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lista de aplicação   semana 5   funções trigonométricas, derivadas e inversas

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista extra de exerc´ıcios - 1.o/2013 - 6/5/2013
1. Como voceˆ caracteriza a existeˆncia do limite limx→a f(x) em termos dos limites laterais
no ponto x = a?
• Exiba um exemplo em que os limites laterais de uma func¸a˜o no ponto x = a
existem e sa˜o diferentes.
• Outro exemplo em que um limite lateral existe e o outro na˜o.
• Um exemplo em que nenhum dos limites laterais existem.
2. Explique o que significa dizer que a reta y = b e´ uma ass´ıntota horizontal da func¸a˜o f .
• Deˆ exemplo de uma func¸a˜o que na˜o possui ass´ıntota horizontal.
• Outro exemplo tendo somente a reta y = 1 como ass´ıntota.
• Outro com as retas y = 1 e y = 2 como ass´ıntotas.
3. Explique o que significa dizer que a reta x = a e´ uma ass´ıntota vertical da func¸a˜o f .
• Exiba uma func¸a˜o na forma f(x) = p(x)
q(x)
tal que q(a) = 0 mas a reta x = a na˜o e´
uma ass´ıntota vertical.
4. O que significa dizer uma func¸a˜o f e´ cont´ınua em um ponto x = a?
• Deˆ exemplos de func¸o˜es cont´ınua e descont´ınuas.
• Deˆ uma interpretac¸a˜o geome´trica para o Teorema do Valor Intermedia´rio.
• Voceˆ saberia explicar porque todo polinoˆmio de grau ı´mpar possui pelo menos
uma raiz?
5. Defina o que se entende por reta tangente ao gra´fico de f no ponto (a, f(a))? Exiba
uma func¸a˜o que na˜o possui reta tangente no ponto (1, f(1)).
6. O que significa dizer que uma func¸a˜o f e´ deriva´vel no ponto x = a ?
• Qual o limite que temos que calcular para determinar f ′(a)?
• Qual a interpretac¸a˜o geome´trica do nu´mero f ′(a)?
• O que e´ a taxa de variac¸a˜o de uma func¸a˜o?
• Se s(t) mede o espac¸o de um mo´vel qual a interpretac¸a˜o f´ısica da derivada s′(t)?
E a derivada da velocidade?
• Toda func¸a˜o deriva´vel em um ponto e´ cont´ınua naquele ponto. A rec´ıproca na˜o e´
verdadeira. Exiba um exemplo que mostra isso.
7. Exiba duas func¸o˜es deriva´veis f e g tais que (f(x)g(x))′ 6= f ′(x)g′(x). Em seguida,
escreva a regra para se determinar a derivada de um produto.
8. Exiba duas func¸o˜es deriva´veis f e g tais que
(
f(x)
g(x)
)′
6= f
′(x)
g′(x)
. Em seguida, escreva a
regra para se determinar a derivada de um quociente.
9. Enuncie as derivadas ba´sicas das func¸o˜es trigonome´tricas. Indique alguma aplicac¸a˜o
para este tipo de derivada.