Lista 1 - Prof. Mariana

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Universidade Federal do Recoˆncavo da Bahia
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas
Ca´culo Diferencial e Integral II
1a Lista de exerc´ıcios
1. Questa˜o: Resolva as seguintes integrais.
1)
∫ (
x2 + 1
x
)
dx 2)
∫ √
sen(x)cos(x)dx 3)
∫
dx
x ln(x)
4)
∫
dx
2x2 + 5
5)
∫
x
1 + x4
dx 6)
∫
5sen(x)cos(x)dx
7)
∫
arctg3(x)
1 + x2
dx 8)
∫
e
x
3 dx 9)
∫
dx
cos2(7x)
10)
∫
dx
sen2(3x)
11)
∫
dx
5− 2x 12)
∫
tg(2x)dx
13)
∫
[cotg(ex)]exdx 14)
∫ (√
x2 + 1xdx
)
15)
∫
x√
2x2 + 3
dx
16)
∫
sen(x)
cos3(x)
dx 17)
∫
1√
16− 9x2dx 18)
∫
dx
cos2(x+ 1)
√
tg(x+ 1)
19)
∫
sen(2x)
(1 + cos(2x))2
dx 20)
∫
arccos2(x)√
1− x2 dx 21)
∫
e
√
x
√
x
dx
33)
∫
dx
cos2(x)
√
tg2(x)− 1 34)
∫
3x
2+4x+3(x+ 2)dx 35)
∫
dx
4− 9x2
22)
∫
3x
2
xdx 23)
∫
ex√
1− e2xdx 24)
∫
dx
2sen2(x) + 3cos2(x)
–2
25)
∫
cos3(x)
sen4(x)
dx 26)
∫
xcos(x)dx 27)
∫
xe3xdx
28)
∫
cotg(ex)exdx 29)
∫ √
x2 + 1xdx 30)
∫
excos(x)dx
31)
∫
(x2 + 2x)exdx 32)
∫
x
sen2(x)
dx 33)
∫
(16x3 + 4x+ 1) ln(x)dx
33)
∫
ln(5x)dx 34)
∫
x3√
1− x2dx 35)
∫
xcossec2(x)dx
36)
∫
x2 ln(x)dx 37)
∫
x2e2xdx 38)
∫
excos(x)dx
39)
∫
(x2 + 2x)exdx 40)
∫
x
sen2(x)
dx 41)
∫
xarctg(x)dx
42)
∫
arcsin(x− 2)dx 43)
∫
x5(1 + 4ex
3
)dx 44)
∫
e
√
2x+1dx
2. Questa˜o: Determine uma func¸a˜o f , sabendo que f ′(x) e´ cont´ınua e que:
1) f(pi) = 2 e satisfaz a equac¸a˜o
∫
f ′(x)tg(x)dx = sen3(x)−cos(c)+C, sendo C uma
constante real.
2) f(0) = 5 e satisfaz a equac¸a˜o
∫
arctg f
′(x)
x
dx = x3 + C, sendo C uma constante
real.
3. Questa˜o: Encontrar a primitiva F (x) da func¸a˜o f(x) tal que:
1) f(x) = xsen(x2) e F (0) = 1
2) f(x) =
x2
9 + x6
e F ( 3
√
3) = pi
4
3) f(x) = x3cos(x2) e F (0) = 3
2
–3
4. Questa˜o: Determinar a func¸a˜o f(x) nos seguintes casoso:
1)
∫
(x3 − 4x)f ′(x)dx = x2 + C e f(0) = −2.
2)
∫ √
x4 − 9f ′(x)dx = 7x2 + C e f(√3) = 8 ln(3).
5. Questa˜o: A equac¸a˜o da reta tangente a uma curva no ponto (0, 2) e´ y = 3x + 2.
Sabendo que em um ponto qualquer (x, y) da curva, f ′(x) = 3x2 + C, onde C e´ uma
constante, encontrar a equac¸a˜o desta curva.
6. Questa˜o: Em cada ponto da curva y = f(x), tem-se que
d2y
dx2
= tg2(x). Sabendo-se
que a reta tangente a` esta curva no ponto (0,1) e´ paralela ao eixo Ox, determinar a
equac¸a˜o da mesma.
7. Questa˜o:Determine a derivada dx
dy
de cada uma das func¸o˜es dadas abaixo:
1)y =
∫ x
1
ln(t)dt;x > 0 2)y =
∫ 0
x
(1 + t2)1/2dt 3)y =
∫ x2
1
(1 + t4)1/2dt
4)y =
∫ x
−x
(3 + t2)−1dt 5)
∫ y
0
etdt+
∫ x
0
sen(t)dt = 0 6)
∫ x
pi/2
√
3− sen2(z)dz +
∫ y
0
cos(z)dz
8. Questa˜o: Determine a derivada da func¸a˜o F (x) =
∫ 3
tg(x)
et
1 + t
dt.
9. Questa˜o: Sendo f definida por f(x) =
∫ x
0
(∫ t
0
(u2 + 7)du
)
dt, calcule f ′′.
10. Questa˜o: Sendo g definida por g(x) =
∫ x
3
(∫ t4
2
sen3(u)
u2
du
)
dt, calcule g′′.
–4
11. Questa˜o: Calcule
∫ 2
0
f(x)dx nos itens a seguir, sabendo que:
1)f(x) =
 x2, se0 ≤ x ≤ 1√x, se1 ≤ x ≤ 2 2)f(x) = |1− x|
12. Questa˜o: Mostre que a func¸a˜o f(x) =
∫ x
a
etsen(t)dt tem um mı´nimo em x = 0 e um
ma´ximo em x = pi.
13. Questa˜o:Determine os pontos extremos das func¸o˜es:
a)F (x) =
∫ x
1
e−t
2/2(1− t2)dt b)F (x) =
∫ x2
0
t2 − 5t+ 4
2 + et
dt
14. Questa˜o: Determine o valor me´dio de cada func¸a˜o f abaixo nos intervalos indicados
e o valor de x em que isso ocorre.
1) f(x) =
1√
1− x2 em
[
0, 1
2
]
2) f(x) = sen2(x) em [0, pi]
3) f(x) = x2 − 2x+ 1 em [−1, 5]
15. Questa˜o: Calcule as seguintes integrais:
a)
∫ 3
1
2x3 − 4x2 + 5
x2
dx b)
∫ 6
−3
|x− 4|dx
16. Questa˜o: Determine a a´rea da regia˜o limitada pelas curvas:
a)y = cos(x), x = 0, x = pi e y = 0 b)y = x2 + 1 e y = 5 c)y = x2 e y = 4x
–5
d)x = y2, x = 1 e x = 4 e)y =
1
x2
, y = −x2, x = 1 e x = 2 f)y = |x2 − 4| e y = 2
g)f(x) = x3 e g(x) = 3
√
x
17. Questa˜o: Determine a expressa˜o da integral que permite calcular a a´rea da regia˜o do
plano exterior a` para´bola y2 = 2x e interior ao c´ırculo x2 + y2 = 8.
18. Questa˜o: Resolva as seguintes integrais.
1)
∫
dx
x2 + 2x+ 5
2)
∫
dx
x2 − 6x+ 5 3)
∫
x+ 5
2x2 + 4x+ 3
dx
4)
∫
x+ 3√
3 + 4x− 4x2dx 5)
∫
3x+ 5√
x(2x− 1)dx 6)
∫
x+ 5√
2x2 + 4x+ 3
7)
∫
x+ 1
2x+ 1
dx 8)
∫
x
(x+ 1)(x+ 3)(x+ 5)
dx 9)
∫
dx
(x− 1)2(x− 2)
10)
∫
x− 8
x3 − 4x2 + 4x 11)
∫
x3 + 1
4x3 − xdx 12)
∫
x3 − 6
x4 + 6x2 + 8
dx
13)
∫
sen3(x)dx 14)
∫
sen2(x)cos3(x)dx 15)
∫
cos3(x)
sen4(x)
dx
16)
∫
sec(2x)dx 17)
∫
sen2(x)cos2(x)dx 18)
∫
sen(5x)sen(3x)dx
19)
∫
sen(x)cos(5x)dx 20)
∫
sen(x)
1 + sen(x)
dx 21)
∫
tg3(x)dx
22)
∫
sen2(x)
1 + cos2(x)
dx 23)
∫ √
a2 − x2
x2
dx 24)
∫ √
4 + x2dx
–6
25)
∫
dx
x2
√
1 + x2
26)
∫
x2
√
4− x2dx 27)
∫
dx
(x+ 1)2
√
x2 + 2x+ 1
dx
19. Questa˜o: Resolva as seguintes integrais.
1)
∫
x. ln
(
1 +
1
x
)
2)
∫
cos4(2x) 3)
∫
(3x2 + 6x+ 5)arctg(x)dx
4)
∫
2x− 9
6x− 5− x2dx 5)
∫
dx
sen(x)− cos(x)dx 6)
∫
2x− 9√
6x− 5− x2dx
7)
∫
ln(x)
x
√
1− ln(x)− ln2(x)
dx 8)
∫ √
16− e2x
ex
dx 9)
∫
x2
ln(
√
1− x)
20. Questa˜o: Verifique se as seguintes integrais impro´prias convergem ou divergem:
a)
∫ +∞
0
e−xdx b)
∫ +∞
1
1
x2
dx c)
∫ +∞
−∞
1
1 + x2
dx
d)
∫ 1
0
1√
x
dx e)
∫ 1
0
1
x2
dx f)
∫ 9
1
1
3
√
x2 − 9dx
g)
∫ +∞
−∞
xe−xdx h)
∫ +∞
−∞
xe−x
2
dx i)
∫ +∞
1
ln(x)
x
dx
21. Questa˜o:Calcule as seguintes integrais se existirem:
a)
∫ 1
0
ln(x)dx b)
∫ 2
−1
1
4− x2dx c)
∫ 1
0
1
x
dx
d)
∫ 3
1
x2√
x3 − 1dx e)
∫ pi/4
0
cos(x)√
sen(x)
dx
–7
22. Questa˜o:Suponha f integra´vel em [a, t) para t ≥ a. Prove que se ∫ +∞
0
|f(x)|dx
e´ convergente, enta˜o
∫ +∞
0
f(x)dx tambe´m e´ convergente. (Sugesta˜o: Use que 0 ≤
|f(x)|+ f(x) ≤ 2|f(x)| e que f(x) = |f(x)|+ f(x)− |f(x)|).
23. Questa˜o: Pelo exerc´ıcio anterior, mostre que a integral
∫ +∞
0
e−xsen3(x)dx e´ conver-
gente.
24. Questa˜o: A integral
∫ +∞
1
sen(x)
x
dx e´ convergente ou divergente? Justifique sua res-
posta.