Lista Probabilidade

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Disciplina: Probabilidade e Estatística 
Professor: Elias Silva de Medeiros 
Curso: 
Discente: 
Lista 2 
Probabilidade, Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade 
1) De um grupo de sete finalistas de um concurso, três pessoas foram escolhidas para o primeiro, o segundo e 
o terceiro lugares. Determine o número de seleções possíveis. Resposta: 210 
 
2) Dez indivíduos são candidatos aos cargos de presidente e vice-presidente de uma organização. Quantas 
possibilidades de seleção existem? Resposta: 90 
 
3) Uma faculdade planeja entrevistar oito estudantes quanto a uma possível oferta de estágios de pós-
graduação. A faculdade tem três estágios disponíveis. Quantos grupos de três a faculdade pode selecionar? 
Resposta: 56 
 
4) Extrai-se ao acaso uma bola de uma caixa que contém 6 bolas vermelhas, 4 brancas e 5 azuis. Determine a 
probabilidade de a bola extraída ser: 
a) Vermelha. Resposta: 2/5 
b) Não-vermelha (Utilize o resultado de evento complementar). Resposta: 3/5 
c) Vermelha ou branca (Utilize o resultado de união de eventos). Resposta: 2/3 
 
5) Suponha que você se candidatou a dois empregos A e B. A probabilidade de que você receba uma oferta 
para o emprego A é de 0,23. A probabilidade de ser convocado para o emprego B é de 0,19. A probabilidade 
de conseguir pelo menos um dos dois empregos é de 0,38. 
a) Qual é a probabilidade de que você receba oferta para ambos os empregos? Resposta: 0,04 
b) Os eventos A e B são mutuamente exclusivos? Justifique. Resposta: Não. 
 
6) Determine a probabilidade de aparecer 4 ao menos uma vez em duas jogadas de um dado “honesto”. 
Resposta: 11/36 
 
7) Suponha que você tenha se candidatado a duas bolsas de estudo, uma Bolsa de estudo por mérito (M) e uma 
Bolsa destinada a atletas (A). A probabilidade de você receber uma Bolsa para Atletas é de 0,18. A 
probabilidade de receber as duas bolsas de estudo é de 0,11. A probabilidade de receber pelo menos uma 
das bolsas de estudo é de 0,3. 
a) Qual é a probabilidade de receber uma bolsa por mérito? Resposta: 0,23 
b) Os eventos A e M são mutuamente exclusivos? Justifique. Resposta: Não. 
c) Os dois eventos A e M são independentes? Explique, utilizando probabilidades. Resposta: Não. 
d) Qual é a probabilidade de receber a bolsa para atletas, considerando que você tenha conseguido a bolsa 
por mérito? Resposta: 0,48 
 
8) Uma caixa contém 2 bolas vermelhas e 3 azuis. Extraem-se ao acaso duas bolas, sem reposição. Determine 
a probabilidade de serem: 
a) Ambas azuis. Resposta: 0,30 
b) Ambas vermelhas. Resposta: 0,10 
c) Uma vermelha e uma azul. Resposta 0,60 
 
9) Prove que se 𝑃(𝐴) > 𝑃(𝐵), 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑃(𝐴|𝐵) > 𝑃(𝐵|𝐴). Dica: para demonstrar isto, utilize a definição de 
probabilidade condicional. 
 
10) Se A, B, C, são eventos independentes, prove que: 
a) Os eventos A e 𝐵 ∪ 𝐶 são independentes. 
Dica: [𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)] = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶) 
b) Os eventos A e 𝐵 ∩ 𝐶 são independentes. 
Dica: [𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)] = (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) 
 
11) Um profissional se candidatou a cargos na Companhia A e na Companhia B. A probabilidade de receber 
uma oferta da Companhia A é de 0,40, e a probabilidade de receber uma oferta da Companhia B é de 0,30. 
Supondo que as duas ofertas de emprego sejam independentes uma da outra, qual é a probabilidade de que: 
a) O candidato receba uma oferta das duas companhias? Resposta: 0,12 
b) O candidato receba pelo menos uma oferta? Resposta: 0,58 
c) O candidato não receba oferta de nenhuma das companhias? Resposta: 0,42 
d) A Companhia A não ofereça um emprego, mas a Companhia B ofereça? Resposta: 0,18 
 
12) Dois dos cilindros em um carro de oito cilindros estão com defeito e precisam ser substituídos. Se dois 
cilindros forem selecionados aleatoriamente, qual é a probabilidade de que: 
a) Sejam selecionados os dois cilindros com defeito? Resposta: 2/56 
b) Não seja selecionado nenhum cilindro com defeito? Resposta: 30/56 
c) Pelo menos um cilindro com defeito seja selecionado? Resposta: 26/56 
 
13) A probabilidade de que A resolva um problema é de 2/3, e a probabilidade de que B o resolva é de 3/4. Se 
ambos tentarem independentemente, qual a probabilidade de o problema ser resolvido? Resposta: 11/12 
 
14) Supondo que todos os componentes do sistema da figura a seguir tenham a mesma confiabilidade p e 
funcionem independentemente, obtenha a confiabilidade do sistema. Resposta: p²(2 – p²) 
 
 
 
 
 
 
 
 
15) Para selecionar seus funcionários, uma empresa oferece aos candidatos um curso de treinamento durante 
uma semana. No final do curso, eles são submetidos a uma prova e 25% são classificados como bons (B), 
50% como médios (M) e os restantes 25% como fracos (F). Para facilitar a seleção, a empresa pretende 
substituir o treinamento por um teste contendo questões referentes a conhecimentos gerais e específicos. 
Neste ano, antes do início do curso, os candidatos foram submetidos ao teste e receberam o conceito 
aprovado (A) ou reprovado (R). No final do curso, obtiveram-se as seguintes probabilidades condicionais: 
𝑃(𝐴|𝐵) = 0,80; 𝑃(𝐴|𝑀) = 0,50; 𝑃(𝐴|𝐹) = 0,20 
A empresa gostaria de conhecer qual a probabilidade de um indivíduo aprovado no teste ser considerado 
fraco, caso fizesse o curso, 𝑃(𝐹|𝐴)? Resposta: 0,10. 
 
16) Uma companhia produz circuitos em três fábricas, I, II e III. A fábrica I produz 40% dos circuitos, enquanto 
a II e a III produzem 30% cada uma. As probabilidades de que um circuito integrado produzido por essas 
fábricas não funcione são 0,01, 0,04 e 0,03, respectivamente. 
Considere que um circuito escolhido ao acaso seja defeituoso. Pede-se: 
a) Determine qual a probabilidade de ele ter sido fabricado por I. Resposta: 0,16 
b) Determine qual a probabilidade de ele ter sido fabricado por II. Resposta: 0,48 
c) Determine qual a probabilidade de ele ter sido fabricado por III. Resposta: 0,36 
 
Considere a situação do problema anterior, mas suponha agora que um circuito escolhido ao acaso não seja 
defeituoso. Pede-se: 
a) Determine qual a probabilidade de ele ter sido fabricado por I. Resposta: 0,41 
b) Determine qual a probabilidade de ele ter sido fabricado por II. Resposta: 0,29 
c) Determine qual a probabilidade de ele ter sido fabricado por III. Resposta: 0,30 
 
17) Quarenta por cento dos estudantes que se matriculam em um curso de estatística frequentam o laboratório 
de estatísticas regularmente. Dados anteriores indicam que 65% dos estudantes que utilizam o laboratório 
regularmente tiram nota A no curso. Por outro lado, somente 10% dos estudantes que não frequentam o 
laboratório regularmente tiram nota A. Se determinado estudante tirar um A, determine a probabilidade de 
que ele tenha frequentado o laboratório regularmente. Resposta: 13/16 
 
1 2 
4 3 
Variável Aleatória Discreta 
 
18) Suponha que a v.a. 𝑉 tem a distribuição seguinte: 
𝑣𝑖 0 1 
𝑃(𝑉 = 𝑣𝑖) 1 − 𝑝 𝑝 
Prove que 𝐸[𝑉] = 𝑝 e 𝑉𝑎𝑟[𝑉] = 𝑝(1 − 𝑝) 
 
19) O tempo T, em minutos, necessário para um operário processar certa peça é uma v.a. com a seguinte 
distribuição de probabilidade. 
𝑡𝑖 2 3 4 5 6 7 
𝑃(𝑇 = 𝑡𝑖) 0,20 0,10 0,20 0,20 0,20 0,10 
 
a) Calcule o tempo médio de processamento. (Resposta: 𝐸[𝑇] = 4,4) 
b) Para cada peça processada, o operário ganha um fixo de R$ 5,00, mas, se ele processa a peça em menos 
de seis minutos, ganha $0,75 em cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a peça em quatro 
minutos, recebe a quantia adicional de $1,50. Encontre a distribuição, a média e a variância da v.a. G: 
quantia em R$ ganha por peça. Resposta: 𝐸[𝑆 + 3] = 4,275 e 𝑉𝑎𝑟[𝑆 + 3] = 2,86875 − 1,2752 =
1,243 
 
20) Seja uma v.a. X seguindo uma distribuição binomial, 𝑋 ∼ 𝐵(𝑛, 𝑝), sabendo que 𝐸[𝑋] = 12 e 𝑉𝑎𝑟[𝑋] = 3, 
determine: 
a) 𝑛. Resposta: 16 
b) 𝑝. Resposta: 0,75 
c) 𝑃[𝑋 < 12]. Resposta: 0,36981 
d) 𝐸[𝑍] e 𝑉𝑎𝑟[𝑍], em que 𝑍 =
𝑋−12
√3
. Resposta: E[Z]=0 e Var[Z]=121) Numa central telefônica, o número de chamadas chega segundo uma distribuição de Poisson, com a média 
de oito chamadas por minuto. Determinar qual a probabilidade de que num minuto se tenha: 
a) Dez ou mais chamadas. Resposta: 0,28338 
b) Menos que nove chamadas. Resposta: 0,59255 
 
22) Suponha que a probabilidade de que um item produzido por uma máquina seja defeituoso é de 0,2. Se dez 
itens produzidos por essa máquina são selecionados ao acaso, qual é a probabilidade de que não mais do 
que um defeituoso seja encontrado? Use a binomial e a distribuição de Poisson e compare os resultados. 
Resposta: Binomial=0,37581 e Poisson=0,40601 
 
23) Trinta e dois por cento dos estudantes em uma classe de administração são pós-graduandos. Foi selecionada 
uma amostra aleatória de 5 estudantes. Utilizando a função de probabilidade binomial, determine a 
probabilidade de que a amostra contenha exatamente 2 estudantes pós-graduandos? Resposta: 0,32198. 
 
24) Setenta por cento dos estudantes que se candidataram a cursar uma universidade são aceitos. Utilizando a 
distribuição binomial, qual é a probabilidade de que entre os próximos 18 candidatos: 
a) Pelo menos 6 serão aceitos? Resposta: 0,998 
b) Exatamente 10 serão aceitos? Resposta: 0,081 
c) Exatamente 5 serão rejeitados? Resposta: 0,2017 
d) Quinze ou mais serão aceitos? Resposta: 0,16455 
e) Determine o número esperado de aceitações. Resposta: 12,60 
f) Calcule o desvio padrão. Resposta: 1,9442 
 
25) O Hospital SOS observou que, em média, 8 pacientes são atendidos por hora. 
a) Qual é a probabilidade de que durante a próxima hora menos de três pacientes serão admitidos? 
Resposta: 0,01375 
b) Qual é a probabilidade de que durante as próximas duas horas exatamente 8 pacientes serão admitidos? 
Resposta: 0,01199 
c) Preencha a seguinte tabela: 
𝑥𝑖 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 
𝑃[𝑋 = 𝑥𝑖] 
 
d) Esboce um gráfico de colunas para o item c), colocando 𝑥𝑖 no eixo horizontal e 𝑃[𝑋 = 𝑥𝑖] no eixo 
vertical. 
 
26) Vinte e cinco por cento dos empregados de uma grande companhia são de minorias sociais. Uma amostra 
aleatória de 7 empregados é selecionada. 
a) Qual é a probabilidade de que a amostra contenha exatamente 4 empregados de minorias sociais? 
Resposta: 0,05768 
b) Qual é a probabilidade de que a amostra contenha menos de 2 empregados de minorias sociais? 
Resposta: 0,44495 
c) Qual é a probabilidade de que a amostra contenha exatamente 1 empregado que não é de minoria social? 
Resposta: 0,00128 
d) Qual é o número esperado de empregados de minorias sociais na amostra? Resposta: 1,75 
e) Qual é a variância do número de empregados de minorias sociais? Resposta: 1,3125 
 
27) O número de peixes pescados por hora em certo pesqueiro é uma v.a. X que segue a distribuição de Poisson 
com média igual a 2,80, 𝑋 ∼ 𝑃(2,80). Qual a probabilidade de que um pescador, pescando durante uma 
hora: 
a) Pesque nenhum peixe. Resposta: 0,06081 
b) Pesque pelo menos 2 peixes: 0,76892 
c) Preencha a seguinte tabela: 
𝑥𝑖 0 1 2 3 4 5 6 
𝑃[𝑋 = 𝑥𝑖] 0,06081 
 
d) Esboce um gráfico de colunas para o item c), colocando 𝑥𝑖 no eixo horizontal e 𝑃[𝑋 = 𝑥𝑖] no eixo 
vertical. 
 
28) Um processo de produção fabrica 90% das peças sem defeito. Uma amostra de 10 peças do processo de 
produção é selecionada. 
a) Qual é a probabilidade de que a amostra contenha 7 peças sem defeito? Resposta: 0,05740 
b) Qual é a probabilidade de que a amostra contenha pelo menos 4 peças com defeito? Resposta: 0,01280 
c) Qual é a probabilidade de que a amostra contenha menos de 5 peças sem defeito? Resposta: 0,00015 
d) Qual é a probabilidade de que a amostra não contenha peças com defeito? Resposta: 0,34868 
 
29) Trinta por cento das peças produzidas por uma máquina apresentam defeito. Vinte peças são selecionadas 
aleatoriamente. Calcule. 
a) Qual é a probabilidade de que exatamente 9 peças apresentem defeito? Resposta: 0,06537 
b) Qual é a probabilidade de que o número de peças com defeito seja menor do que 5? Resposta: 0,2375 
c) Preencha a seguinte tabela: 
𝑥𝑖 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
𝑃[𝑋 = 𝑥𝑖] 0,06557 
 
d) Esboce um gráfico de colunas para o item c), colocando 𝑥𝑖 no eixo horizontal e 𝑃[𝑋 = 𝑥𝑖] no eixo 
vertical. 
 
30) Dada a função: 
𝑓(𝑥) = {
2𝑒−2𝑥, 𝑥 ≥ 0
0, 𝑥 < 0
 
a) Mostre que esta é uma f.d.p. 
b) Calcule a probabilidade de 𝑋 maior ou igual a 10, 𝑃(𝑋 ≥ 10). Resposta: 𝑒−20 
 
31) Suponha que estamos atirando dardos num alvo circular de raio 10 cm, e seja 𝑋 a distância do ponto atingido 
pelo dardo ao centro do alvo. A f.d.p. de 𝑋 é 
𝑓(𝑥) = {
𝑘𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 10
0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠
 
Qual a probabilidade de acertar o centro do alvo, se esse for um círculo de 1 cm de raio? Resposta: 
1/100 
 
32) Certa liga é formada pela mistura fundida de dois metais. A liga resultante contém certa porcentagem de 
chumbo, X, que pode ser considerada uma v.a. com f.d.p. 
𝑓(𝑥) =
3
5
10−5𝑥(100 − 𝑥), 0 ≤ 𝑥 ≤ 100 
Suponha que L, o lucro líquido obtido na venda dessa liga (por unidade de peso), seja dado por: 
𝐿 = 100 + 30𝑋. 
Calcule 𝐸(𝐿), o lucro esperado por unidade. Resposta: 1600 
 
33) A temperatura T de destilação do petróleo é crucial na determinação da qualidade final do produto. Suponha 
que T seja considerada uma v.a. com distribuição uniforme no intervalo (150, 300). Suponha que o custo 
para produzir um galão de petróleo seja 𝐶1 reais. Se o óleo for destilado a uma temperatura inferior a 200°, 
o produto obtido é vendido a 𝐶2 reais; se a temperatura for superior a 200°, o produto é vendido a 𝐶3 reais. 
Qual o lucro médio por galão? 
 
34) Se 𝑋 ∼ 𝑁(100, 100), calcular: 
a) 𝑃(𝑋 < 115) Resposta: 0,93319 
b) 𝑃(𝑋 ≥ 80) Resposta:0,97725 
c) 𝑃(𝑋 = 105) Resposta: Não existe. 
d) O valor 𝑎, tal que 𝑃(100 – 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 100 + 𝑎) = 0,95. Resposta: 19,6 
 
35) As alturas de 10.000 alunos de um colégio têm distribuição aproximadamente normal, com média 170 cm 
e desvio padrão 5 cm. 
a) Qual o número esperado de alunos com altura superior a 165 cm? Resposta: 8413 
b) Qual o intervalo simétrico em torno da média que conterá 75% das alturas dos alunos? Resposta: 
]164,25; 175,75[ 
 
36) Suponha que as amplitudes de vida de dois aparelhos elétricos, D1 e D2, tenham distribuições N(42, 36) e 
N(45, 9), respectivamente. Se os aparelhos são feitos para ser usados por um período de 45 horas, qual 
aparelho deve ser preferido? E se for por um período de 49 horas? Resposta: D2 é preferido para 45 horas; 
D1 é preferido para 49 horas. 
 
37) A confiabilidade de um mecanismo eletrônico é a probabilidade de que ele funcione sob as condições para 
as quais foi planejado. Uma amostra de 1.000 desses itens é escolhida ao acaso e os itens são testados, 
obtendo-se 30 defeituosos. Calcule a probabilidade de se obter pelo menos 30 itens defeituosos, supondo 
que a confiabilidade de cada item é 0,95. Resposta: 0,9985 
 
38) Um professor em uma faculdade de tecnologia notou que as notas de seus estudantes eram normalmente 
distribuídas, com uma média de 74 e um desvio padrão de 10. O professor nos informou que 6,3% de seus 
estudantes receberam notas A, enquanto apenas 2,5% de seus estudantes fracassaram e receberam F. 
a) Qual é a pontuação mínima necessária para se obter um A? Resposta: 89,3 
 
b) Qual é a pontuação máxima necessária entre aqueles que receberam um F? Resposta: 54,40 
 
39) As pontuações em um recente exame de estatística de âmbito nacional foram normalmente distribuídas, 
com uma média de 80 e um desvio padrão de 6. 
a) Qual é a probabilidade de que um exame aleatoriamente selecionado tenha uma pontuação de pelo 
menos 71? Resposta: 0,9332 
b) Qual porcentagem de exames terá pontuações entre 89 e 92? Resposta: 0,044 
c) Se 2,5% das melhores pontuações no teste receberem prêmios por mérito, qual é a menor pontuação 
que receberáum prêmio? Resposta: 91,76 
d) Se houver 334 exames com pontuações de pelo menos 89, quantos estudantes fizeram o exame? 
Resposta: 5000 
40) O preço médio de perfumes fabricados pela BLZ é de R$ 98, com um desvio padrão de R$ 12. Além disso, 
sabe-se que os preços dos perfumes produzidos pela BLZ são normalmente distribuídos. 
a) Qual a probabilidade de um perfume produzido pela BLZ apresentar um preço de pelo menos R$ 
120,20? Resposta: 0,03216 
b) Perfumes com preços de pelo menos R$ 81,80 receberão um brinde. Qual a probabilidade de perfume 
selecionado receber o brinde? Resposta: 0,9115 
c) Quais são os valores mínimo e máximo de 95% dos perfumes com preços intermediários? Resposta: 
mín. 74,48 e max. 121,52 
 
41) Para uma distribuição normal padrão, determine as probabilidades de obter os seguintes valores z. É útil 
desenhar uma distribuição normal para cada caso e mostrar a área correspondente. 
a) 𝑃(𝑍 > 0) Resposta: 0,50 
b) 𝑃(−2,40 ≤ 𝑍 ≤ −2,0) Resposta: 0,0146 
c) 𝑃(𝑍 ≤ 1,60) Resposta: 0,9452 
d) 𝑃(𝑍 = 1,20) Resposta: Não existe 
 
42) As pontuações em um recente exame de estatística de âmbito nacional foram normalmente distribuídas, 
com uma média de 80 e um desvio padrão de 6. 
a) Qual é a probabilidade de que um exame aleatoriamente selecionado tenha uma pontuação de pelo 
menos 71? Resposta: 0,9332 
b) Qual a probabilidade de que um exame aleatoriamente selecionado apresente uma pontuação entre 89 
e 92? Resposta: 0,0441 
c) Se 2,5% das melhores pontuações no teste receberem prêmios por mérito, qual é a menor pontuação 
que receberá um prêmio? Resposta: 91,76 
 
43) A REFRI é uma grande produtora de vários tipos de refrigerantes. O Departamento de Controle de 
Qualidade observou que as garrafas de refrigerantes que indicavam um conteúdo de aproximadamente 2 
litros variavam em seu conteúdo, com um desvio padrão de 0,20 litros. Suponha que o conteúdo das garrafas 
seja normalmente distribuído. 
a) Qual a probabilidade de uma garrafa produzida conter menos de 1,80 litros de refrigerante? Resposta: 
0,1587 
b) Qual a probabilidade de que uma garrafa produzida contém entre 1,90 e 2,10 litros? Resposta: 0,3829 
 
44) Os ganhos mensais dos programadores de computador são normalmente distribuídos, com uma média de $ 
4.000. Se somente 1,7% dos programadores têm rendimentos mensais de menos de $ 2.834, qual é o valor 
do desvio padrão dos ganhos mensais dos programadores de computador? Resposta: 550 
 
45) Uma importante loja de departamentos verificou que seus clientes gastam uma média de R$ 500 por mês, 
com um desvio padrão de R$ 80. Suponha que as quantias gastas sejam normalmente distribuídas. 
a) Qual a probabilidade de que um cliente gaste mais de R$ 380 por mês? Resposta: 0,9332 
b) Qual a probabilidade de que um cliente gaste menos de R$ 340 por mês? Resposta: 0,0228 
c) Qual a probabilidade de que um cliente gaste entre R$ 644 e R$ 700 por mês? Resposta: 0,0297