Aula 08 - Projeto de Filtros FIR

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UFRN – DCA 
Processamento Digital de Sinais 
Aula 08 
Projeto de Filtros FIR 
Prof. Felipe Silveira 
Sumário 
•  Filtros Digitais 
•  Técnicas de Projeto 
•  Filtros FIR 
•  Projeto de Filtros FIR: Método da Janela 
•  Funções Janela 
•  Efeito Espectral das Janelas 
•  Projeto de um FPB 
•  Projeto de Filtro FIR por Janela de Kaiser 
•  Projeto de Filtro FIR por Amostragem em 
Freqüência 
Filtros Digitais 
•  O filtros estudados aqui são SLITs que possuem a 
propriedade de modificar freqüências específicas 
de um sinal 
•  Quanto ao seu comportamento no domínio da 
freqüência, os filtros podem ser classificados como: 
▫  Passa-baixa, passa-alta, passa-faixa, rejeita-faixa 
Filtros Digitais 
•  Os Filtros Digitais podem ser classificados ainda 
como: 
▫  Filtros Recursivos (ou de Resposta ao Impulso Infinita) 
  Função de transferência na forma racional polinomial 
▫  Filtros Não-Recursivos (ou de Resposta ao Impulso Finita) 
  Função de transferência na forma polinomial 
€ 
H(z) = B(z) = bkz−k
k=0
M
∑
€ 
H(z) = B(z)A(z) =
bkz−k
k=0
M
∑
1+ akz−k
k=1
N
∑
Técnicas de Projeto 
•  As principais técnicas de projeto de filtros digitais 
FIR e IIR estão listadas abaixo: 
▫  Filtros FIR 
  Método das funções-janela 
  Método por amostragem na freqüência 
▫  Filtros IIR 
  Método da transformação bilinear 
  Método da invariância ao impulso 
Técnicas de Projeto 
•  Em geral, o projeto de filtros digitais envolve cinco 
passos: 
▫  Especificação 
▫  Cálculo dos coeficientes 
▫  Realização 
▫  Análise dos efeitos de quantização 
▫  Implementação 
Especificação 
•  Filtro passa-baixa: 
Filtros FIR 
•  Os filtros FIR são caracterizados pela seguinte 
função de transferência: 
•  Os filtros FIR têm a vantagem de serem sempre 
estáveis e de poder ter fase linear. € 
H(z) = h[n]z−k
k=0
M
∑
Projeto de Filtros FIR: Método da Janela 
•  Nessa técnica, deseja-se determinar os coeficientes 
do filtro, h[n], tal que: 
▫  A resposta H(ejω) forneça uma boa aproximação para 
uma resposta em frequência desejada Hd(ejω). 
▫  Uma medida da qualidade dessa aproximação pode ser o 
Erro Médio Quadrático entre as duas respostas. 
€ 
E = 12π |Hd (e
jω ) −H(e jω ) |2 dω
−π
π
∫
•  Pelo Teorema de Parseval: 
•  Os coeficientes são obtidos pela minimização da 
energia do erro através do uso de uma janela 
retangular, definida por: 
 Tal que: 
Projeto de Filtros FIR: Método da Janela 
€ 
w[n] =
1, 0 ≤ n ≤ M
0, c. c.
⎧ 
⎨ 
⎩ 
€ 
E = 12π |Hd (e
jω ) −H(e jω ) |2 dω
−π
π
∫ = | hd [n] − h[n] |2
n=−∞
∞
∑
€ 
h[n] = w[n]hd [n]
Funções-Janela 
•  Existem vários tipos de janela diferentes, sendo 
as mais comuns: 
▫  Retangular, triangular, Hamming, Hanning e 
Blackman 
Funções-Janela 
Efeito Espectral das Janelas 
•  Dois importantes parâmetros de projeto são o 
comprimento e o formato da janela w[n]. 
•  Para compreender como esses parâmetros 
influenciam o projeto observe que 
•  Logo, no domínio da frequência: 
Efeito Espectral das Janelas 
•  Os gráficos abaixo exibem a operação de 
convolução entre Hd(ω) e W(ω). 
Efeito Espectral das Janelas 
•  Analisando os gráficos percebemos que: 
▫  A largura do lóbulo principal de W(ω) afeta a largura da 
faixa de transição de H(ω). 
▫  Os lóbulos laterais de W(ω) provocam ondulações na 
banda de passagem e na banda de corte do filtro H(ω). 
▫  A banda de corte do filtro H(ω) é diferente de zero 
devido aos lóbulos laterais de W(ω). 
Resposta em Freqüência de 
Funções-Janela 
Algoritmo do Método da Função-Janela 
•  O algoritmo segue os seguintes passos: 
▫  Passo 1: Calcular a resposta ao impulso desejada, a 
partir da DTFT inversa da resposta em freqüência 
desejada; 
▫  Passo 2: Escolher um tipo janela e o seu comprimento; 
▫  Passo 3: Aplicar a janela selecionada: 
▫  Passo 4: Se necessário, realizar um deslocamento no 
tempo para garantir a causalidade do sistema. 
Projeto de um Filtro Passa-Baixa 
•  Projetar um filtro passa-baixa com as seguintes 
especificações: 
Projeto de um Filtro Passa-Baixa 
•  Considerações sobre Magnitude e Fase: 
▫  A magnitude é constante (= K) na banda de passagem; 
▫  A fase é linear 
  A fase linear é causada pelo atraso das amostras na resposta ao 
impulso do filtro. 
  Em um primeiro momento iremos desconsiderar esse atraso, ou 
seja, . 
  O atraso será incluído no estágio final do projeto. 
Projeto de um Filtro Passa-Baixa 
•  A resposta ao impulso do filtro pode ser obtida a 
partir da TDFT inversa: 
•  Considerando , ao invés de 
temos: 
€ 
Hd (e jω ) = K
€ 
Hd (e jω ) = Ke− jlω
€ 
hLPd [n] =
1
2π Hd (e
jω )e jnωdω
−π
π
∫
€ 
=
K
nπ sin(nωC ), n = 0,±1,±2,...
€ 
hLPd [n] =
1
2π Ke
jnωdω
−ω c
ω c∫
Exemplo: Filtro FIR Passa-Baixa 
•  Considere a seguinte especificação de projeto: 
▫  Filtro passa-baixa ideal com ganho K = 1 e freqüência de 
corte 
▫  Janela Retangular com N = 21 amostras, dada por: 
▫  Resultado do Projeto: Filtro não-causal dado por: 
€ 
hLP [n] = hLPd [n]wR[n] =
1
nπ sin
nπ
4
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ , n = 0,±1,±2,...,±10.€ 
wR[n] =
1, se −10 ≤ n ≤10
0, c. c.
⎡ 
⎣ 
⎢ 
⎢ 
Exemplo: Passa-Baixa Não-Causal 
Exemplo: Filtro FIR Passa-Baixa 
•  Para se obter um filtro causal passa-baixa, tem-se 
que atrasar a resposta ao impulso não-causal de 
M/2, em que M = N-1. 
•  Logo, para o exemplo com N = 21, tem-se: 
€ 
hLP [n] =
1
(n −10)π sin
(n −10)π
4
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ , n = 0, 1, 2,..., 20.
Exemplo: Passa-Baixa Causal 
Exemplo: Resposta em Freqüência 
•  A partir da Transformada de Fourier Discreta no 
Tempo, temos: 
€ 
HLP (e jω ) = hLP [n]e− jnω
n=0
20
∑
 
€ 
= h[0]+ h[1]e− jω + h[2]e− j2ω +…+ h[10]e− j10ω +…+ h[20]e− j20ω
 
€ 
= e− j10ω h[0]e j10ω + h[1]e j 9ω +…+ h[10]+…+ h[19]e− j 9ω + h[20]e− j10ω[ ]
 
€ 
= e− j10ω 2h[0]cos(10ω) + 2h[1]cos(9ω ) +…+ 2h[9]cos(ω) + h[10][ ]
€ 
= ±G(ω )e− j10ω
Exemplo: Resposta em Freqüência 
•  Magnitude da Resposta em Freqüência do Filtro: 
Parâmetros de Funções Janelas 
•  Parâmetros de projeto por funções janela de
 ordem M: 
Projeto por Janela de Kaiser 
•  A técnica de projeto estudada anteriormente só 
permite controlar a faixa de transição e as 
ondulações através de uma escolha adequada da 
ordem M e do tipo de janela. 
•  O projeto por Janela de Kaiser, ao contrário, 
possibilita o projeto de filtros FIR que atendem a 
especificações prescritas na freqüência 
▫  Controle de ondulações 
▫  Largura da faixa de transição 
Projeto por Janela de Kaiser 
•  A janela de Kaiser é descrita pela função: 
•  Em que é a função de Bessel modificada de
 primeira classe de ordem zero, dada por: 
•  Os parâmetros M e são usados para controlar a
 faixa de transição e as ondulações. 
Projeto por Janela de Kaiser 
•  Janela de Kaiser: Domínio do Tempo (M=20) 
Projeto por Janela de Kaiser 
•  Janela de Kaiser: Domínio da Freqüência (M=20) 
•  Janela de Kaiser: Domínio da Freqüência (β = 6) 
Projeto por Janela de Kaiser 
Algoritmo de Projeto por Kaiser 
1.  A partir da resposta na freqüência ideal que o
 filtro deve aproximar, determine a resposta ao
 impulso desejada hd[n]. 
2.  Se o filtro é passa-baixa ou passa-alta deve-se
 fazer 
 Filtros passa-faixa e rejeita-faixa serão
 discutidos posteriormente. 
Algoritmo de Projeto por Kaiser 
3.  Para satisfazer as especificaçõesprescritas para
 as ondulações, deve-se usar 
4.  Calcule em dB a atenuação na faixa de rejeição,
 usando: 
5.  Calcule a faixa de transição por 
Algoritmo de Projeto por Kaiser 
6.  Calcule usando: 
7.  Determine a ordem M do filtro por: 
 Se usa-se uma janela retangular, ou
 seja: 
Algoritmo de Projeto por Kaiser 
8.  Com M e determinados, calcula-se a janela
 de Kaiser usando a equação definida
 anteriormente. 
9.  Calcula-se a resposta ao impulso do filtro FIR
 por: 
Algoritmo de Projeto por Kaiser 
•  Se o filtro é passa-faixa ou rejeita-faixa, deve-se
 realizar as seguintes modificações: 
 é negativa para filtros passa-faixa e positivo
 para filtros rejeita-faixa. 
•  Determine as freqüências centrais como segue: 
Projeto de Filtros FIR por Amostragem 
em Freqüência 
•  A resposta ao impulso de um filtro FIR pode 
ser determinada através dos seguintes passos: 
▫  Amostra-se a resposta em freqüência desejada 
em N pontos 
▫  Tal que 
▫  Calcula-se a DFT inversa de para se obter . 
Resumo da Aula 
•  Definição de filtros seletivos em freqüência; 
•  Classificação dos filtros digitais em FIR e IIR; 
•  Estudo do método da função-janela para o 
projeto de filtros FIR; 
•  Análise do efeito espectral das janelas sobre a 
resposta em freqüência dos filtros FIR; 
•  Projeto de um filtro FIR passa-baixa pelo método 
da função-janela. 
•  Projeto por Janela de kaiser 
•  Projeto de Filtro FIR por Amostragem em 
Freqüência 
Bibliografia 
•  Diniz, P. S. et al., Processamento Digital de Sinais: 
Projeto e Análise de Sistemas, ed. Bookman, 2004. 
•  Oppenheim, A. V., et al., Discrete-Time Signal 
Processing, ed. Prentice-Hall, 1998. 
•  Proakis, J., Manolakis, D., Digital Signal 
Processing, ed. Prentice-Hall, 1996.