AD1 GAII 2016.1 gabarito

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AD1 - Geometria Anal´ıtica II - 2016.1
– GABARITO –
Questa˜o 1:(2,0 pt) Considere os pontos A = (1, 2, 5) e B que pertence ao plano y = 3.
(a) Quais devem ser as coordenadas de B para que a reta que passa por A e B passe tambe´m pela
origem?
(b) Escreva as equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa por A e B.
SOLUC¸A˜O:
(a) Como B pertence ao plano y = 3, suas coordenadas sa˜o da forma B = (a, 3, b). Queremos
encontrar a, b de forma que A,B e a origem O sejam colineares. Mas isso acontece se, e somente
se,
−−→
OA e
−−→
OB forem paralelos, isto e´, existir λ tal que
−−→
OB = λ · −−→OA . Assim,
(a, 3, b) = λ(1, 2, 5).
Da segunda coordenada temos que λ = 3
2
. E portanto, a = 3
2
e b = 15
2
. As coordenadas de B
devem ser (3
2
, 3, 15
2
)
(b) Como esta reta tambe´m passa pela origem, ela pode ser parametrizada como r : O + t · −−→OA =
(0, 0, 0) + t(1, 2, 5), portanto
r :

x = t
y = 2t
z = 5t
Questa˜o 2:(4,0 pt) Sejam P = (5, 2, 1) e a esfera S de centro na origem e raio 5. Dado um vetor
~u considere a reta r~u parametrizada por r~u(t) = P + t~u.
Deˆ exemplos nume´ricos para ~u de maneira que ele tenha mo´dulo igual a 1 e
(a) a reta r~u na˜o intersecte S.
(b) a reta r~u intersecte S em um u´nico ponto.
(c) a reta r~u intersecte S em dois pontos.
(d) a reta r~u intersecte S em dois pontos cuja distaˆncia entre eles seja a maior poss´ıvel.
1
Justifique sua resposta em cada item
SOLUC¸A˜O: Escrevamos ~u = (a, b, c). Como ‖~u‖ = 1, temos que
a2 + b2 + c2 = 1. (1)
A reta r~u tem a seguinte parametrizac¸a˜o
r~u =

x = 5 + at
y = 2 + bt
z = 1 + ct
A esfera S tem equac¸a˜o x2 + y2 + z2 = 52. Substituindo os valores de x, y e z obtemos
(5 + at)2 + (2 + bt)2 + (1 + ct)2 = 25
25 + 10at+ a2t2 + 4 + 4bt+ b2t2 + 1 + 2ct+ c2t2 = 25
(a2 + b2 + c2)t2 + (10a+ 4b+ 2c)t+ 5 = 0
Por causa da igualdade (1), esta u´ltima igualdade e´ equivalente a
t2 + (10a+ 4b+ 2c)t+ 5 = 0 (2)
(a) r~u na˜o intersectar S, e´ equivalente a equac¸a˜o (2) na˜o possuir soluc¸a˜o real. Isto ocorre quando
seu discriminante e´ negativo. Ou seja, devemos escolher valores para a, b e c tais que
∆ = (10a+ 4b+ 2c)2 − 20 < 0
Ha´ infinitas possibilidades. Escolhemos por exemplo ~u = (0, 0, 1). Claramente ‖~u‖ = 1 e
∆ = −16.
(b) r~u intersectar S em um u´nico ponto, e´ equivalente a equac¸a˜o (2) possuir uma u´nica soluc¸a˜o real.
Isto ocorre quando seu discriminante e´ nulo. Ou seja, devemos escolher valores para a, b e c tais
que ∆ = 0. Temos, enta˜o que resolver o sistema{
(10a+ 4b+ 2c)2 = 20
a2 + b2 + c2 = 1
⇐⇒
{
5a+ 2b+ c =
√
5
a2 + b2 + c2 = 1
Este sistema tem infinitas soluc¸o˜es, mas apenas 1 grau de liberdade. Podemos, por exemplo,
escolher a = 0. Da´ı ficamos com o sistema{
2b+ c =
√
5
b2 + c2 = 1
Cuja soluc¸a˜o e´ b =
2√
5
e c =
1√
5
. Assim, podemos escolher ~u =
(
0,
2√
5
,
1√
5
)
. Neste caso
temos ‖~u‖ = 1 e ∆ = 0.
(c) r~u intersectar S em dois pontos, e´ equivalente a equac¸a˜o (2) possuir duas soluc¸o˜es reais. Isto
ocorre quando seu discriminante e´ positivo. Ou seja, devemos escolher valores para a, b e c tais
que
∆ = (10a+ 4b+ 2c)2 − 20 > 0
Ha´ infinitas possibilidades. Escolhemos por exemplo ~u = (1, 0, 0). Claramente ‖~u‖ = 1 e ∆ = 80.
2
(d) Para este u´ltimo item a abordagem e´ um pouco diferente. Os dois pontos de intersec¸a˜o tera˜o
distaˆncia ma´xima quando o segmento que os une for um diaˆmetro da esfera. Portanto a reta r~u
deve passar pelo centro de S, que e´ a origem. Portanto, devemos tomar o vetor ~u como sendo o
vetor
−−→
OP = (5, 2, 1).
Questa˜o 3:(2,0 pt) Mostre que as equac¸o˜es parame´tricas abaixo representam o mesmo plano.
x = 1 + t+ s
y = 2− t+ 3s
z = −4 + 2t− s
e

x = 2t′
y = −1 + 2t′ − 4s′
z = −3 + t′ + 3s′
.
SOLUC¸A˜O: Treˆs pontos na˜o colineares determinam um u´nico plano. Para mostrar que as equac¸o˜es
representam o mesmo plano, a partir de uma delas escolher treˆs pontos na˜o colineares e verificar que
satisfazem as outras equac¸o˜es.
Vamos chamar as parametrizac¸o˜es de
ϕ(t, s) = (1 + t+ s, 2− t+ 3s,−4 + 2t− s)
ψ(t′, s′) = (x = 2t′,−1 + 2t′ − 4s′,−3 + t′ + 3s′)
Considere os pontos A = ϕ(0, 0) = (1, 2,−4), B = ϕ(1, 0) = (2, 1,−2) e C = ϕ(0, 1) = (2, 5,−5)
Primeiro observamos que eles na˜o sa˜o colineares pois os vetores
−−→
AB = (1,−1, 2) e −−→AC =
(1, 3,−1) na˜o sa˜o paralelos. Agora queremos encontrar soluc¸o˜es t′ e s′ para as treˆs identidades
ψ(t′, s′) = A , ψ(t′, s′) = B , ψ(t′, s′) = C
Isso nos leva a treˆs sistemas
1 = 2t′
2 = −1 + 2t′ − 4s′
−4 = −3 + t′ + 3s′
,

2 = 2t′
1 = −1 + 2t′ − 4s′
−2 = −3 + t′ + 3s′
,

2 = 2t′
5 = −1 + 2t′ − 4s′
−5 = −3 + t′ + 3s′
cujas soluc¸o˜es sa˜o (
t′ =
1
2
, s′ = −1
2
)
, (t′ = 1, s′ = 0) , (t′ = 1, s′ = −1)
Assim A = ψ
(
1
2
,−1
2
)
, B = ψ(1, 0) e C = ψ(1,−1), comprovando enta˜o que as duas equac¸o˜es
representam o mesmo plano.
Questa˜o 4:(2,0 pt) Encontre todos os valores de m de maneira que os vetores (m, 1, 1), (1,m, 1) e
(1, 1,m) sejam linearmente dependentes.
SOLUC¸A˜O:
Esse problema tem uma soluc¸a˜o trivial, que e´ m = 1. Mas sera´ que ha´ outras? Treˆs vetores ~u,~v
e ~w sa˜o linearmente dependentes quando a equac¸a˜o
x · ~u+ y · ~v + z · ~w = ~0
admite soluc¸a˜o (x, y, z) diferente da trivial (0, 0, 0).
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Vejamos se isso acontece para algum valor de m:
x(m, 1, 1) + y(1,m, 1) + z(1, 1,m) = (0, 0, 0) ⇐⇒

mx+ y + z = 0
x+my + z = 0
x+ y +mz = 0
.
Usando a teoria de A´lgebra Linear, observamos que esse sistema e´ linear homogeˆneo, e que, portanto
tem soluc¸a˜o na˜o-trivial se, e somente se, o determinante da matriz dos coeficientes e´ igual a zero. Ou
seja, ∣∣∣∣∣∣
m 1 1
1 m 1
1 1 m
∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇐⇒ (m− 1)2(m+ 2) = 0 ⇐⇒ m = 1 ou m = −2.
Sem usar explicitamente esse resultado de A´lgebra Linear, poder´ıamos tentar resolver o sistema:
Subtraindo a segunda equac¸a˜o da primeira e a terceira da primeira obtemos, respectivamente, as
equac¸o˜es
(m− 1)x+ (1−m)y = 0,
(m− 1)x+ (1−m)z = 0.
Como ja´ analisamos o caso m = 1, vamos supor que m 6= 1. Nesse caso, dividindo por m − 1
as duas u´ltimas equac¸o˜es chegamos a x = y = z. Assim a partir de qualquer uma das equac¸o˜es do
sistema chegamos a
(m+ 2)x = 0.
Lembre-se que estamos procurando soluc¸a˜o diferente da trivial (0, 0, 0), portanto x 6= 0. Isso so´ e´
poss´ıvel quando m = −2. Portanto as possibilidades sa˜o
m = 1 ou m = −2.
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