Funções

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CÁLCULO I
	IMPORTANTE:
Este é um material complementar da disciplina de Fundamentos de Matemática Aplicada É importante ressaltar que o conteúdo por completo deverá ser estudado a partir do livro texto adotado na nossa disciplina (Cálculo vol. 1 e 2, James Stewart).
FUNÇÕES
 LINEARES, QUADRÁTICAS, POTÊNCIAS, RACIONAIS 
TRIGONOMÉTRICAS, EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS, ENFOCANDO TRANSLAÇÕES E REFLEXÕES
“Aquilo que eu escuto, eu esqueço.
Aquilo que vejo, eu lembro.
Aquilo que eu faço, eu aprendo.”
Confúcio
PROBLEMATIZAÇÃO:
Um móvel desloca-se a uma velocidade 
 (em m/s) variável em relação ao tempo 
, dada por: 
. Complete a tabela abaixo e responda:
	Tempo (em segundos)
	Velocidade (em m/s)
	0
	
	1
	
	2
	
	3
	
	4
	
	5
	
	6
	
Qual a velocidade inicial?
Qual a velocidade no tempo de 3s?
Quanto tempo é necessário para atingir a velocidade de 240m/s?
Observem na tabela os valores das velocidades. Existe algum padrão de comportamento?
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES
A forma como utilizamos o cálculo para resolver certos problemas é através de funções. Nesse curso vamos observar os principais tipos de funções e utilizá-las como modelos matemáticos de fenômenos do mundo real.
O que é uma função?
As funções surgem quando relacionamos uma quantidade com outra. Por exemplo:
A área de um círculo relacionada com a medida do raio do mesmo
A população mundial com relação ao tempo.
 Nos exemplos citados, acima, a área de um círculo e a população mundial, são chamadas de variáveis dependentes. A medida do raio e o tempo são chamadas de variáveis independentes.
O domínio de uma função é o conjunto de possíveis valores da variável independente e a imagem é o conjunto correspondente de valores da variável dependente.
	DEFINIÇÃO:
 Uma função f é uma lei a qual para cada elemento x pertencente ao domínio () corresponde exatamente um elemento chamado f(x) da imagem (Im(f)).
 
- Os valores de x , que anulam a função f, são chamados de raízes ou zeros da função.
O que é um gráfico?
O gráfico é um conjunto de pontos onde relacionamos para cada valor do domínio a sua imagem, ou seja,
 SHAPE \* MERGEFORMAT ���
Para que uma curva seja o gráfico de uma função um valor do domínio só pode ter uma imagem. 
TIPOS DE FUNÇÕES
FUNÇÃO LINEAR
 Uma função linear é uma função da forma onde 
 é chamado de coeficiente angular e indica a inclinação, ou a taxa de variação de y em relação a x. 
 O valor de 
 é chamado de coeficiente linear e indica onde o eixo y é interceptado, ou seja, quando x é zero. O gráfico da função linear é uma reta.
	
Para compreendermos melhor, vamos a um exemplo prático.
Um móvel desloca-se a uma velocidade constante, quando é obrigado a reduzir sua velocidade, o que faz com que a função que representa a sua velocidade em relação ao tempo seja dada por 
. Complete a tabela abaixo e responda:
	Tempo (em segundos)
	Velocidade (em m/s)
	0
	
	1
	
	2
	
	3
	
	4
	
	5
	
	6
	
Qual a velocidade inicial?
Qual a velocidade no tempo de 4s?
Quanto tempo irá demorar para o móvel parar?
Observem na tabela os valores das velocidades. Existe algum padrão de comportamento?
 Traçar os gráficos das seguintes funções:
	
	 
	
	
Qual a principal diferença entre os dois gráficos?
Conclusões: Numa função linear (
), podemos afirmar que:
Se o coeficiente angular 
 é positivo, então................................................................
Se o coeficiente angular 
 é negativo, então...............................................................
Exercícios: 
Esboce o gráfico das seguintes funções lineares:
 b) 
 c) 
							d) 
À medida que o ar seco move-se para cima, ele se expande e esfria. Se a temperatura do solo for de e a temperatura a uma altura de 1 km for de 10:
Expresse a temperatura 
(em.) como uma função da altura 
 (em km), supondo que o modelo linear seja apropriado. 
Faça o gráfico desta função. O que representa a inclinação?
Qual é a temperatura a 2,5 km de altura?
Inclinação da reta
A equação reduzida de uma reta é da forma 
 e sabemos que m é a inclinação da reta e representa a variação de y com relação à x. Por exemplo, a função 
 dólares representa o custo para produzir x unidades, a inclinação dois representa o custo necessário para produzir cada unidade adicional.
 	Se conhecermos dois pontos 
 e 
, podemos obter a inclinação da reta através de:
 
E com isso conseguimos encontrar a função através da fórmula: 
.
Exemplo: Dado o gráfico abaixo, determine a inclinação da reta e a lei que representa a função:
FUNÇÃO QUADRÁTICA
Uma função do tipo
, com 
, é chamada função quadrática. Os números a, b e c são chamados de coeficientes e x é a variável. Determinamos suas raízes através da fórmula: 
. 
A quantidade de raízes depende do sinal da expressão 
. Se for positiva, a função possui duas raízes reais. Se for nula possui apenas uma raiz real. Se for negativa não possui raízes reais. 
O seu vértice é determinado por: 
. Um exemplo de aplicação das funções quadráticas é na representação da trajetória de objetos em queda livre.
Vejamos alguns exemplos: 	1 - Esboce o gráfico das seguintes funções:
 (função mãe)
	
	
	-2
	
	-1
	
	0
	
	1
	
	2
	
 
	
	
	-2
	
	-1
	
	0
	
	1
	
	2
	
Sem utilizar tabela, esboce o gráfico da função 
.
Sem utilizar tabela, esboce o gráfico da função 
.
 
	
	
	-2
	
	-1
	
	0
	
	1
	
	2
	
Sem utilizar tabela, esboce o gráfico da função 
.
Sem utilizar tabela, esboce o gráfico da função 
.
 
	
	
	-2
	
	-1
	
	0
	
	1
	
	2
	
Sem utilizar tabela, esboce o gráfico da função 
.
Sem utilizar tabela, esboce o gráfico da função 
.
Sem utilizar tabela, esboce o gráfico da função 
.
CONCLUSÕES: 
Quando somamos um número a uma função estamos fazendo uma translação vertical, isto é, o gráfico desloca-se no sentido vertical uma quantidade de vezes equivalente ao número somado (ou subtraído).
Quando somamos ou subtraímos um número ao argumento da função, deslocamos o gráfico para a direita ou esquerda (horizontal) uma quantidade equivalente ao número somado ou subtraído, porém no sentido contrário à operação. Esta é uma translação horizontal.
Quando multiplicamos o gráfico por 
 estamos fazendo uma reflexão, em relação ao eixo 
.
Obs.: Estes são apenas alguns tipos de translações e reflexões. Listamos apenas aqueles que consideramos mais importantes. Porém, estas idéias não se aplicam apenas à função quadrática, mas sim a qualquer tipo de função!
FUNÇÕES POLINOMIAIS
Uma função 
 é denominada polinomial se:
onde 
 é um inteiro não negativo e os números 
 são constantes chamadas de coeficientes. O domínio de qualquer polinômio sempre é o conjunto de todos os números reais, ou seja, o intervalo 
. Determinamos o grau de um polinômio, como sendo o maior expoente cujo coeficiente é não nulo. Por exemplo:
 é um polinômio de grau 5.
Obs.: A função linear é uma função polinomial de grau 1 e a função quadrática é uma função polinomial de grau 2. Como conseqüência, temos que o domínio destas funções é o conjunto dos números reais.
Veja agora alguns exemplos de funções cúbicas, de grau quarto e de quinto grau.	
 
Funções de Potência 
Uma função da forma 
, onde k e a são constantes, é chamada de função potência. Podemos considerar três casos:
Primeiro caso: 
é um número inteiro positivo
Neste caso observemos o que acontece com as funções:A forma geral do gráfico de 
 depende de n ser par ou ímpar. Se 
 for par, o gráfico se assemelha a uma parábola, se for ímpar, é similar ao gráfico da função cúbica 
. 
Observe que à medida que a potência cresce, o gráfico torna-se mais achatado próximo de zero e mais inclinado para valores maiores que 1 e menores que -1.
Segundo caso: 
, onde 
é um inteiro positivo.
A função 
 é uma função raiz. 
Exemplos: 
	
	
	
	
	Domínio
	Domínio
Exercício: 
Usando as regras de translações e reflexões, esboce o gráfico das seguintes funções:
	b) 
		c) 
 d) 
 
Note que as regras acima funcionam para qualquer função raiz de índice par e que nas funções de índice ímpar não nos preocupamos com a análise do domínio, pois existem raízes de índice ímpar de números negativos.
Terceiro caso: 
A função 
, dada por 
 ou 
 é uma hipérbole cujos eixos coordenados são suas assíntotas.
Veja como se comporta seu gráfico:
	
	
	Domínio:
5- FUNÇÕES RACIONAIS
Uma função racional 
 é uma razão entre dois polinômios: 
, onde 
 e 
 são polinômios. O domínio consiste em todos os valores reais de
, tais que 
.
Exemplos:
a) 
 é uma função racional, cujo domínio é 
b) 
 é também uma função racional, cujo domínio é 
c) 
, 
 
Obs.: Note que 
. Podemos simplificar esta última expressão, uma vez que possui o fator
 em ambos os termos da fração?
6 - Função Valor Absoluto
É uma função definida por partes, sendo dada por:
Note que esta função é não negativa e representa o valor absoluto de um número real, ou seja, a distância deste número à origem.
Exemplos: 
, 
 e 
.
�
Gráfico
�
D(f) =
Im(f) =
�
Exercícios: Esboce os gráficos das funções: 
a) 
	b) 
	
	
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Inicialmente relembraremos um pouco de trigonometria básica.
No primeiro círculo trigonométrico, enfocaremos os quadrantes, o raio do círculo, os ângulos e a transformação de graus em radianos, enfatizando esta importância, uma vez que ângulo não é um número real.
	No segundo analisaremos seno, cosseno e tangente numa visão geométrica. Também faremos associação dos eixos verticais e horizontais com estas funções, bem como análise de sinais nos diferentes quadrantes.
Construção dos gráficos das funções (mães) seno e cosseno.
O gráfico da função 
 é obtido plotando-se os pontos para 
 e então usando a periodicidade da função para completar o gráfico. Idem para a função 
.
Vamos construir o gráfico destas duas funções.	
	
	
	
 SHAPE \* MERGEFORMAT ���
	
 SHAPE \* MERGEFORMAT ���
	Domínio:
	Domínio:
	Imagem:
	Imagem:
Usando as idéias de translação e reflexão aprendidas nas últimas aulas, esboce o gráfico das seguintes funções. Analise sempre o domínio, a imagem destas funções.
a) 
 b) 
	
c) 
 d) 
 	e)
 	 f) 
 
Pelo visto, acima, concluímos que a fórmula para o período das funções seno e cosseno é igual a ..............
Obs. A função tangente relaciona-se com as funções seno e cosseno pela fórmula
 
Exercício:
 Faça uma pesquisa sobre as funções trigonométricas 
, 
 e 
, bem como das funções inversas das funções trigonométricas (apêndice do livro texto). Enfocando seus gráficos e suas relações com as funções seno e cosseno, 
8 - FUNÇÃO EXPONENCIAL 
São as funções da forma 
, onde a base 
é uma constante positiva. 
Vamos à construção de alguns gráficos, para depois generalizarmos.
	
	
	x
y
-2
-1
0
1
2
	x
y
-2
-1
0
1
2
	Domínio:
	Domínio:
	Imagem:
	Imagem:
CONCLUSÕES SOBRE A FUNÇÃO EXPONENCIAL:
A função será crescente quando:
A função será decrescente quando:
O gráfico da função irá interceptar o eixo 
 no ponto: 
Onde a função possui um comportamento assintótico?
IMPORTANTE: Uma função extremamente importante e que possui incontáveis aplicações em vários ramos da modelagem matemática, das engenharias, da computação, da física, da química é a função cuja base é dada pelo número de Euler. Este número é representado pela letra 
, é um número irracional e seu valor aproximado é dado por 
 Uma das maneiras de se obter este número é usando a fórmula 
.
Exercício: 
Esboce o gráfico das seguintes funções, usando as idéias de translação e reflexão vistas anteriormente. Analise sempre o domínio e a imagem.
 b) 
 
 c)
 d) 
 
Função Logarítmica
Chamamos de função logarítmica de base 
 função da forma 
, com 
.
OBS: A função logarítmica é a função inversa da função exponencial e é tal que: 
Vamos à construção de alguns gráficos, para depois generalizarmos.
	
	
	x
y
0
1
2
3
4
	x
y
0
1
2
3
4
	Domínio:
	Domínio:
	Imagem:
	Imagem:
CONCLUSÕES SOBRE A FUNÇÃO LOGARÍTMICA: 
A função será crescente quando:
A função será decrescente quando:
O gráfico da função irá interceptar o eixo 
 no ponto: 
Onde a função possui um comportamento assintótico?
Exercícios:
Esboce o gráfico das seguintes funções, usando as idéias de translação e reflexão. Analise sempre domínio e a imagem.
a)
 b) 
 
 
 c)
 d) 
Abaixo, vemos alguns exemplos de funções logarítmicas em várias bases. Observe que este tipo de função cresce lentamente quando 
.
Propriedades dos logaritmos:
Estas propriedades também são válidas para o logaritmo de base e, cujo símbolo é Este logaritmo é chamado de logaritmo natural.
.
Mudança de base
Para mudarmos o logaritmo de base a para base b, procedemos da seguinte forma:
Exercícios;
Esboce o gráfico das seguintes funções, usando as idéias de translação e reflexão. Analise o domínio e a imagem.
 b) 
 
 
 
 c) d) 
	
 APÊNDICE: APLICAÇÕES
Aplicação da Função trigonométrica
A figura abaixo mostra vários números de horas de luz solar como uma função da época em várias latitudes a partir do dia 1º se março. Dado que a Filadélfia está localizada a aproximadamente 40º N latitude (representada na curva em verde), encontre uma função que modele a duração daluz solar durante os dias na Filadélfia.
Observe que cada curva assemelha-se a função seno deslocada e esticada. Como o gráfico refere-se a luz solar, devemos observar qual o dia de maior número e menor número de horas, isso ocorre nos solstícios: 21 de junho (14,8 horas) e 21 de dezembro (9,2 horas). Assim, a curva deve ser esticada verticalmente em 
 (a amplitude). Devemos determinar agora, o quanto a curva seno é esticada horizontalmente, se a medida do tempo t for em dias: 	
Como temos cerca de 365 dias em um ano, o período de nosso modelo deve ser de 365 dias. Assim o fator de esticamento horizontal é 
. 
Note que o gráfico começa no 80º dia do ano então devemos deslocar a curva 80 unidades para a direita. Também no dia 1º de março o número de horas de luz solar foi 12 horas, devemos deslocar 12 unidades para cima. Assim sendo, modelamos o comprimento dos dias na Filadélfia em função dos dias por 
. Assim, conseguimos saber uma previsão do número de horas com a luz do sol em qualquer dia.
Aplicação da Função exponencial
A vida média do estrôncio-90 é de 25 anos. Isso significa que a metade de qualquer quantidade irá se desintegrar em 25 anos.
a) Se uma amostra de estrôncio-90 tiver uma massa de 24 mg, encontre uma expressão para a massa m(t) que sobrará após t anos.
b) Encontre a massa remanescente após 40 anos.
Solução:
a) A massa inicial de 24mg é dividida ao meio a cada período de 25 anos, assim
Desse padrão tiramos que a massa remanescente após t anos é
b) A massa remanescente após 40 anos é 
dominio
Variaçãoão 
x
y
� PAGE \* MERGEFORMAT �18�
_1247566615.unknown
_1247566648.unknown
_1247566665.unknown
_1247566673.unknown
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