Calculo I

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Limites, Derivadas e Integrais 
 Uma ideia sobre função 
 Usamos funções para representar diferentes 
informações das mais diferentes fontes; 
 São utilizadas para relacionar um conjunto de 
dados com outro; 
 A função 𝑓 é uma regra que relaciona os valores 
de uma variável qualquer 𝑥 com outro conjunto 
numérico 𝑦 também denotado por 𝑓(𝑥). 
 
 
 
 
 
 A relação entre estas duas variáveis pode ser 
apresentada na forma gráfica no plano 
carteziano. 
 Cada ponto é representado por um par 
ordenado (𝑥, 𝑓(𝑥)). 
 O gráfico da função é a linha que passa por 
todos os pontos (𝑥, 𝑓(𝑥)). 
 
 O domínio 𝐷 de uma função representa o 
intervalo do conjunto dos números reais que 
compõem o conjunto da variável 𝑥. 
 A imagem 𝐼 são os valores respectivos de saída 
da função, os quais estão ligados as valores do 
domínio. 
 Exemplo 1: Determinar o Domínio e a imagem 
da função. 
 
 Formas de se representar uma função; 
 ] 
 
 
 
 Exemplo 2: descrever Verbalmente a função a 
seguir que representa a curva de aquecimento 
de um forno industrial; 
 Exemplo 3: Encontrar o 
 domínio de cada função. 
 
 
 O teste da linha vertical; 
 Caso um linhas vertical qualquer passe duas ou 
mais vezes pelo gráfico, este não representa 
uma função; 
 Isto é, um único valor para a variável 𝑥 somente 
pode estar relacionado como um único valor de 
𝑓(𝑥). 
 
 
 Funções definidas por partes; 
 São funções com definidas por intervalos e 
fórmulas diferentes. 
 Exemplo 4: Construir o gráfico da função 
definida por partes a seguir. 
 
 
 A função módulo de x ( 𝑥 ) ou valor absoluto de 
𝑥. 
 Exemplo 5: Construir o gráfico da função 
definida por partes a seguir. 
 
 
 
 
 
 Funções simétricas: 
 São funções que estão relacionadas entre os 
valores positivos e os valores negativos da 
variável 𝑥. 
 Simetria Par: 
 
 Exemplo 6: Verificar a 
 Simetria par da função 𝑥2. 
 
 Simetria Impar: 
 
 Exemplo 7: Verificar a 
 Simetria Impar da função 𝑥3. 
 
 Exemplo 8: Determine o tipo de simetria 
presente nas funções a seguir, caso haja. 
 
 
 Crescimento e Decrescimento de Funções; 
 Analisamos os intervalos 
 De 𝑥 em que a função 𝑓(𝑥) 
 Aumenta ou diminui de 
 Amplitude. 
 
 Exemplo 9: Determine os intervalos em que a função 
𝑓 𝑥 = 𝑥2 apresenta um crescimento ou 
decrescimento. 
 Exemplo 10: Tome o gráfico 
 da função 𝑓(𝑥). 
 A) Encontre o valor de 𝑓(−1) 
 B) Estime o valor de 𝑓(2) 
 C) Encontre o valor de 𝑥 para o qual 𝑓 𝑥 = 2 
 D) Estime o valor de 𝑥 para o qual 𝑓 𝑥 = 0; 
 E) Encontre o domínio e a imagem da função 𝑓 𝑥 
 F) Diga os intervalos em que há crescimento ou 
decrescimento. 
 
 Exemplo 11: Avalie o 
valor das expressões 
para cada caso. 
 
 Exemplo 12: Encontre o 
domínio para cada caso 
de função dada e esboce 
o gráfico da mesma. 
 
 Exemplo 13: Repita o 
exemplo 12 para as 
funções a seguir. 
 
 Exemplo 14: Estude a 
simetria das funções a 
seguir. 
 
 Principais Tipos de Funções: 
 Função Afim (Função linear): 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 15: determine a função linear que passa 
pelos pontos (-1,2) e (1,2). 
 
 
 Função Polinomial 
 
 Função quadrática: 
 Função Cúbica: 
 
 Função Polinomial 
 
 Função Polinomial 
 Função Potência: 
 Função Racional: 
 
 
 
 
 
 
 Função Recíproca: 
 Função Racional: 
 
 
 
 
 Funções Trigonométricas: 
 
 Funções Trigonométricas: 
 
 Funções Trigonométricas: 
 
 Função Exponencial: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Função Logaritmo: 
 
 O problema de Calcular a velocidade Instantânea. 
 Dado uma móvel cuja posição no tempo é dada pela 
expressão: 
𝑠 𝑡 = 4,9𝑡2 
 Vamos tentar determinar sua velocidade quando 
𝑡 = 5𝑠. 
 Não é velocidade média é velocidade instantânea. 
 Sabemos que a velocidade é a variação da velocidade 
sobre a variação do tempo. 
 Vamos pegar um valor de tempo muito próximo ao 
que desejamos e calcular a velocidade. 
 
 Podemos aproximar mais ainda os valores de tempo e 
calcular a velocidade; 
 Podemos notar que 
 Quanto mais próximos 
 De 5s estão os intervalos 
 De tempo, mais próxima 
 de 49 m/s a velocidade 
 Fica. 
 Podemos assim dizer que 
 A velocidade instantânea 
 Tende a assumir exatamente o valor 49 m/s a medida 
que usamos valores de tempo cada vez mais 
próximos de 5s. 
 
 Note que não foi necessário calcular o valor da 
velocidade exatamente em 5s, bastou analisar a 
tendência numérica. 
 Esta é a ideia intuitiva de uma analise matemática 
chamada de Limite. 
 Entendemos por limite de uma função 𝑓(𝑥) a 
tendência de assumir um determinado valor L, a 
medida que tomamos valore para a variável 𝑥 cada 
vez mais próximos de um valor 𝑎, mas nunca chegar 
exatamente sobre o ponto 𝑎 (𝑥 = 𝑎). 
 Em limite não estamos interessados em conhecer o 
comportamento da função sobre o ponto 𝑥0 e sim nas 
suas redondezas. 
 
 
 Por exemplo, vamos tentar calcular o valor do limite 
da função 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥 + 2 nas proximidades do 
ponto 𝑥 = 2. 
 
 
 
 Muitas vezes calcular o limite é simples, bastando 
substituir o valor do ponto na função; 
 No exemplo anterior, bastava para determinar o valor 
do limite, substituir 2 na função e se obteria o valo do 
limite 4. 
 Mas em alguns casos, o ponto 𝑎 não pertence ao 
domínio, não podendo assim simplesmente substituir 
na função. 
 
 
 
 Exemplo 16: Determinar o limite 
 
 
 
 Exemplo 17: Repetir o Exemplo anterior para a 
função: 
 
 
 
 Exemplo 18: Estimar o valor 
do limite: 
 
 
 Atenção para os arredondamentos. 
 
 
 
 Exemplo 19: Determinar o limite 
 
 
 
 
 
 Exemplo 20: Determinar o limite 
 
 
 Exemplo 21: Determinar o limite da função degrau 
𝑢 𝑡 ou função de Heaviaside. 
 
 
 
 
 Limites Laterais 
 São os limites quando nos aproximamos do ponto 
desejado por valores menores ou maiores; 
 Quando por valores inicialmente maiores, chamamos 
de limite pela direita; 
 Quando por menores, chamamos limite pela 
esquerda. 
 
 
𝑢 𝑡 
𝑢 𝑡 𝑢 𝑡 
𝑢 𝑡 
 Limite da função 𝑓(𝑥) quando 𝑥 tende a 𝑎 pela 
esquerda. 
 
 Limite da função 𝑓(𝑥) quando 𝑥 tende a 𝑎 pela direita. 
 
 Usando os limites laterais para redefinir a existência 
de um limite. 
 
 
 Exemplo 22: Tomando a função 𝑔(𝑥) definida de 
forma gráfica, calcule o que for pedido. 
 
 Exemplo 23: Determine o valor do limite a seguir, 
caso ele exista. 
 
 
 
 
 
 Definição precisa de LIMITE: 
 Vamos agora abordar o limite de uma forma que nos 
permite compreender a sua convergência numérica. 
 Estudaremos a distância da função 𝑓(𝑥) ao seu limite L 
e também do valor de 𝑥 ao ponto de análise 𝑎. 
 Dizemos que o limite da função 𝑓(𝑥) tende a L a 
medida que 𝑥 tende a 𝑎, como a seguir 
 
 
 Se para todo número 𝜀 > 0 existe um número 
correspondente 𝛿 > 0 de forma que 
 Exemplo 24: Mostrar que 
 Exemplo 25: Mostrar que 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 26: Para um objeto se movendo no ar sua 
altura em metros é dada pela função horária 
 
 Determinar a velocidade entre os seguintes intervalos 
de tempo. 
 Estimar a velocidade a velocidade instantânea em 𝑡 = 1 
 Exemplo 26: Esboce o gráfico da função a seguir e o 
use para determinar o limite da função quando 𝑥 → 1. 
 
 
 
 Exemplo 27: Esboce ó gráfico de uma função que 
satisfaça as seguintes condições. 
 A) 
 
 
 B) 
 Exemplo 28: Encontre o valor do limite para os valores 
de x determinados 
 A) 
 
 
 
 B) 
 
 
 C) 
 Exemplo 29: Determine o valor do limite utilizando a 
estratégia numérica. 
 
 
 Exemplo 30: Usando o gráfico da função 𝑓 𝑥 = 1/𝑥, 
determine um número 𝛿 tal que 
 Exemplo 31: Utilize a 
definição de limite para 
provar as igualdades a 
seguir. 
 
 
 Calculo de Limites Vamos agora conhecer algumas propriedades do 
limite; 
 Seja 𝑐 uma constante e que os seguintes limites 
existem 
 
 Então podemos escrever: 
 
 
 Exemplo 32: Determine o valor dos limites a seguir 
utilizando as propriedades de limite. 
 
 
 
 
 Exemplo 33: Verifique o que há de errado como a 
expressão: 
 
 
 Seria possível dizer que a expressão a seguir é 
verdadeira? 
 
 
 Outras propriedades de Limites 
 Seja 𝑛 um inteiro positivo, então as propriedades a 
seguir são válidas. 
 
 
 
 
 
 Exemplo 34: Determinar o valor dos limites a seguir 
utilizando as propriedades de limites. 
 
 Propriedade da substituição direta: 
 Seja 𝑓(𝑥) um função polinomial ou racional e o ponto 
𝑥 = 𝑎 pertence ao domínio da função, então a seguinte 
relação é possível. 
 
 Exemplo 35: Determinar o valor dos limites a seguir. 
 
 
 É possível simplificar a função 𝑓(𝑥) cujo ponto 𝑥 = 𝑎 ∉ 
𝐷(𝑓(𝑥)), por outra função 𝑔(𝑥) equivalente que não 
possui esta limitação. 
 As duas funções têm a mesma tendência a medida que 
x se aproxima de a: são diferentes apenas quando 
𝑥 = 𝑎. 
 
Encont ar o valo do limite 
Avalie o valo de 
Determine o valo de 
 Exemplo 36: r r 
 Exemplo 37: r 
 Exemplo 38: r 
 Exemplo 39: Mostre que 
 Exemplo 40: Mostre que o limite a seguir não existe. 
 Teorema do Confronto 
 Se duas funções 𝑓 𝑥 𝑒 𝑔(𝑥) obedecem a relação 
𝑓 𝑥 ≤ 𝑔(𝑥) nas proximidades de um ponto 𝑎, então 
podemos escrever. 
 
 Se três funções 𝑓 𝑥 , 𝑔 𝑥 𝑒 𝑕(𝑥) obedecem a relação 
𝑓 𝑥 ≤ 𝑔(𝑥) ≤ 𝑕(𝑥) nas proximidades de um ponto 𝑎; 
 E assim também 
 
 
 Podemos escrever 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 40 Mos e que 
Exemplo 41 Encont e o valo 
de 
Exemplo 42 Encont e o valo 
de 
 
:  
:  
 Exemplo 44: Determine o valor dos limites a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Tomamos como continuidade de uma função a 
característica de representar o gráfico de uma função 
sem interrupções. 
 Matematicamente podemos dizer que uma função é 
contínua no ponto a quando o valor da função neste 
ponto é igual ao limite da função no mesmo ponto. 
 
 
 Podemos organizar o procedimento de verificação da 
continuidade em três passos; 
1. A função 𝑓(𝑥) deve estar definida no ponto 𝑥 = 𝑎, isto 
é, deve existir um valor para 𝑓(𝑎); 
2. O limite da função tendendo para 𝑎 deve existir 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. O valor da função no ponto a deve ser igual ao limite 
da função tendendo ao ponto a. 
 
 
 Se qualquer uma das proposições 
 Não for atendida, dizemos que a 
 Função 𝑓(𝑥) é descontínua no 
 Ponto 𝑎. 
 
 Exemplo 45: Verifique se a 
 função a seguir pode ser 
 descontínua em algum ponto. 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 46: Verifique se algumas das funções a 
seguir pode ser descontínua. 
 
 
 
 
 
 
 
 Dizemos que uma função é contínua pela direita de 
um determinado ponto a se 
 
 
 Dizemos que uma função é contínua pela esquerda de 
um determinado ponto a se 
 
 
 Dizemos que uma função 𝑓(𝑥) é contínua em um 
intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 se a função é contínua para todos 
os pontos dentro deste intervalo. 
 Basicamente verificamos se os limites existem. 
lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝑓 𝑎 𝑒 lim
𝑥→𝑏−
𝑓(𝑥) = 𝑓 𝑏 
 Exemplo 47: Verifique se a função 𝑓(𝑥) a seguir é 
contínua no intervalo [−1,1]. 
 
 
 
 
 
 O seguinte conjunto de funções é contínuo para todos 
os valores de x que pertencem ao seu domínio. 
 Polinomiais; 
 Racionais; 
 Funções envolvendo raízes; 
 Funções trigonométricas; 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 48: Determine o intervalo no qual as funções 
a seguir são contínuas. 
 
 
 
 
 Exemplo 49: Determine os intervalos em que a função 
a seguir é contínua. 
 
 
 Exemplo 50: Utilize a definição de continuidade para 
mostrar que as funções a seguir são contínuas em um 
dado ponto 𝑎. 
 
 
 Exemplo 51: Mostre que a função a seguir é contínua 
no intervalo [−4,4]. 
 
 Exemplo 52: Explique porque a função 𝑓(𝑥) é 
descontínua no ponto 𝑥 = 1. Esboce o gráfico. 
 
 
 Exemplo 53: Encontre os pontos em que a função a 
seguir é descontínua. 
 
 
 
 
 Exemplo 54: Verifique se é possível retirar a 
descontinuidade da função nos pontos determinados. 
 LIMITES ENVOLVENDO O INFINITO 
 Podemos obter limites envolvendo o infinito 
basicamente de três forma distintas: 
 Podemos tentar encontrar o limite quando x tende ao 
infinito (Limites no infinito); 
 Podemos tentar encontrar um limite cujo valor cresce 
arbitrariamente grande a medida que nos 
aproximamos de um ponto a (Limites infinitos). 
 Podemos enfrentar o problema de encontrar um limite 
cujo valor cresce rapidamente a medida que x tende 
ao infinito (Limites infinitos no infinito); 
 LIMITES INFINITOS 
 Podemos citar como exemplos as funções 𝑓 𝑥 = 1/𝑥2; 
 
 
 
 
 
 Podemos encontrar casos em que o valor da função 
tende a assumir valores negativos de módulo cada vez 
maiores; Para estes casos dizemos: 
 Como exemplo a função 𝑓 𝑥 = −1/𝑥2; 
 
 
 
 
 
 Há funções em que os limites laterais são infinitos, 
mas tendem a assumirem valores de sinais opostos. 
 Como exemplo os gráficos de funções a seguir. 
 
 
 
 
 
 Dizemos que estas funções apresentam 
 Uma assíntota vertical. 
 Exemplo 55: Encontre os limites laterais em relação ao 
ponto 𝑥 = 3 para a função 𝑓 𝑥 = 2𝑥/(𝑥 − 3); 
 LIMITES NO INFINITO 
 Algumas funções tendem a assumir um valor 
constante a medida que x tende para mais ou menos 
infinito. 
 Dizemos então que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Estas funções possuem assíntotas horizontais. 
 Exemplo 56: Determine as assíntotas verticais e 
horizontais da função mostrada a seguir. 
 Exemplo 57: Encontre as assíntotas horizontais da 
função a seguir e esboce seu gráfico. 
 
 Exemplo 58: Encontre as assíntotas verticais e 
horizontais da função 𝑓 𝑥 = 1/𝑥 e esboce seu gráfico. 
 De maneira geral podemos escrever. 
 
 
 Exemplo 59 Determine o valor do limite. 
 Exemplo 62: Encontre o valor dos limites: 
 
 
 Exemplo 63: Utilizando as informações do gráfico a 
seguir, determine o que for pedido. 
 Exemplo 64: Esboce o gráfico de uma determinada 
função 𝑓(𝑥) par que atenda aos seguinte requisitos. 
 
 
 
 Exemplo 65: Esboce o gráfico de uma função que 
atenda aos seguintes requisitos. 
 Exemplo 66: Tente verificar qual o valor do limite a 
seguir. 
 
 Exemplo 67: Encontre o valor dos limites. 
 Exemplo 68: Segundo a teoria da relatividade, a massa 
de uma partícula com velocidade 𝑣 é: 
 
 
 Onde 𝑚0 é a massa da partícula a uma velocidade 
muito pequena e 𝑐 é a velocidade da luz. 
 O que acontece com a massa da partícula a medida 
que a sua velocidade 𝑣 → 𝑐− ? 
 O PROBLEMA DE ENCONTRAR A RETA TANGENTE 
 A reta tangente a uma curva no ponto P é uma reta 
que no ponto mede exatamente 0° em relação a curva. 
 Isto é, possui a mesma direção e mesmo sentido da 
curva no ponto P. 
 Para solucionar o problema de encontrar a reta 
tangente a qualquer curva, vamos relembrar como 
calcular a inclinação 𝑚 de uma reta R. 
𝑚 = tan 𝛼 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
 
 Desta forma podemos tentar 
 Encontrar a inclinação da reta 
 Tangente a função 𝑓 𝑥 = 𝑥2 
 No ponto 𝑃(1,1). 
 Para isso vamos, tentar encontrar a inclinação 𝑚𝑃𝑄 de 
uma reta secante qualquer que passa pelo ponto 
𝑃(1,1) e por outro ponto qualquer sobre a função 
𝑓 𝑥 = 𝑥2 𝑄 𝑥, 𝑓 𝑥 = 𝑄(𝑥, 𝑥2). 
𝑚𝑃𝑄 =
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
 
 Estamos interessados em 
 Aproximar os ponto P e Q 
 Cada vez mais a tal ponto que 
 Poderemos estimar a inclinação da reta tangente ao 
ponto P sem nunca precisar chegar ao ponto P. 
 O que na realidade estamos tentando fazer é 
determinar um limite quando o valor da variável 𝑥 do 
ponto 𝑄(𝑥, 𝑥2) se aproxima cada vezmais do ponto 
𝑥 = 1. 
 Podemos fazer esta aproximação pela direita. 
1
1
lim
2
1 


 x
x
m
x
PQ
 E também podemos fazer esta aproximação pela 
esquerda. 
 
 
 
 
 
 Podemos provar que os limites laterais são iguais, 
assim o limite propriamente dito existe: 
 A equação da reta tangente ou ponto 𝑃0(𝑥0, 𝑦0) e 
possui inclinação m é dada na forma 
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) 
 Então temos: 
𝑦 − 1 = 2 𝑥 − 1 𝑜𝑢 𝑦 = 2𝑥 − 1 
 A reta tangente se confunde a curva a medida que 
tentamos dar zoom na função em torno do ponto P. 
 De uma maneira geral, podemos utilizar este 
procedimento para calcular a inclinação da reta 
tangente a qualquer curva 𝑓(𝑥) no ponto 𝑥 = 𝑎 ou 
𝑃(𝑎, 𝑓(𝑎)). 
 
 Assim, fazemos o ponto 𝑄(𝑥, 𝑓(𝑥)) se aproximar cada 
vez mais do ponto 𝑃(𝑎, 𝑓(𝑎)). 
 Temos então a expressão que determina a inclinação 
da reta tangente: 
 
 Também podemos entender este limite em função da 
distância 𝑕 cada vez menor em relação ao ponto 𝑥 = 𝑎. 
 Exemplo 1: Determinar a equação da reta tangente a 
curva 𝑓 𝑥 = 3/𝑥 no ponto (3,1). 
 
 Quando estavamos interes- 
 sados em determinar a velo- 
 cidade instantânea de um 
 Móvel, também utilizamos 
 Destas informação até chemos a conclusão de que a 
velocidade no tempo 𝑡 = 𝑎 𝑠 é dada pela expressão: 
 O limite que acabamos de utilizar para resolver os 
problemas anteriores recebe o nome de derivada de 
uma função 𝒇(𝒙) no ponto 𝒙 = 𝒂. 
 
 
 Exemplo 2: Encontre a derivada a função a seguir no 
ponto 𝑥 = 𝑎. 
 
 Podemos dizer então que a inclinação da reta tangente 
á função 𝑦 = 𝑓(𝑥) no ponto (𝑎, 𝑓(𝑎)) é a derivada da 
𝑓(𝑥) no ponto a. 
 Exemplo 3: Encontre a equação da reta tangente a 
parábola dada a seguir no ponto (3, −6). 
 
 Exemplo 4: Determinar a derivada da função 𝑓 𝑥 = 𝑥 
nos pontos 𝑥 = 4, 𝑥 = 8 e 𝑥 = 12. 
 TAXA DE VARIAÇÃO 
 Se uma variável y depende de outra variável x, então 
podemos dizer y é função de x (𝑦 = 𝑓(𝑥)). 
 Se x muda de uma de 𝑥1 para 𝑥2, então dizemos que 
houve uma variação de x (Δ𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1), o que também 
gera uma variação em y (Δ𝑦 = 𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1)). 
 
 
 Chamamos o quociente Δ𝑥/Δ𝑦, dado a seguir, de taxa de 
variação média de y em relação a x. 
 
 
 Para determinar a taxa de variação instantânea de y em 
relação a x, temos que forçar os pontos (𝑥1, 𝑦1) e (𝑥2, 𝑦2) 
cada vez mais a medida que a distância Δ𝑥 tende a zero. 
 
 
 Podemos então dizer que a derivada também representa a 
taxa de variação instantânea da função 𝑓(𝑥) no ponto a. 
 As taxas de variações estão presentes em muitas 
aplicações na ciência e na engenharia: 
 A taxa de variação da posição ou deslocamento de 
uma móvel é chamada de velocidade: A velocidade 𝑣 é 
a derivada da função posição 𝑠(𝑡) ou 𝑥(𝑡). 
 A taxa de variação da velocidade é chamada de 
aceleração: A aceleração 𝑎 é a derivada da velocidade 
𝑣(𝑡). 
 Tudo no universo que varia em função de alguma 
outra variável, pode-se retirar uma taxa de varia, isto 
é, pode-se retirar uma derivada. 
 Exemplo 3: Determine a equação da reta tangente a curva 
𝑦 = 𝑥3 no ponto (−1, −1) utilizando os dois diferentes 
métodos limites apresentados. 
 Exemplo 4: Encontre a equação da reta tangente a função a 
seguir no ponto dado. 
 
 
 Exemplo 5: O quadro a seguir mostra evolução do 
percentual da população da Europa que usa celular. Estime 
a taxa de variação instantânea desta porcentagem no ano 
2000. 
 Exemplo 6: Determine a 𝑓′(𝑎) para as funções a seguir. 
 
 
 
 Exemplo 7: Determine quais das expressões a seguir 
poderia representar a derivada de uma função 𝑓(𝑥) 
qualquer. 
 Exemplo 8: Uma fábrica produz barcos de uma material 
com comprimento fixo. O custo de produção de cada 
metros 𝑥 deste material é dado por 𝐶 = 𝑓(𝑥) reais. 
 A) O que significa a derivada 𝑓′(𝑥)? Qual a sua unidade? 
 B) Na prática, o que significa 𝑓′ 1000 = 9? 
 C) Qual poderia ter o maior valor 𝑓′(50), 𝑓′(500) ou 𝑓′(5000)? 
 Exemplo 9: Vamos tomar a dívida 𝐷(𝑡) 
dos EUA em bilhões de dólares de 
1980 a 2000. Interprete e estime o 
valor de 𝐷′(1990). 
 Exemplo 10: Esboce um gráfico que a tenda ao seguintes 
requisitos. 
 Exemplo 11: Esboce o gráfico de uma função 𝑔(𝑥) que 
atenda aos seguintes requisitos. 
 
 Exemplo 12: Um tanque com 100.000 litros de água pode 
ser drenado durante uma hora apertando um botão. 
Aplicando a Lei de Torricelli temos uma função que 
determina o volume V de água que ainda resta no tanque. 
O que significa 𝑉′(𝑡) ? Qual a unidade? Determine 𝑉′(0) , 
𝑉′(10), 𝑉′(20), 𝑉′(30), 𝑉′(40), 𝑉′ 50 e 𝑉′(60). 
 A DERIVADA COMO UMA FUNÇÃO 𝒇’(𝒙) 
 Até o momento quando resolvemos o limite 
 
 
 Estamos encontrando uma nova função (a função derivada) 
que depende do número 𝑎. 
 Mas podemos fazer a substituição 𝑥 = 𝑎 para forma o limite 
 
 
 O qual definimos como a função derivada. 
 Temos a possibilidade de determinar o valor da derivada 
para qualquer que seja o valor de 𝑥. 
 Exemplo 13: O gráfico a função 𝑓(𝑥) é dado a seguir, 
utilize-o para determinar o gráfico da função 𝑓′(𝑥). 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 14: Encontre a equação da função 𝑓′(𝑥) se 
 Exemplo 15: Encontre a equação da função 𝑓′(𝑥) se 
𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 𝑥. Compare as duas funções graficamente. 
 
 
 
 
 Exemplo 16: Repita o exemplo anterior para a função 
𝑓 𝑥 = 𝑥. Determine ainda o domínio de cada função. 
 OUTRAS NOTAÇÕES DE DERIVADA 
 Notação dos operadores diferenciais: Indica diferenciação 
sobre uma determinada função 𝑓(𝑥). 
 
 
 Podemos obter a simbologia 𝑑𝑦/𝑑𝑥 aceitando que a taxa de 
variação instantânea de y em relação a x resulta em uma 
variação infinitesimal 𝑑𝑦 no limite quando Δ𝑥 tende para um 
valor também infinitesimal 𝑑𝑥. 
 Notação de Leibniz: Aqui substituímos a notação 𝑓′(𝑎) pela 
notação a seguir. 
 
 
 FUNÇÕES DIFERENCIÁVEIS 
 Dizemos que uma função é diferenciável se existe 𝑓′(𝑎). 
 Dizemos que uma função é diferenciável em um intervalo 
aberto se esta é diferenciável para todos os números deste 
intervalo. 
 Exemplo 17: Verifique em qual intervalo a função 𝑓 𝑥 = 𝑥 
é difenciável. 
 Em geral, dizemos que uma função é diferenciável em um 
ponto a se esta é contínua neste ponto. 
 Como verificamos existem exceções em que este teorema 
pode falhar. 
 Vamos assim levantar algumas hipóteses de como uma 
função pode não ser derivável em um ponto a. 
 1 - Quando existem uma tendência da função assumir 
valores infinito tendendo a um ponto a. Ou quando a reta 
tangente é uma assíntota vertical. 
 
 2 – Quando temos uma descontinuidade no ponto a. 
 3 – Quando Existe um canto na função no ponto a. 
 
 
 
 
 Os cantos em função não permitem com que a função se 
confunda com uma reta (reta tangente) medida que dá 
zoom na função no ponto a. 
 DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR 
 Derivada de Segunda Ordem 
 Representa a derivada da função derivada: 𝑓′′ 𝑥 =
𝑑 𝑓′ 𝑥
𝑑𝑥
 
 
 
 Exemplo 17: Determine e interprete o significado da função 
𝑓′′(𝑥) sendo 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 − 1. 
 Como comentado anteriormente, a velocidade 𝑣(𝑡) é a 
derivada da posição 𝑠(𝑡): 𝑣 𝑡 = 𝑠′(𝑡); 
 A aceleração 𝑎(𝑡) é a derivada da velocidade 𝑣(𝑡): 𝑎 𝑡 =
𝑣′(𝑡); 
 Desta forma, podemos escrever a aceleração como o 
resultado da derivada da derivada da posição 𝑠 𝑡 : 𝑎 𝑡 =
𝑠′′(𝑡); 
 
 
 A terceira derivada 𝑓′′′(𝑥) representa a taxa de variação da 
segunda derivada 𝑓′′(𝑥). 
 O processo de derivação continua infinitamente. 
 Existe a derivada de quarta ordem 𝑓′′′′(𝑥) , a qual 
geralmente é simbolizada por 𝑓 4 (𝑥). 
 Existe a derivada de quinta ordem 𝑓 5 (𝑥). 
 Assim como existe a derivada de ordem n 𝑓 𝑛 (𝑥). 
 
 
 Exemplo 18: Encontre a derivada 𝑓 4 𝑥 da função𝑓 𝑥 =
𝑥3 − 𝑥. 
 Exemplo 19: Mostre que a função 𝑓 𝑥 = 𝑥3 é derivável em 
todo x exceto para 𝑥 = 0. 
 Exemplo 20: Relacione os gráficos a seguir de (a) a (d) com 
as sua possíveis derivadas de I a IV. 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 21: Plote o gráfico da função 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 e tente 
encontrar o gráfico da função derivada 𝑓′ 𝑠 = 𝑑(𝑠𝑒𝑛 𝑥)/𝑑𝑥. 
Compare este último com o gráfico da função 𝑔 𝑥 = cos 𝑥. 
 Exemplo 22: Utilize o gráfico mostrado a seguir para 
determinar o que é pedido. A partir desta informações, 
esboce o gráfico da função 𝑓′(𝑥). 
 
 
 
 Exemplo 23: Esboce o gráfico da 
 Função derivada das funções a seguir. 
 Exemplo 24: O gráfico a seguir mostra a população 𝑃(𝑡) de 
batérias em função do tempo de cultura. Esboce o gráfico 
𝑃′(𝑡). O que significa na prática a função 𝑃′ 𝑡 ? 
 
 
 
 
 
 Exemplo 25: Encontre a derivada das funções a seguir 
utilizando a definição. 
 Exemplo 26: Explique porque as funções a seguir não são 
deriváveis em todo o seu domínio. 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 27: A seguir são 
mostradas 3 curvas que são 
𝑓 𝑥 , 𝑓′ 𝑥 𝑒 𝑓′′(𝑥) . Identifique 
cada uma das funções. 
 FÓRMULAS BÁSICAS DE DERIVAÇÃO 
 A derivada de Uma constante. 
 Vamos encontrar a derivada da função 𝑓 𝑥 = 𝑐 , onde 𝑐 
uma constante. 
 
 
 
 
 Desta forma podemos escrever: 
 
 
 
 
 FÓRMULAS BÁSICAS DE DERIVAÇÃO 
 A derivada da função potência de x: 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛. 
 É possível mostrar que a derivada da função 𝑓 𝑥 = 𝑥 é 1 
(n=1). 
 
 Para a função 𝑓 𝑥 = 𝑥2 𝑒 𝑓 𝑥 = 𝑥3 (n=2 e n=3), temos: 
 
 
 Para n=4, isto é, 𝑓 𝑥 = 𝑥4, temos: 
 De forma geral, pode afirmar que a derivada da função 
𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛 resulta sempre em uma função de potência menor 
de uma unidade e esta aparece multiplicada pelo valor do 
expoente original. 
 Assim, temos: 
 
 Esta equação também é válida para quando 𝑛 é qualquer 
número real. 
 Exemplo 28: Encontre a deriva das funções a seguir 
utilizando a regra da derivada da potência. 
 
x
xf
1
)( 
x
xf
1
)( 
 Derivada de uma função Multiplicada por Uma Constante. 
 
 
 Basta então calcular a derivada 
 Da função e depois multiplicar 
 Pela constante 𝑐. 
 Derivada da soma de duas funções (𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥)). 
 A derivada da soma é a soma das derivadas. 
 Exemplo 28: Determinar os 
pontos da curva 𝑓 𝑥 = 𝑥4 −
6𝑥2 − 4 em que as retas 
tangentes são horizontais. 
  Derivada de Senos e Cossenos 
 Exemplo 29: Determinar a derivada das funções 𝑓 𝑥 =
sin 𝑥 𝑒 𝑓 𝑥 = cos 𝑥. Utilize os limites a seguir. 
 
 
 Assim teremos: 
 
 
 Exemplo 30: Determine a derivada da função 
 
 Exemplo 31: Determine a 27° derivada da função 𝑓 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛 𝑥; 
 
 Exemplo 32: Dada a função a seguir que determina a posição de 
uma partícula no tempo. Onde 𝑡 é o tempo em segundos e 𝑠 é 
medido em metros. 
 
 A) Determine a velocidade no tempo 𝑡. 
 B) Qual a velocidade depois de 2s? E Depois de 4s? 
 C) Em que momento a partícula para? 
 D) Quando a partícula se movimenta no sentido contrário? 
 E) Esboce o diagrama que representa a posição da partícula 
 F) Encontre a distância total percorrida durante até 5s. 
 G) Encontre a aceleração no tempo t e em t=4s. 
 H) Monte o gráfico para velocidade e posição entre 0 e 5s. 
 I) Em que momento a partícula acelera? E em que momento 
desacelera? 
 
 Exemplo 33: Encontre a derivada das funções a seguir. 
 
 
 
 
 
 Exemplo 34: Encontre a equação da reta tangente às 
funções no ponto indicado. 
 
 Exemplo 35: Encontre a segunda e a terceira derivadas das 
funções. 
 Exemplo 36: Para quais valores de x a função a seguir 
possui tangente horizontal. Note que sempre que um 
função possui uma tangente horizontal, existe um máximo 
ou um mínimo para a função. 
 
 Exemplo 37: As equações no formato 
 São chamadas de equações diferenciais, pois levam em 
consideração uma função desconhecida 𝑦 e suas derivadas. 
A solução de uma equação diferencial é encontrar uma 
expressão para 𝑦 que atenda a equação. Uma solução 
típica é 𝑦 = 𝐴𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝐵𝑐𝑜𝑠 𝑥 , sendo A e B constantes. 
Determine os valores de A e B que tornem a expressão 
solução da equação diferencial. 
 Exemplo 38: Encontre os valores A, B e C que fazem com 
que a função 𝑦 = 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 seja solução da equação 
diferencial 
 A Derivada do Produto de duas funções 𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥). 
 
 
 Exemplo 39: Determine a derivada das funções. 
 A Derivada do Quociente de duas funções 𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑥 /𝑔(𝑥). 
 
 
 
 Exemplo 40: Determine a derivada das funções. 
 
 
 Exemplo 41: Determine a derivada da função 𝑓 𝑥 = tan 𝑥. 
 Exemplo 42: Encontre a derivada das demais funções 
Trigonométricas: sec 𝑥 , 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑒 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑥. 
 Exemplo 43: Encontre a derivada da função 
 Lista das derivadas de funções trigonométricas. 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 44: Encontre a derivada das funções. 
 Exemplo 45: Encontre a derivada das funções. 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 46: Encontre a equação da reta tangente a curva 
no ponto dado. 
 A Regra da Cadeia. 
 Utilizada quando se deseja calcular a derivada de funções 
compostas. 
 
 Na função anterior, podemos supor existir a função 
𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 1 e a função 𝑓 𝑥 = 𝑥. 
 A função 𝐹 𝑥 = 𝑓(𝑔(𝑥)) é uma função composta. 
 As quantidades estão variando uma em função da outra, 
portanto a derivada depende da variação das duas funções. 
 
 
 Exemplo 47: Vamos utilizar a regra da cadeira para 
determinar a derivada das funções 
 
 
 
 Exemplo 48: Vamos utilizar a regra da cadeira para 
determinar a derivada das funções 
 
 
 
 
 A Regra da Cadeira também pode ser utilizada para 
funções triplamente composta, ou composta por quatro, 
cinco e até n funções. 
 Exemplo 49: Vamos utilizar a regra da cadeira para 
determinar a derivada das funções 
 
 
 
 
 
 Exemplo 50: Represente as funções a seguir através de 
funções composta e então encontre sua derivada 𝑑𝑦/𝑑𝑥. 
 
 Exemplo 51: Determine a primeira e a segunda derivada 
das seguintes funções. 
 
 
 DERIVADA IMPLÍCITA 
 Utilizada quando a função 𝑦 não está explicitamente 
isolada. 
 Exemplo 52: Determinar a derivada das funções implícitas. 
 
 Exemplo 53: Determine 𝑦′′ para as funções a seguir. 
 Exemplo 54: Use a derivada implícita para encontrar a 
equação da reta tangente as curvas nos pontos dados. 
 
 Derivadas de Funções Exponenciais. 
 Exemplo 55: Determinar a derivada das funções 
exponenciais a seguir. 
 𝑓 𝑥 = 2𝑥,𝑓 𝑥 = 5𝑥,𝑓 𝑥 = 0,1𝑥,𝑓 𝑥 = (0,5)𝑥,𝑓 𝑥 = 𝜋𝑥 
 Exemplo 56: Determine um número 𝑒 de forma que 
𝑓′ 𝑥 = 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥; 
 Exemplo 57: Altere a base das funções exponenciais do 
exemplo 55 e encontre novamente a derivada das funções. 
 Comparações entre funções exponenciais. 
 
 
 
 
 
 Exemplo 58: Determine a derivada das funções 
exponenciais. 
 Derivada de funções trigonométricas Inversas. 
 Exemplo 59: Determinar a derivada da função 
𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 Exemplo 60: Determinar a derivada da função 
𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 61:Determinar a derivada das funções a seguir. 
 Exemplo 62: Determinar a derivadas das funções. 
 
 
 
 
 Exemplo 63: Determinar a derivadas das funções. 
 
 
 
 
 Exemplo 64: Determinar a derivadas das funções. 
 
 
 Exemplo 65: Calcule a derivada usando a derivação 
implícita. 
 
 
 Determinação de Mínimos e Máximos 
 Utilizamos o teste da primeira derivada para identificar 
quais são os pontos candidatos a máximos e mínimos: 
Quando a derivada 𝑓′ 𝑥 = 0 é igual a zero. 
 Quando a derivada 𝑓′ 𝑥 < 0 é negativa: Indica 
decrescimento da função; 
 Quando a derivada 𝑓′ 𝑥 < 0 
 é positiva: Indica crescimento 
 da função; 
 
 Utilizamosa segunda derivada para descobrir se a 
concavidade da curva é voltada para cima ou voltada para 
baixo em algum intervalo; 
 Se 𝑓′′ 𝑥 < 0 , a concavidade da função em um ponto é 
voltada para cima. Em um ponto crítico, temos um mínimo 
da função original. 
 Se 𝑓′′ 𝑥 > 0 , a concavidade da função em um ponto é 
voltada para baixo. Em um ponto crítico, temos um 
máximo da função original. 
 Se 𝑓′′ 𝑥 = 0, temos um ponto de inflexão: uma transição 
entre uma concavidade para cima e para baixo. 
 
 Exemplo 66: Determinar os ponto em que há máximo e 
mínimos para as funções: 
 𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 4𝑥3 
 
 
 
 Exemplo 67: Encontre os valores máximos e mínimos das 
funções. 
 O PROBLEMA DE CALCULAR A ÁREA 
 Estamos acostumados a determinar a área de figura 
regulares: Retângulos, Triângulos, círculos, Trapézios e 
outras figuras que podem ser decompostas nestas 
mesmas. 
 
 
 
 
 Como então determinar a área sobre figuras que não se 
encaixam nesta descrição? 
 
 
 
 
 Vamos tentar estimar o valor da área sobre a função 𝑦 = 𝑥2 
de 𝑥 ∈ [0, 1] aproximando esta área por vários retângulos. 
 Calculando a área para o primeiro método, temos: 
 
 
 Pelo segundo método, temos: 
 
 
 Vamos aproximar 
 por retângulos 
 menores ainda. 
 Utilizando os dois métodos, temos o seguinte intervalo: 
 
 Aumentando mais ainda o 
 número de retângulos, 
 temos: 
 
 
 
 Podemos então supor que a medida que a quantidade de 
retângulos tende ao infinito, a área tende a se aproximar 
do valor exato 1/3; 
 Vamos agora mostrar que esta 
suposição é verdadeira. 
 Vamos dividir o intervalo [0,1] em n 
parte, cada parte terá Δx = 1/n de 
largura. 
 Os pontos ao longo do intervalo serão: 
 
 As alturas ao longo do intervalo serão: 
 
 Então a área de todos os retângulos somados será dado 
por: 
 Continuando, temos: 
 
 
 
 Utilizando uma propriedade de somatório: 
 
 
 Teremos: 
 De forma genérica, podemos calcular a área sobre a curva 
𝑓(𝑥) no intervalo [a,b] subdividindo o intervalo em n 
valores; 
 Calculamos as área dos n retângulos e somamos; 
 
 
 
 
 
 
 A largura do intervalo será Δ𝑥: 
 Os n valores de 𝑥 ao longo do intervalo são 
dados por: 
 Fazendo o intervalo Δ𝑥 fixo, podemos 
escrever: 
 Para calcular a altura do retângulo 
substituímos o valor de x do intervalo na 
função. Assim, temos: 
 
 No limite Δ𝑥 → 0 teremos o valor exato da 
área A. 
 Em notação de somatório, 
teremos: 
 
 
 
 Exemplo 1: Utilize 
retângulos para determinar 
a área sobre a figura a 
seguir no intervalo de [1 a 
10]. 
 Exemplo 2: Utilize retângulos para determinar a área sobre 
a curva da função 𝑓 𝑥 = 1/𝑥 no intervalo de [1 a 5]. 
 Exemplo 3: Utilize retângulos para determinar a área sobre 
a curva da função 𝑓 𝑥 = 25 − 𝑥2 no intervalo de [0 a 5]. 
 Exemplo 4: Utilize retângulos para determinar a área sobre 
a curva da função 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1 no intervalo de [-1 a 2]. 
 Exemplo 5: Utilize retângulos para determinar a área sobre 
a curva da função 
 Exemplo 6: Utilize retângulos para determinar a área sobre 
a curva da função 𝑓 𝑥 = 𝑥3 no intervalo de [0 a 1]. 
 
 Uma forma numérica de se calcular as áreas que 
estávamos determinando é escolhendo um ponto no centro 
do intervalo de cada retângulo, o qual será denotado 𝑥𝑖
∗. 
 Fazendo a partição do intervalo [a,b], teremos: 
 
 
 
 
 
 Uma soma de Riemann é construída pela multiplicação da 
largura do intervalo 𝑖 pelo valor da função no centro deste 
intervalor 𝑓(𝑥𝑖
∗). 
 
 O somatório destas para todo o intervalo resulta na soma 
de Riemann, como mostrada a seguir: 
 
 
 A interpretação geométrica de uma soma de Riemann é 
mostrada a seguir. 
 Uma INTEGRAL DEFINIDA DA FUNÇÃO 𝒇(𝒙) NO INTERVALO 
[a,b] É DADA PELO LIMITE DA SOMA DE RIEMANN a medida 
que a largura máxima dos retângulos tende a zero. 
 
 
 Se este limite existe, dizemos que a função 𝑓(𝑥) é 
integrável no intervalo [a,b]. 
 1 – A Expressão resulta em número; 
 O número em baixo a é dito o LIMITE INFERIOR DA 
INTEGRAL; 
 O número em cima b é dito o LIMITE SUPERIOR DA 
INTEGRAL; 
 
 
 O intervalo [a, b] é o intervalo de integração; 
 2- O valor da integral não depende de x, por isso podemos 
reescrever a expressão da integral definida em função de 
qualquer variável e mesmo assim o valor é o mesmo. 
 
 
 3 – Se 𝑓(𝑥) é contínua no intervalo [a, b] ou se 𝑓(𝑥) possui 
um numero finito de saltos de descontinuidades no 
intervalo [a, b], então a função 𝑓(𝑥) é dita integrável no 
intervalo [a, b]; 
 Isto é, o limite da integral definida existe; 
 
 
 AVALIANDO O VALOR DAS INTEGRAIS 
 Para avaliar o valor das integrais, vamos precisar conhecer 
algumas propriedades de somatório. 
 
 Exemplo 7: Avalie o valor da integral definida da função 
𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 6𝑥 no intervalo [0, 3]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 8: Determine o valor das integrais a seguir 
interpretando o resultado como área. 
 
 
 PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA 
 
 
 Exemplo 9: Utilize as propriedades da integral definida 
para calcular o valor da integral a seguir. 
 
 
 
 Exemplo 10: Determine o valor das integrais a seguir. 
 
 
 Exemplo 11: Use o gráfico da função 𝑓(𝑥) para determinar 
o valor das integrais definidas. 
 
 
 
 Exemplo 12: Avalie o valor das integrais a seguir em 
termos de áreas. 
 
 
 
 
 Exemplo 13: (Funções área) Desenhe a curva 𝑡 = 2𝑡 + 1: 
 A) Encontre geometricamente a área sobre a curva no 
intervalo [1,3]; 
 B) Para 𝑥 > 1, encontre uma função que determine a área 
entre 1 e qualquer valor x entre 1 e 3; 
 Derive a função área A(x). O que você nota? 
 
 
 No exemplo anterior ao tentar calcular uma função A(x) 
que determine a área para qualquer valor dentro do 
intervalo [a,b], percebemos que a derivada desta função 
devolvia a expressão original 𝑓(𝑡). 
 Isto é, ao integrarmos uma função 𝑓(𝑡) encontramos outra 
função 𝐴(𝑥) cuja derivada é exatamente a função original 
𝑓(𝑡) antes da integração. 
 Desta forma notamos que a derivada recupera a função 
após a integração. O que implica em dizer que derivada e 
integral são operações inversas. 
 Isso é mostrado através do teorema fundamental do 
calculo. 
 
 
 Na realidade, temos uma vantagem em deter minar a 
relação entre a derivada e a integral; 
 Sabemos como calcular a derivada das mais diversas 
funções e podemos usar deste conhecimento para 
encontrar as expressões integrais sempre precisar da 
convergência limite de um somatório; 
 Na primeira parte do teorema fundamental, vamos definir a 
função área resultado de uma integral. 
 
 
 Esta função nos dá o valor da área sobre o gráfico 𝑓(𝑡) para 
qualquer ponto dentro do intervalo [a,b] onde 𝑥 < 𝑏. 
 
 Exemplo 14: Vamos determinar graficamente a função área 
𝑔(𝑥) obtida a partir da função 𝑓(𝑡) mostrada no gráfico a 
seguir. 
 
 Exemplo 15: Mostrar que 
 
 Teorema Fundamental do Calculo (Parte I): Se 𝑓(𝑡) é 
contínua integrável em [a,b], então a função g é definida 
 
 
 Sendo 𝑔′ 𝑥 = 𝑓(𝑥), caso 𝑔(𝑥) seja derivável em [a,b]. 
 
 
 Exemplo 16: Encontre a derivada da função 
 Exemplo 17: Encontre a derivada da função 
 
 Teorema Fundamental do Calculo (Parte II): Se 𝑓(𝑥) é 
contínua no intervalo [a,b] 
 
 Onde a função 𝐹(𝑥) é a chamada função antiderivada de 
𝑓(𝑥) de forma que 𝐹′ 𝑥 = 𝑓(𝑥). 
 Exemplo 18: Avalie o valor da integral 
 Exemplo 19: Encontre a área sobre a parábola 𝑦 = 𝑥2 de 0 
até 1. 
 Exemplo 20: Encontre a área sobre a função 𝑦 = cos 𝑥 de 0 
até b, onde 0 ≤ 𝑏 ≤ 𝜋/2. 
 Exemplo 21: O que a de errado com o seguinte calculo? 
 
 
 Exemplo 22: 
 Exemplo 1: Verifique por 
meio de derivação que as 
igualdades são 
verdadeiras. Exemplo 2: Encontre a 
integral indefinida. 
 Exemplo 3: Encontre o valor das integrais.