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Primeira Prova de A´lgebra Linear - 2013
Unifesp- 2o semestre - 07/02/2013
Nome: Turma:
Matr´ıcula:
Assinatura:
Questa˜o Nota
1
2
3
4
Total
Instruc¸o˜es:
- Identifique com seu nome completo e sua turma as folhas de respostas.
- Na˜o e´ permitido o uso de qualquer equipamento eletroˆnico durante a prova.
- Na˜o sera˜o aceitas respostas sem justificativas.
- A prova pode ser feita a la´pis.
1a Questa˜o Seja o sistema 
x+ y − az = 0
ax+ y − z = 2− a
x+ ay − z = −a
(a) (1,5 pontos) Determine o(s) valor(es) de a para que o sistema seja poss´ıvel.
(b) (1,0 ponto) Resolva o sistema, por meio de escalonamento, para a = −1.
Resoluc¸a˜o:
(a) A matriz completa do sistema e´ 1 1 −a 0a 1 −1 2− a
1 a −1 −a
 L2=L2−aL1L3=L3−L1=⇒
 1 1 −a 00 1− a a2 − 1 2− a
0 a− 1 a− 1 −a

L3=L3+L2=⇒
 1 1 −a 00 1− a a2 − 1 2− a
0 0 a2 + a− 2 2(1− a)

Observe que se a = 1 a segunda linha torna-se [0 0 0 1] o que ja´ torna o sistema
imposs´ıvel. Quanto a` u´ltima linha, determinando as ra´ızes de a2 + a− 2 vemos
que a = −2 tambe´m torna este sistema imposs´ıvel. Logo devemos ter a 6= −2
ou a 6= 1 para que o sistema seja poss´ıvel.
1
1. Se a = −1 teremos  1 1 1 0−1 1 −1 3
1 −1 −1 1
 L2=L2+L1L3=L3−L1=⇒
 1 1 1 00 2 0 3
0 −2 −2 1

L3=L3+L2=⇒
 1 1 1 00 2 0 3
0 0 −2 4
 L3=
L3
2
L2=
L2
2=⇒
 1 1 1 00 1 0 3
2
0 0 1 −2

L1=L1−L2−L3=⇒
 1 0 0 120 1 0 3
2
0 0 1 −2

Logo temos S = {x = 1
2
, y = 3
2
, z = −2}.
2
2a Questa˜o Sejam
A =
 3 −2 11 0 2
−5 4 3
 ,b =
 −31
7

(a) (1,5 pontos) Verifique se b pode ser escrito como combinac¸a˜o linear dos vetores
formados pelas colunas da matrix A e seus coeficientes.
(b) (1,0 ponto) Determine as soluc¸o˜es da equac¸a˜o matricial Av = b.
Resoluc¸a˜o:
(a) Devemos achar uma soluc¸a˜o na˜o trivial para a equac¸a˜o −31
7
 = x
 31
−5
+ y
 −20
4
+ z
 12
3

que e´ o problema de escalonamento de uma matriz adicionando o vetor como a
u´ltima coluna para obtermos a matriz completa 3 −2 1 −31 0 2 1
−5 4 3 7
 L1↔L2=⇒
 1 0 2 13 −2 1 −3
−5 4 3 7
 L2=L2−3L1L3=L3+5L1=⇒
 1 0 2 10 −2 −5 −6
0 4 13 12
 L3=L3+2L2=⇒
 1 0 2 10 −2 −5 −6
0 0 3 0
 L1=L1−2/3L3L2=L2+5/3L3=⇒
 1 0 0 10 −2 0 −6
0 0 3 0
 L3=L3/3L2=−L2/2=⇒
 1 0 0 10 1 0 3
0 0 1 0

ou seja pode ser escrito como combinac¸a˜o linear, de fato o sistema tem soluc¸a˜o
{1, 3, 0}.
(b) E´ fa´cil ver que o sistema e´ exatamente o mesmo resolvido no item anterior! Logo
{x = 1, y = 3, z = 0}.
3
3a Questa˜o (a) (0,8 pontos) Verifique se no espac¸o das func¸o˜es f : R→ R o conjunto {1, sen2(x), cos(2x)}
e´ linearmente independente.
(b) (0,6 pontos) Verifique se V = {(x, y)|x2 + y2 = 1, x, y ∈ R2} e´ um espac¸o vetorial.
(c) (1,1 pontos) Determine as componentes de v = x2 na base S = {1, x+1, x2−2x} ∈
P2
Resoluc¸a˜o:
(a) O conjunto e´ linearmente dependente pois
sen2(x) =
1− cos(2x)
2
=
1
2
· 1− 1
2
cos(2x)
(b) Uma forma bem simples de verificar se este na˜o e´ um espac¸o vetorial e´ notando
que o vetor nulo (0, 0) /∈ V. Outra forma e´ verificar que a soma de dois vetores,
por exemplo v = (1, 0) e u = (0, 1) ∈ V , v+u = (1, 1) /∈ V , pois x2+y2 = 2 6= 1.
(c) Devemos achar as soluc¸o˜es para
x2 = a+ b(x+ 1) + c(x2 − 2x) = cx2 − (b− 2c)x+ (a+ b)
a+ b = 0
b− 2c = 0
c = 1
O sistema e´ relativamente simples c = 1, b = 2 e a = −2. Logo
[v]S =
 −22
1

4
4a Questa˜o (2,5 pontos) Seja
W = {(x, y, z)/x+ 2y − z = 0}
(a) (0,5 pontos) Prove que W e´ um subespac¸o vetorial do R3.
(b) (0,8 pontos) Determine uma base para W e determine dim(W ).
(c) Determine as coordenadas do vetor v = (6, 2, 10) na base de W .
(d) (1,2 pontos) Seja U = {(x, y, z)/y = 0}. Determine uma base para U ∩W e sua
dimensa˜o.
Resoluc¸a˜o:
(a) Se v ∈ W enta˜o v = (x, y, x + 2y). Iremos provar que ele e´ fechado quanto a
multiplicac¸a˜o por escalar e a soma. De fato :
i. (0, 0, 0) ∈ W ;
ii. se v1 ∈ W,v1 = (x, y, x+ 2y) e v2 ∈ W,v2 = (x1, y1, x1 + 2y1) enta˜o
v1 + v2 = (x+ x1, y + y1, (x+ x1) + 2(y + y1)) ∈ W ;
iii. seja λ ∈ R. Enta˜o λv = (λx, λy, λx+ 2λy) ∈ W.
Logo W e´ um subespac¸o vetorial do R3.
(b) Como v ∈ W enta˜o v = (x, y, x+ 2y) = x(1, 0, 1) + y(0, 1, 2). Portanto
W = [(1, 0, 1), (0, 1, 2)]
que sa˜o L.I. (nenhum vetor e´ mu´ltiplo do outro) e geram W por construc¸a˜o.
Logo e´ uma base para W e portanto dim(W ) = 2.
(c)
U ∩W = {(x, y, z)/x+ 2y − z = 0 e y = 0} = {(x, y, z)/x = z e y = 0}
logo Se v ∈ U ∩W ⇒ teremos v = (z, 0, z) = z(1, 0, 1). Logo
U ∩W = [(1, 0, 1)]
e tem dimensa˜o 1.
5