Lista Matrizes

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO TRIAˆNGULO MINEIRO
2a Lista de A´lgebra Linear
Prof.: Danilo Adrian Marques
1) Sejam A =
(
1 2 3
2 1 −1
)
, B =
( −2 0 1
3 0 1
)
, C =
 −12
4
 e D = ( 2 −1 ). Encontre:
a) A + B
b) A · C
c) B · C
d) C ·D
e) D · A
f) D ·B
g) −A
h) −D
2) Seja A =
(
2 x2
2x− 1 0
)
. Se A = At, enta˜o qual e´ o valor de x?
3) Verdadeiro ou falso?
a) (−A)t = −(At).
b) (A + B)t = Bt + At.
c) Se A ·B = 0 enta˜o A = 0 ou B = 0.
d) (k1A) · (k2B) = (k1 · k2)A ·B.
e) (−A) · (−B) = −(AB).
f) Se A e B sa˜o matrizes sime´tricas, enta˜o A ·B = B · A.
g) Se A ·B = 0, enta˜o B · A = 0.
h) Se podemos efetuar o produto A · A, enta˜o A e´ uma matriz quadrada.
4) Sendo A e B as matrizes A =
 1 0 00 2 0
0 0 4
 e B =
 4 0 00 2 0
0 0 1
, determine X, Y ∈ M3(R) de
maneira que: {
2X − Y = A + B
X + Y = A−B
5) Mostrar que se A =
(
2 3
1 4
)
, enta˜o A2 − 6A + 5I2 = 0.
6) Verificar quais das seguintes matrizes sa˜o invers´ıveis e determinar as inversas respectivas:
a) A =
 1 0 11 1 0
0 2 1

b) B =

0 0 1 1
1 0 0 1
1 1 1 −1
0 2 0 3

c) C =

3 −1 5 0
0 2 0 1
2 0 −1 3
1 1 2 0

d) D =
 1 0 02 3 0
4 5 6

7) Resolver os seguintes sistemas de Cramer:
a)
{
x− y = 4
x + y = 0
b)
 x + y + z = 2x− y + z = 0y + 2z = 0 c)

x− y + z + t = 0
x + y − z + t = 1
−x + y + z − t = 0
2x− y − z + 3t = 1
8) Determinar uma matriz A ∈M2(R) tal que A 6= 0 e A2 = AA = 0 (matriz nula).
1
9) Se A, B ∈Mn(R) e AB = BA, prove que:
a) (A−B)2 = A2 − 2AB + B2
b) (A−B)(A + B) = A2 −B2
c) (A−B)(A2 + AB + B2) = A2 −B2
Sem a hipo´tese AB = BA, as igualdades seriam verdadeiras? Justifique.
10) Efetue os produtos AB e BA onde A =
 21
1
 e B = ( 1 2 1 ).
11) Sejam A, B e C matrizes reais de ordem n. Se A e´ invers´ıvel, prove que AB = AC ⇒ B = C e
que BA = CA⇒ B = C.
12) Se A, B e C sa˜o matrizes invers´ıveis de mesma ordem, determinar a matriz X de maneira que
A(B−1X) = C−1A.
13) Determinar m ∈ R de modo que o sistema abaixo seja de Cramer e em seguida resolva-o. x− y + z = 2x + 2z = 1x + 2y + mz = 0
14) Determinar a ∈ R a fim de que a matriz real
A =
 1 1 12 1 2
1 2 a

seja invers´ıvel em M3(R).
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