
1 H 
R1
2 Ω 
C1
0.5uF 
 
 
t .001 .002, 10..:=
v t( ) 1 2 e t−⋅ cos t 3 pi⋅
2
+




⋅+




Φ t( )⋅ 1 2 e t 1−( )−⋅ cos t 1−( ) 3 pi⋅
2
+




⋅+




Φ t 1−( )⋅−:=
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
v t( )
t
 
 
v(t) 
V1(t) 
t(sec) 1 
1 
 
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Aula11 
 
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 
 
Definida como a razão de uma variável de saída pela variável 
de entrada => Relacionamento entrada x saída de um circuito 
linear. 
 
 
 
 
 
 
Onde: )()()()(
)()( sXsHsY
sX
sY
sH io
i
o
⋅=⇒=
 
 
Tipos de funções de transferência: 
 
Entrada (Xi(s) Saída(Yo(s) H(s) 
Tensão Tensão => Ganho de tensão 
Corrente Corrente => Ganho de Corrente 
Tensão Corrente => Admitancia de transferência 
Corrente Tensão => Impedância de transferência 
 
 
01
2
2
1
1
01
2
2
1
1
)(
)(
bsbsbsbsb
asasasasa
sX
sY
n
n
n
n
n
n
m
m
m
m
m
m
i
o
+⋅+⋅+⋅+⋅
+⋅+⋅+⋅+⋅
=
−
−
−
−
−
−
−
−
K
K
 
 
 
Se Xi(t)=δ(t) => Xi(s)=1 logo, nesse caso Yo(s)=H(s), ou 
seja a resposta de um sistema ao impulso unitário é a própria 
função de transferência H(s). 
 
exemplo
H(s) Xi(s) Yo(s) 
 
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RESPOSTA DE REDES DE 1O E 2O ORDENS 
 
1O ordem: Para um único elemento reativo. 
 
Tc
t
eXtX
−
⋅= 0)(
 
 
Onde: X(t) pode ser V(t) ou I(t), e X0 é o valor inicial (t = 0) e 
Tc é a constante de tempo da rede. 
 
2O ordem 
 
Controlada pelas raízes da Equação característica => 
 
02 200
2
=+⋅⋅⋅+ ωωξ ss
 onde as raízes são 
 
 
2
442 20
2
0
2
0
21
ωωξωξ ⋅−⋅⋅±⋅⋅−
=ss
 que resulta 
 
 
120021 −±⋅−= ξωωξss 
 
 onde 
 
ξ = coeficiente de amortecimento 
ω0= freqüência natural não amortecida 
 
O que resulta em 3 casos possíveis: ξ > 1, ξ < 1 e ξ =1 
 
 
 
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Caso 1 : ξ > 1 => rede sobre amortecida ( raízes Reais) 
 
 
120021 −±⋅−= ξωωξss => resposta da rede como: 
 
 
tt
eKeKtX )1(2
)1(
1
2
00
2
00)( −−⋅−−+⋅− ⋅+⋅= ξωωξξωωξ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A rede apresenta raízes Reais 
 
X(t) 
t 
jω 
s1,s2 
 
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Caso 2 : ξ < 1 => rede subamortecida – (oscilatório) raízes 
complexas da forma 
 
 
11/1 220021 <−→→−±⋅−= ξξωωξ pjss
 => 
 
 
resposta da rede como: 
 
])1(cos[)( 2001 Φ+−⋅= ⋅− teKtX t ξωωξ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X(t) 
t 
jω 
s1,s2 
 
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Caso 3 : ξ = 1 => rede criticamente amortecida - raízes reais 
iguais=> 
2
0)( ω+s
 
 
 
1/;021 =→−= ξω pss
 => 
 
 
resposta da rede como: 
 
tt
eKetKtX 0201)( ωω ⋅−⋅− ⋅+⋅⋅=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios:
X(t) 
t 
jω 
s1,s2 
 
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Aula12 
Resposta de redes em estado estacionário 
Objetivo: determinar a resposta em estado estacionário de uma 
rede excitada por uma entrada senoidal. 
 
Resposta da rede=> Yo(s)=H(s)* Xi(s) , onde 
 
Yo(s) = resposta da rede 
H(s) = função de transferência 
Xi(s) = entrada forçante 
 
 
 
 
No caso se 
tj
Mi eXtX 0)( ω⋅= => 0
)(
ωjs
X
sX Mi
−
=
 => 
0
)()(
ωjs
XH
sY Ms
o
−
⋅
=
 assumindo que H(s) não tenha pólos da 
 
forma (s-jωk) fazemos que H(s)= H(jω0). Assim, temos que se 
 
a função forçante X(t)=XMaxcos(ω0t+ ϴ) => 
 
Yss(t) = XMax |H(jωo)| cos[ω0t+ Ф(jω0)+ϴ] onde Yss(t)= Ysteady state 
 
Exemplo: se 443
)(
2
2
++
=
ss
s
sH
 e X(t)=10cos(2t)u(t) => 
 
4)2(4)2(3
)2()2( 2
2
++
= jj
jjH
 => Voss(t)=10|H(j2)|cos(2t+|H(j2)) 
 
 
H(s) Xi(s) Yo(s)