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UNIJORGE // CURSO DE ENGENHARIA DISCIPLINA: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E SÉRIES LISTA DE EXERCÍCIOS : EDO - EDO SEPARÁVEL PROFESSOR: CAIO EDUARDO P. COSTA ALUNO : ___________________________________________________ 1) Verifique em cada caso se a função dada é solução da equação diferencial correspondente: a) Função: 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 1 + 𝑘. 𝑒−𝑠𝑒𝑛(𝑥), 𝑘 ∈ ℝ. EDO: 𝑑𝑢 𝑑𝑥 + 𝑢. cos(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)cos(𝑥). Resp: SIM b) Função: 𝑥(𝑡) = 𝐶1. cos(2𝑡) + 𝐶2. 𝑠𝑒𝑛(2𝑡), 𝐶1, 𝐶2 ∈ ℝ. EDO: 𝑥 ′′ + 4𝑥 = 0. Resp: SIM c) Função: 𝑧 = 𝑘. 𝑒−𝑥² , 𝑘 ∈ ℝ. EDO: 𝑑²𝑧 𝑑𝑥² + 2𝑧 = 0. Resp: NÃO d) Função: 𝑥(𝑡) = −2 𝑡²−1 . EDO: 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑡𝑥². Resp: SIM 2) Determine a equação diferencial ordinária associada a cada solução geral abaixo: a) 𝑥² + 𝑦² = 𝐶². Resp: 𝑥𝑑𝑥 + 𝑦𝑑𝑦 = 0 b) 𝑦 = 𝐶𝑒𝑥 . Resp: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 𝑦 = 0 c) 𝑥³ = 𝐶(𝑥2 − 𝑦2). Resp: 3𝑦² − 𝑥2 = 2𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 d) 𝑦 = 𝐶1𝑥²+ 𝐶2. Resp: 𝑥 𝑑²𝑦 𝑑𝑥² − 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0 e) 𝑦 = (𝐶1 + 𝐶2𝑥)𝑒 𝑥 + 𝐶3. Resp: 𝑑³𝑦 𝑑𝑥³ − 2 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0 f) 𝑦 = 𝐶1𝑥 −1 + 𝐶2 + ln 𝑥. Resp: 𝑥²𝑦 ′′ + 2𝑥𝑦′ − 1 = 0 3) Determine a solução geral de cada equação diferencial: a) 𝑑𝑇 𝑑𝑡 = −2(𝑇 − 10). Resp: 𝑇 = 𝑘. 𝑒−2𝑡 + 10 b) 𝑣 + 𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 𝑣³−1 𝑣² . Resp: 𝑣³ = 𝐶 − 3 ln|𝑥| c) 3𝑒𝑥𝑡𝑔(𝑦)𝑑𝑥 + (1 − 𝑒𝑥)𝑠𝑒𝑐2(𝑦)𝑑𝑦 = 0. Resp: (1 − 𝑒𝑥)3 = 𝐶. 𝑡𝑔(𝑦) 4) Determine a função 𝑦 = 𝑦(𝑥) que satisfaça as condições dadas: a) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑒𝑦 𝑒𝑦(0) = 1. Resp: 𝑦 = − ln ( 1 𝑒 − 𝑥) b) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 3𝑦2 𝑒𝑦(0) = 1 2 . Resp: 𝑦 = 1 2−3𝑥 5) Obtenha a solução da EDO 𝑑𝑆 𝑑𝑡 + 𝑆 3 = 2 que satisfaz a condição inicial 𝑆(0) = 5. O que acontece com a solução 𝑆(𝑡) após um longo tempo, ou seja, quanto vale lim𝑡→+∞ 𝑆(𝑡)? Resp: 𝑆(𝑡) = 6 − 𝑒 − 𝑡 3𝑒 lim𝑡→+∞ 𝑆(𝑡) = 6 6) Determine a equação de uma curva que passa pelo ponto (0,-2) de tal modo que o coeficiente angular da reta tangente em cada ponto seja igual a ordenada correspondente deste ponto aumentada de 3. Resp.: 𝑦 = 𝑒𝑥 − 3. 7) Um investidor aplica seu dinheiro em uma instituição que remunera o capital investido de acordo com a equação 𝑑𝐶 𝑑𝑡 = 0,08𝐶. Supondo que o capital investido no instante 𝑡 = 0 seja R$10.000,00, determine o valor do capital aplicado no instante 𝑡. Resp.: 𝐶(𝑡) = 10000. 𝑒0,08𝑡 . 8) Crescimento populacional. Sabe-se que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional a quantidade presente, isto é, 𝑑𝑄 𝑑𝑡 = 𝛼.𝑄, 𝑜𝑛𝑑𝑒𝑄 = 𝑄(𝑡)é𝑎𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑒𝑚𝑢𝑚𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜𝑡𝑒𝛼 ∈ ℝ. Após uma hora observam-se 1000 núcleos de bactérias na cultura e, após 4 horas, 3000 núcleos. Determine: a) Uma expressão para o número de núcleos presentes na cultura, num tempo arbitrário 𝑡. Resp.: 𝑁(𝑡) = 694. 𝑒0,366𝑡 . b) O número de núcleos inicialmente existentes na cultura. Resp.: 694. 9) Cinemática. Suponha que a aceleração de uma partícula seja proporcional ao tempo 𝑡. Para 𝑡 = 0𝑠, a velocidade da partícula é 9𝑚/𝑠. Sabendo-se que ambas, a velocidade e coordenadas de posição são zero quando 𝑡 = 3𝑠, escreva as equações do movimento para a partícula. Resp.: 𝑎(𝑡) = −2𝑡, 𝑣(𝑡) = −𝑡2 + 9, 𝑠(𝑡) = − 𝑡3 3 + 9𝑡 − 18. 10) Considere um corpo que se move ao longo de um eixo 𝑠 de tal forma que a sua aceleração 𝑎 = 𝑎(𝑡) é sempre o dobro da sua velocidade 𝑣 = 𝑣(𝑡). Determine a equação que descreve a posição 𝑠 = 𝑠(𝑡) desse corpo, sabendo que quando 𝑡 = 0 temos posição nula e que 𝑣(0) = 3𝑚/𝑠. Resp.: 𝑠(𝑡) = 3 2 (𝑒2𝑡 − 1). 11) Um material radioativo se desintegra a uma taxa 𝑑𝑚 𝑑𝑡 proporcional a 𝑚, onde 𝑚 = 𝑚(𝑡) é a quantidade de matéria no instante 𝑡. Supondo que a quantidade inicial (𝑒𝑚𝑡 = 0) de matéria seja 300 e que 10 anos após já tenha se desintegrado 1 3 da quantidade inicial, pede-se o tempo necessário para que metade da quantidade inicial se desintegre. Resp.: 𝑚(𝑡) = 𝑒 ln( 2 3) 10 .𝑡. 300, 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒17𝑎𝑛𝑜𝑠. 12) Termologia. Conhecemos de observações experimentais que a temperatura superficial de um objeto varia numa taxa proporcional a diferença entre a temperatura do objeto e a do meio ambiente. Esta é a lei de resfriamento de Newton. Portanto, se 𝑇(𝑡) é a temperatura do objeto no tempo 𝑡 e 𝑇𝑎 é a temperatura ambiente constante, temos a relação: 𝑑𝑇 𝑑𝑡 = 𝑘. (𝑇 − 𝑇𝑎),𝑜𝑛𝑑𝑒𝑘𝜖ℝ depende do material de que é constituída a superfície do objeto. Usando estes dados, considere uma substância posta numa corrente de ar. Sendo a temperatura do ar 30°𝐶 e resfriando a substância de 100°𝐶 para 70°𝐶 em 25 minutos, encontre o momento em que a temperatura da substância será de 40°𝐶. Resp.: Temos que 𝑇(𝑡) = 𝑇𝑎 + (𝑇0 − 𝑇𝑎). 𝑒 𝑘𝑡 , 𝑑𝑎í𝑘 ≅ −0,0224. Assim, 𝑡 ≅ 87𝑚𝑖𝑛. 13) Um termômetro é retirado de dentro de uma sala e colocado do lado de fora, em que a temperatura é de 5°C. Após 1 minuto, o termômetro marcava 20°C; após 5 minutos, 10°C. Qual a temperatura da sala? Use a Lei de resfriamento de Newton. Resp.: 𝑇(𝑡) = 15. 3 1−𝑡 4 + 5𝑒𝑇(0) ≅ 24,7°𝐶. 14) O corpo de uma vitima de assassinato foi descoberto. O perito da policia chegou à 01:00h da madrugada e, imediatamente, tomou a temperatura do cadáver que era de 30°C. Duas horas mais tarde ele tomou novamente a temperatura que era de 23°C. A temperatura do quarto onde se encontrava a vitima era constante a 20°C. Use a Lei de resfriamento de Newton para estimar a hora em que se deu a morte, admitindo que a temperatura normal de uma pessoa viva é de 37°C. Resp: 00:07h.
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