Segunda Lista de Exercício Calc das Prob e Estat I

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA 
DISCIPLINA: CÁLCULO DAS PROBABIÇIDADES E ESTATÍSTICA I 
SEGUNDA LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
1) Descreva o espaço amostral para cada um dos seguintes experimentos: 
a) Lançamento de um dado e de uma moeda; 
b) Nascimento de três filhos (considerar a distribuição dos sexos); 
c) Um teste de múltipla escolha consta de três questões com três alternativas cada. 
Apenas uma das alternativas é certa em cada questão. Uma pessoa sorteia uma 
alternativa em cada questão e marca. Considere: C(questão certa) e E(questão 
errada). A configuração das respostas do teste é observada; 
d) Lançamento de um dado até que a face 3 apareça pela primeira vez. 
 
2) Determine os seguintes eventos relacionados aos espaços amostrais da 
questão anterior. 
a) Sair um número par e cara; 
b) No máximo dois filhos do sexo masculino; 
c) Acertar no mínimo duas questões; 
d) O dado ser lançado duas vezes. 
 
3) Uma urna contem 12 bolas numeradas de 1 a 12. Considere os eventos: 
A: retirada de bola com número par; 
B: retirada de bola com número múltiplo de 3; 
C: retirada de bola com número ímpar; 
D: retirada de bola com número múltiplo de 5. 
Determine os seguintes eventos: A; B; C; D; A; B; C; D; (AD); (A  B); (A  C); 
(B  D); (C ∪ D); (AB C), 
 
4) Amostras de plástico policarbonato são analisadas com relação à resistência a 
arranhões e choque. Os resultados de 100 discos analizados estão resumidos na 
tabela abaixo: 
Resistencia a: 
arranhão 
choque 
alta baixa 
alta 80 9 
baixa 6 5 
Faça A representar o evento em que um disco tenha alta resistência a choque 
e faça B representar o evento em que um disco tem alta resistência a arranhões. 
Determine o número de discos nos eventos: (A∩B); A e (A∪B). 
5) O tempo de enchimento de um reator (x) é medido em minutos (e frações de 
minutos). Faça o espaço amostral ser formado por números reais e positivos. 
Defina os eventos A e B como: A = { x | x < 72,5 } e B = { x | x > 52,5 } 
Descrava cada um dos seguinte ebentos: A; B; (A∩B) e (A∪B). 
6) Dois dados são lançados. Sejam os eventos: 
A: o primeiro número é maior que o segundo; 
B: o primeiro número é igual ao dobro do segundo; 
C: a soma dos dois números é maior ou igual a 8. 
Calcule as seguintes probabilidades: 
a) P(A) e P(B); b) P(A∪C); c) P(B∩C). 
7) Uma indústria automobilística possui 15.000 empregados, classificados de 
acordo com a tabela abaixo: 
Idade 
Sexo 
Masculino Feminino 
Menos de 25 anos 3.000 500 
25 à 45 anos 4.000 2.500 
Mais de 45 anos 1.000 4.000 
Se um empregado é selecionado ao acaso, calcule a probabilidade dele: 
a) Ter no mínimo 25 anos; 
b) Ser do sexo masculino; 
c) Ter mais de 45 anos ou ser do sexo feminino; 
d) Ter entre 25 à 45 anos e ser do sexo masculino. 
 
8) Uma caixa contém fichas de duas cores sendo 4 vermelhas e 3 pretas. Uma outra 
caixa contém 2 vermelhas e 4 pretas. Uma ficha é selecionada aleatoriamente da 
primeira caixa e colocada na segunda. Em seguida uma ficha é retirada da segunda 
caixa. Qual a probabilidade dessa ficha ser vermelha? 
 
9) Um sistema de alarme que indica quando a temperatura de uma máquina está 
elevada a ponto de provocar um incêndio utiliza três sensores que agem 
independentemente um do outro. A probabilidade de cada sensor não funcionar é 
de 0,1 quando a temperatura ultrapassa 80º C. O alarme é ativado se pelo menos 
um dos sensores entrar em funcionamento. Qual a probabilidade do alarme disparar 
quando a temperatura ultrapassar 80º C? 
 
10) Uma indústria fabrica três modelos de turbinas. Os percentuais de fabricação 
para os três modelos são respectivamente 40%, 30% e 30%. Os percentuais 
de vendas para cada modelo são: 90%, 80% e 95%, respectivamente. Uma 
turbina é escolhida ao acaso na produção. 
a) Qual a probabilidade dele ser vendida? 
b) Se ela for vendida, qual a probabilidade de que ela seja do modelo 1? 
c) Se ela não for vendida, qual é a probabilidade de que ela seja do modelo 2? 
 
11) No curso de Engenharia Mecânica 5% dos homens e 2% das mulheres estão 
acima dos pesos ideais. Um estudante é escolhido aleatoriamente. Sabe-se 
também que 60% dos estudantes são homens. Sorteando-se 
aleatoriamente um estudante, calcule a probabilidade de que ele: 
a) esteja acima do peso; 
b) seja mulher, sabendo que o mesmo está acima do peso. 
12) Sejam A e B dois evento tais que P(A)=0,4 e P(A∪B)=0,7. Qual o valor 
de P(B), quando A e B forem; 
a) Mutuamente exclusivos? 
b) Independentes? 
 
13) A probabilidade de uma mulher estar viva daqui a 30 anos é de 3/4 e de seu 
marido é de 3/5. Calcule a probabilidade de que: 
a) apenas o homem estar vivo; 
b) apenas a mulher estar viva; 
c) pelo menos um estar vivo; 
d) ambos estarem vivos. 
 
14) Um lote A contém 10 peças, sendo 4 defeituosas e 6 perfeitas; outro lote B 
possui 15 peças, sendo 5 defeituosas e 10 perfeitas. Uma peça é escolhida, 
aleatoriamente, de cada lote. Calcule a probabilidade de: 
a) pelo menos uma das peças escolhidas ser perfeita; 
b) ambas as peças escolhidas serem defeituosas; 
c) uma peça escolhida ser perfeita e a outra defeituosa. 
 
15) Suponha que temos dois lotes nas seguintes condições: O primeiro com 
de 200 peças, onde 10 tem defeito de fabricação, e o segundo com 300 
peças, onde 12 tem defeito de fabricação. Se uma peça for retirada de 
cada lote, qual é a probabilidade de que: 
a) nenhuma delas tenha defeito de fabricação? 
b) Apenas a peça do primeiro lote tenha defeito de fabricação? 
 
16) Em uma universidade, 40% dos estudantes praticam vôlei e 30% praticam natação. 
Dentre os que praticam vôlei, 20% praticam também natação. Que porcentagem de 
estudantes não pratica nenhum dos dois esportes? 
 
17) Em um lote de 12 lâmpadas das quais 4 são defeituosas, três são escolhidas 
aleatoriamente. Qual a probabilidade de que: 
a) nenhuma seja defeituosa; 
b) exatamente uma seja defeituosa; 
c) pelo menos uma seja defeituosa; 
d) exatamente duas defeituosas extraídas. 
 
18) Em uma festa beneficente para AACD serão sorteados um DVD e uma máquina 
fotográfica digital. São vendidos 400 bilhetes para o primeiro prêmio e 200 para 
o segundo. Uma mulher compra 4 bilhetes para concorrer a cada prêmio. 
Encontre a probabilidade de que: 
a) Ela ganhe exatamente um prêmio; 
b) Ela ganhe alguma coisa. 
 
 
 
19) Considere a seguinte tabela de probabilidades conjuntas: 
 
Eventos A1 A2 Total 
B1 
B2 0,35 
B3 0,25 
Total 0,40 1,00 
 
a) Completar a tabela ao lado sabendo que: P(A1/B1)=0,30 e P(A1/B2)=0,70. 
b) Verificar se os eventos A1 e B1 são independentes. 
20) Uma rede local de computadores é composta por um servidor e cinco clientes. 
Dos pedidos de um tipo de processamento cerca de 10% vem do cliente A; 
15% do B; 15% do C; 40% do D e 20% do E. Caso o pedido não seja feito de 
forma adequada, o processamento apresentará erro. Usualmente ocorrem os 
seguintes percentuais de pedidos inadequados: 1% do cliente A; 2% do cliente 
B; 0,5% do cliente C; 2% do cliente D e 8% do cliente E. 
a) Qual a probabilidade do sistema apresentar erro? 
b) Sabendo-se que o processo apresentou erro calcule a probabilidade de que 
o processo tenha sido pedido pelo cliente E. 
21) Numa cidade 20% dos carros são da marca K, 30% dos carros são táxis e 
40% dos táxis são da marca K. Se um carro é escolhido, ao acaso, determinar 
a probabilidade de: 
a) ser táxi e ser da marca K; 
b) ser táxi e não ser da marca K; 
c) não ser táxi, sabendo-se que é da marca K. 
d) não ser táxi e não ser da marca K; 
e) não ser táxi e ser da marca K; 
22) Seja X uma variávelaleatória discreta assumindo valores no conjunto {1, 2, 3} 
e com seguinte função distribuição de probabilidade: 
 
X 1 2 3 
P(X=x) 1/3 1/6 1/2 
a) Obtenha a função de distribuição acumulada de X; 
b) Calcule a média e a variância de X; 
23) Um lojista mantém extensos registros das vendas diárias de certo aparelho. 
Com os dados coletados construiu a seguinte função distribuição de 
probabilidade da variávelaleatória X=número de aparelhos vendidos por 
semana: 
X 0 1 2 3 4 5 
P(X=x) 0,05 0,05 0,25 0,30 0,20 0,15 
 
Calcule o número esperado de aparelhos vendidos por semana. 
 
24) O tempo T em minutos necessário para um operário processar certa peça, 
é uma V.A. com a seguinte distribuição de probabilidade: 
 
T 2 3 4 5 6 7 
P(T=t) 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1 
 
a) Calcule o tempo médio de processamento e a variância. 
b) Para cada peça processada o operário ganha um fixo de R$ 2,00, mas se 
ele processa a peça em menos de 6 minutos, ganha a mais 0,50 por cada 
minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a peça em minutos recebe 
a quantia adicional de R$ 1,00. Encontre a distribuição de probabilidade, 
a esperança e a variância da quantia ganha por peça. 
 
25) Estatísticas de tráfego revelam que 30% dos veículos interceptados numa auto-
estrada não passam no teste de segurança. De 4 veículos interceptados 
aleatoriamente, calcule a probabilidade de que não passe no teste de 
segurança: 
a) nenhum deles; b) todos eles; 
c) exatamente um; d) pelo menos um; 
e) exatamente 50% deles. f) pelo menos um veículo. 
g) se forem interceptados aleatoriamente 40 veículos, qual o número 
esperado dos que passam no teste de segurança? 
 
26) Considere uma variável aleatória discreta X com a seguinte função de 
probabilidade: 
P(X = k) = {
c para k = 1, 2,5
2c para k = 2, 4
 
a) Determine o valor da constante "c" que torna legítima a função de 
probabilidade acima. 
b) Obtenha a função de distribuição acumulada F 
c) Encontre a Esperança e a Variância de X. 
 
27) Suponha que a variável aleatória X tenha a seguinte função de densidade: 
f(x) = {
(1 + x) se − 1 < x < 0
(1 − x) se 0 < x < 1
0 se < −1 ou x > 1
 
a) Exibir F(X); 
b) Calcular E(X) e Var(X). 
 
28) Seja X uma variável aleatória com densidade 
f(x) = {cx
2 se − 1 < x < 0
0 caso contrário
 
a) Determine “c” para que f(x) seja uma função densidade; 
b) Encontre P(X>0); 
c) Determine E(X) e Var(X). 
29) Seja a variável aleatória contínua X = quantidade mensal ofertada (em tonelada.) 
para um particular produto, com função densidade de probabilidade dada por: 
f(x) = {
𝑥−
1
2
2
 para 0 ≤ x ≤ 1
0 para outros valores
 
Calcule P(X>E(X)), onde E(X) é o número esperado de quantidade ofertada do 
produto. 
 
30) Seja X uma variável aleatória contínua representando o peso (em kg) de uma 
determinada peça manufaturada, tendo a seguinte função densidade de 
probabilidade: 
 
f(x) = {
𝑥
8
 para 2 ≤ x ≤ 6
0 para outros valores
 
Determine: 
a) O valor esperado, a variância e o desvio padrão de X; 
b) P(2<X<3). 
 
31) Seja X uma variável aleatória denotando o tempo (em horas) necessário para 
produzir um determinado artigo, com função densidade de probabilidade dada 
por: 
f(x) = {
0,4(x + 1) se 1 ≤ x ≤ 2
0 outros valores
 
 
a) Calcule o tempo esperado na produção do artigo. 
b) O lucro (em US$) que o produtor tem sobre um artigo é dado por 
Y = 3 – X2. Calcule o lucro esperado por artigo, usando E(Y) = 3 - E(X2). 
 
 
32) Seja X a variável aleatória denotando o tempo semanal necessário para 
completar um pequeno contrato. A fdp de X é dada por: 
f(x) =
{
 
 
 
 
 x − 2 
16
 para 2 ≤ x ≤ 6
10 − x
16
 para 6 < x ≤ 10
0 para outros valores
 
Calcele: 
a) P(5 ≤ X ≤ 7); 
b) E(X); 
c) O lucro do contrato depende do tempo necessário para completa-lo, 
através da função: Lucro = 100 - 10X (em US$). Determine o lucro esperado 
por contrato usando E(Lucro) = 100 - 10E(X). 
 
33) Seja X uma variável aleatória contínua representando o tempo (em horas) 
necessário para produzir um certo artigo. A função densidade de probabilidade 
de X, f(x), é dada por: 
f(x) = {
2x − 4 para 2 ≤ x ≤ 3
0 para outros valores
 
Determine: 
a) P(2≤X≤ 2,5) 
b) E(X), o tempo esperado para produzir um artigo 
c) Var(X) 
 
34) Estatísticas de tráfego revelam que 30% dos veículos interceptados numa 
auto-estrada não passam no teste de segurança. De 4 veículos interceptados 
aleatoriamente, calcule a probabilidade de que não passe no teste de 
segurança: 
a) nenhum deles; b) todos eles; 
c) exatamente um; d) pelo menos um; 
e) exatamente 50% deles. f) pelo menos um veículo. 
g) se forem interceptados aleatoriamente 40 veículos, qual o número 
esperado dos que passam no teste de segurança? 
 
35) Um levantamento efetuado na carteira de uma agência bancária indicou 20% 
dos títulos eram pagos com atraso. Se em determinado dia foram pagos 20 
títulos da carteira, determine a probabilidade de que sejam pagos com atraso: 
a) no máximo dois títulos; 
b) no mínimo um título; 
c) Qual o número esperado de títulos pagos com atraso? 
 
36) Uma empresa de pesquisas telefônicas está entrevistando candidatos a 
emprego de entrevistador. A empresa sabe que um entrevistador médio obtém 
resposta de 80% das pessoas que entrevista. Para testar os candidatos ao 
emprego, a firma manda-os telefonar a 5 famílias diferentes e procurar obter 
resposta a um pequeno questionário. 
Qual a probabilidade de resultado positivo em: 
a) 20% das entrevistas? b) 4 entrevistas? 
c) no máximo 4 entrevistas? d) todas as entrevistas? 
e) Qual o número esperado de 
resultados positivos? 
 
37) Um levantamento efetuado em um pregão de bolsa de valores mostrou que 
naquele dia 40% das empresas tiveram aumento do valor de suas ações, 
enquanto que as ações das empresas restantes ficaram estáveis ou perderam 
valor. Um fundo negocia com ações de 10 destas empresas. Calcule a 
probabilidade de que neste dia: 
a) todas as ações do fundo tenham se valorizado; 
b) todas as ações do fundo tenham se desvalorizados ou ficaram estáveis? 
 
38) Um inspetor de qualidade deseja saber a probabilidade de obter pelo menos 
uma lâmpada defeituosa em uma amostra aleatória de 5 lâmpadas, obtida de 
um grande lote, sabendo que a porcentagem de lâmpadas defeituosas no lote 
é 20%. Obtenha o número esperado de lâmpadas defeituosas no lote e a 
probabilidade de E(X). 
 
39) Suponha que 2 de cada 20 ratos de laboratório rejam positivamente a uma 
nova droga experimental. Se, de uma grande ninhada, for feita uma escolha 
aleatória de 5 ratos, qual: 
a) a probabilidade de pelo menos 1 reagir positivamente à nova droga? 
b) a probabilidade de no máximo 4 reagirem positivamente à nova droga? 
c) Se, da ninhada considerada, for feita uma amostra aleatória de 10 ratos, 
determine o número esperado de ratos com reação positiva à nova droga. 
 
40) Suponha que Xt, o nº de partículas emitidas em t horas por uma fonte 
radioativa, tenha uma distribuição de Poisson com parâmetro 20t. Qual será 
a probabilidade de que exatamente 5 partículas sejam emitidas durante um 
período de 15 min? 
 
41) A chegada de ônibus em um terminal acontece a razão de 3 por minuto. 
Supondo que tenha uma distribuição de Poisson, determine a probabilidade de: 
a) chegarem exatamente 8 ônibus em 2 minutos. 
b) chegarem exatamente 4 ônibus em 5 minutos.42) Na Suíça a cada ano, ocorrem 450 mortes acidentais por arma de fogo na faixa 
etária de 15 a 24 anos. (National Safety Council, Accident Facts,1996). 
a) Por semana, qual é o número médio de mortes acidentais por armas de 
fogo? 
b) Em uma semana típica, qual é a probabilidade de não haver nenhuma 
morte acidental por armas de fogo? 
c) Em um dia típico, qual é a probabilidade de duas ou mais mortes 
acidentais por armas de fogo? 
 
44) De experiência passada sabe-se que um número médio de 6 clientes usa, por 
hora, determinado posto para colocar gasolina numa bomba. 
a) Qual é a probabilidade de 3 clientes pararem qualquer hora? 
b) Qual é a probabilidade de 3 clientes ou menos pararem em qualquer hora? 
c) Qual é o valor esperado, a média, e o desvio padrão para esta distribuição? 
 
45) Suponhamos que em uma indústria farmacêutica 0,001% de um determinado 
medicamento sai da linha de produção somente com o excipiente, ou seja, sem 
nenhum princípio ativo. Qual a probabilidade de que em uma amostra de 4 
mil medicamentos mais de 2 deles esteja somente com o excipiente. 
 
46) Em um determinado país, o número médio mensal de suicídios é 1,2. 
Assumindo que o número de suicídios segue uma distribuição de Poisson, 
determine: 
a) A probabilidade de que somente 1 suicídio seja registrado em um 
determinado mês? 
b) A probabilidade de ocorrer no máximo 3 suicídios em dois meses? 
c) A probabilidade de que 2 ou mens suicídios sejam registrados em um ano? 
 
47) Um processo opera de acordo com uma chance de ocorrer defeito de 3%. 
Coletando 300 peças aleatoriamente, qual a probabilidade de uma amostra 
selecionada apresentar: 
a) Três ou menos peças com defeitos. 
b) Mais de 1 peça com defeito. 
c) Entre 2 e 3 peças com defeitos. 
 
48) Um jogador tem 5/12 de probabilidade de ganhar um jogo. Na realização de 
20 partidas, determinar a probabilidade de esse jogador vencer: 
a) Somente uma partida. 
b) Mais de 18 partidas. 
c) Menos de 3 partidas. 
 
49) Em uma indústria foram coletadas 100 amostras de um produto N. Nesse 
processo a porcentagem de falha é de 1,5%. Calcule a probabilidade de que as 
amostras apresentam: 
a) 3 defeitos ou menos. 
b) Somente 2 defeitos. 
c) Nenhum defeito. 
 
50) Suponha que, em média, 400 erros de impressão estão distribuídos 
aleatoriamente em uma tese de doutorado de 500 páginas. Encontre a 
probabilidade de que uma página contenha: 
a) Nenhum erro. 
b) Exatamente 3 erros. 
c) Mais de 2 erros. 
 
51) Calcule as seguintes probabilidades: 
a) P(0 ≤ Z ≤ 1). b) P(-2,55 ≤ Z ≤ 1,2). 
c) P(Z ≥ 1,93).d) d) P(Z ≥ 1,93). 
 
51) Em uma pronta entrega, durante uma etapa do ciclo de produção, é medido o 
comprimento do corpo X de ternos de tamanho M que são confeccionados pela 
empresa. Sabendo que X segue uma distribuição normal com média igual a 
90,0cm e desvio padrão de 0,9cm, calcule as seguintes probabilidades de 
interesse do fabricante: 
a) P(89 < X < 91). b) P(X < 88). c) P(X > 92). 
 
52) Estudos anteriores mostram que a temperatura de um pasteurizador segue 
uma distribuição normal com média 75,4oC e desvio padrão 2,2oC. Sabe-se 
que se a temperatura ficar inferior a 70oC, o leite poderá ficar com bactérias 
maléficas. 
a) Qual a probabilidade do leite ficar com bactérias maléficas? 
b) Considerando 1000 utilizações de um pasteurizador em quantas a 
temperatura deve ser inferior a 70 oC podendo prejudicar o leite? 
c) Qual a probabilidade de que em 10 utilizações do pasteurizador em 
nenhuma o leite fique com bactérias maléficas? 
 
53) Uma máquina de ensacar determinado produto apresenta variações de peso 
(distribuído normalmente) com desvio padrão de 3 kg. 
a) Se a máquina for regulada com um peso médio de 64kg, qual é a 
probabilidade de se obter sacos com menos de 55kg?e com mais de 66kg? 
b) Em quanto deve ser regulado o peso médio do saco para que apenas 10% 
tenham menos de 60kg? 
 
54) Um estudo das modificações percentuais dos preços, no atacado, de produtos 
industrializados, mostrou que seguem uam distribuição normal com média de 
50% e desvio padrão de 10%. Qual a porcentagem dos artigos que sofreram 
aumentos: 
a) superiores a 75%? 
b) entre 30% e 80%? 
 
55) A resistência de determinadas peças individuais feitas por um certo 
processo de manufatura é conhecida ser normalmente distribuída com 
média =24 e desvio padrão σ=3. Toda peça produzida é testada, sendo 
aceita pelo controle de qualidade se as suas especificações quanto a 
resistência estiver entre -2σ e +2σ (caso contrário é rejeitada). 
a) Calcule a probabilidade de uma peça ser rejeitada. 
b) Um consumidor exige que pelo menos 95% das peças tenha resistência 
superior a 20. Tal especificação é atendida? Justificar a resposta. 
 
56) Uma empresa produz um equipamento cuja vida útil admite distribuição 
normal com média 300h e desvio padrão 20h. Se a empresa garantiu uma 
vida útil de pelo menos 280h para uma das unidades vendidas, qual a 
probabilidade de ela ter que repor essa unidade? 
 
57) Uma V. A. X distribui-se normalmente com média 80 e variância 9. 
Calcule o intervalo central que contém: 
a) 50% dos valores da variável; 
b) 99% dos valores da variável. 
 
 
 
 
58) O Departamento de Marketing da empresa resolve premiar 5% dos seus 
vendedores mais eficientes. Um levantamento das vendas individuais por 
semana mostrou que elas se distribuíam normalmente com média 
240.000u.m. e desvio padrão 30.000u.m. Qual o volume de vendas mínimo 
que um vendedor deve realizar para ser premiado? 
 
59) Através de documentação e observação cuidadosas, constatou-se que o tempo 
para se fazer um teste padrão de matemática é aproximadamente normal com 
=80min e σ=20min. 
i) Que percentagem de candidatos: 
a) levará menos de 80 minutos para concluir o teste? 
b) não terminará o teste se o tempo máximo concedido é de 2 horas? 
ii) Se 100 pessoas fazem o teste, quantas podemos esperar que o terminem 
na primeira hora? 
 
60) Em uma população de escores cujo valor médio é =60 e desvio padrão é σ=12, 
desejamos dividi-la em quatro classes. A classe “A” é formada por 16,6% dos 
menores escores; a classe “B” por 24,3% dos escores seguintes a “A”; a classe 
“C” por 38,2% dos escores seguintes a “B” e a classe “D” pelos escores 
restantes. Admitindo distribuição normal para os escores: 
a) quais os limites de cada classe? 
b) Em que classe estará um escore de 75? e um escore de 30?