EXERCÍCIOS DE ALGEBRA LINEAR

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EXERCÍCIOS DE ALGEBRA LINEAR.
Uma confecção vai fabricar 3 tipos de roupas utilizando 3 materiais diferentes. Considere a matriz A abaixo, onde cada elemento aij representa quantas unidades de material j serão empregados para fabricação de roupas do tipo i. 
 
a) Quantas unidades de material 3 serão empregados na confecção de uma roupa tipo 2?
b) Calcule o total de unidades do material 1 que será empregado para fabricar cinco roupas do tipo 1, quatro roupas do tipo 2 e duas roupas do tipo 3.
Solução: Uma matriz é um conjunto retangular de números, símbolos ou expressões, organizados em linhas e colunas. Cada um dos itens de uma matriz é chamado de elemento.
De acordo com o enunciado, temos a tabela:
a) O número de unidades de material j = 3 na confecção de uma roupa tipo i = 2 é o elemento a23 da matriz A, ou melhor, é o elemento da segunda linha com a terceira coluna a23 = 3 unidades.
b) O valor procurado é 5a11 + 4a21 + 2a31 = 5×5 + 4×0 + 2×4 = 25 + 0 + 8 = 33 unidades.
Miriam preparou três tipos distintos de receitas usando quatro ingredientes (A,B,C e D) em proporções variadas, conforme a tabela 1. Os preços unitários dos ingredientes constam da tabela 2.
Determine a matriz (tabela 3) que registra o preço total de cada Receita.
Solução: A tabela 1 é uma matriz tipo 3×4. 
A tabela 2 é uma matriz tipo 4×1. 
A tabela 3 é uma matriz resultante do produto entre a tabela 1 e a tabela 2. 
Observe que o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz.
A multiplicação de matrizes é esquematizada pela transposição das linhas da primeira matriz para a multiplicação em correspondência de cada elemento das colunas da segunda, seguida da soma dos resultados.
Assim, a resposta do problema (tabela 3) é uma matriz de 3 linhas e uma coluna (3×1). Dizemos que essa matriz é uma matriz coluna ou um vetor.
(PUC) Um batalhão do exército, resolveu codificar suas mensagens através da multiplicação de matrizes. Primeiramente, associa as letras do alfabeto aos números, segundo a correspondência abaixo considerada:
Desta forma, supondo que o batalhão, em questão, deseja enviar a mensagem "PAZ", pode-se tomar uma matriz 2x2, da forma:
, a qual, usando-se da tabela acima, será dado por:
.
Tomando-se a matriz-chave C para o código, isto é:
, transmite-se a mensagem "PAZ" através da multiplicação das matrizes M e C, ou seja:
.
Ou através da cadeia de números 31 47 50 75. Desta forma, utilizando-se a mesma matriz-chave C, a decodificação da mensagem 51 81 9 14 será compreendida pelo batalhão como a transmissão da palavra:
(A) LUTE
(B) FOGO
(C) AMOR
(D) VIDA
(E) FUGA
Solução:
 Esta é uma das inúmeras aplicações das matrizes: escrever mensagens em códigos, de modo que somente pessoas autorizadas possam decifrá-las (Criptografia básica). Como a matriz C codifica a mensagem, para decodificar temos que multiplicar por uma matriz D que desfaz o que matriz C faz, ou seja, temos que multiplicar pela matriz D inversa de C. 
Para construir a Matriz D vamos usar o fato de que D é a matriz inversa de C se , e somente se, C×D = D×C = I, onde I é matriz identidade. Depois resolvemos os dois sistemas de equações resultantes.
Observe que a matriz C codificou a mensagem multiplicando a matriz M pela direita, então, temos que decifrar a mensagem multiplicando por D=C-1 também pela direita, pois a propriedade comutativa no produto de matrizes não é válida. Decodificando a mensagem 51 81 9 14, encontramos:
Logo, a mensagem 51 81 9 14 será compreendida como 21 9 4 1 , correspondendo a palavra VIDA.
A alternativa (D) é a opção correta.