Aula 1 - Introdução

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
 Escola de Engenharia de Lorena – EEL 
ALCV
Introdução à 
Álgebra Linear
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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2012
Álgebra Linear
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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ROTEIRO
Introdução à Álgebra Linear
Motivação
Modelo Matemático
Modelos Lineares
Ajuste de Curvas
Estequiometria
Mix de Produção
Otimização
Conclusão
Ref: Shifrin, T & Adams, M.R, Álgebra Linear, LTC
 NÃO será difícil no final do curso !
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2012
Álgebra Linear
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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ROTEIRO
Introdução à Álgebra Linear
Motivação
Modelo Matemático
Modelos Lineares
Ajuste de Curvas
Estequiometria
Mix de Produção
Otimização
Conclusão
Ref: Shifrin, T & Adams, M.R, Álgebra Linear, LTC
 NÃO será difícil no final do curso !
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2012
Álgebra Linear
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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O que é Álgebra Linear ? 
Um dos aspectos mais atraentes da matemática é a INTERAÇÃO existente entre ideias provenientes de áreas “aparentemente” DISTINTAS sobre um dado assunto;
A ÁLGEBRA LINEAR é uma das áreas da matemática que fornece uma bela ilustração deste fato, uma vez que ela tanto é naturalmente ALGÉBRICA quanto GEOMÉTRICA;
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2012
Álgebra Linear
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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O que é Álgebra Linear ? 
A ÁLGEBRA LINEAR (AL) estabelece uma generalização dos conceitos de retas e planos, entre outros, em um contexto de DIMENSÕES mais altas (hiperplanos, por exemplo);
Nesta generalização, o conjunto de definições e teoremas matemáticos gerado, permite a resolução de problemas complexos em diferentes áreas da Engenharia. De fato, é correto dizer que a AL está na base da matemática moderna.
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Álgebra Linear
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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ROTEIRO
Introdução à Álgebra Linear
Motivação
Modelo Matemático
Modelos Lineares
Ajuste de Curvas
Estequiometria
Mix de Produção
Otimização
Conclusão
Ref: Shifrin, T & Adams, M.R, Álgebra Linear, LTC
 NÃO será difícil no final do curso !
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Álgebra Linear
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Modelo Matemático 
Um modelo matemático pode ser entendido como uma representação simplificada de uma realidade. Segundo FRANCHI (2007, pg181), “um modelo matemático pode ser explicado como uma representação abstrata de uma parte do mundo real através de estruturas e conceitos matemáticos”;
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Álgebra Linear
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Classificação 
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Álgebra Linear
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Classificação 
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2012
Álgebra Linear
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Classificação 
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Álgebra Linear
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
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Classificação 
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Álgebra Linear
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Exemplos de Modelos:
GRÁFICO
Controle por empena
OBJETIVO: Avaliar a capacidade de manobra de um míssil
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Exemplos de Modelos:
EMPÍRICO (Experimental)
OBJETIVO: Avaliação da calota (profundidade de penetração) formada com o impacto de um projétil metálico em um alvo metálico (qquer material metálico)
Ajuste de Curva
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Exemplos de Modelos:
EMPÍRICO (Experimental)
Função das propriedades FÍSICAS (massa específica, Módulo de Young) do projétil e alvo
Profundidade de penetração: h/d
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Exemplos de Modelos:
EMPÍRICO (Experimental)
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Exemplos de Modelos:
Cuidado !!!
Dependendo do objetivo da análise, este modelo pode não ser uma boa representação do REAL!
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ROTEIRO
Introdução à Álgebra Linear
Motivação
Modelo Matemático
Modelos Lineares
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Estequiometria
Mix de Produção
Otimização
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 NÃO será difícil no final do curso !
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Álgebra Linear
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Ajuste de Curvas
Determine a equação da RETA que passa pelos pontos A(1,1), B(2,5) e C(-2,-11).
Equação da reta:
Desde que os pontos A, B e C pertencem à reta:
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Ajuste de Curvas
Resolvendo o sistema:
A Álgebra Linear se preocupa em RESOLVER o sistema linear de equações algébricas que representa o seu problema (REAL) e PREDIZER características intrínsecas ao PROBLEMA REAL através da análise das matrizes geradas pelo modelo matemático. 
E para o caso em que se deva ajustar N pontos em uma reta ???
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Motivação
Modelo Matemático
Modelos Lineares
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Mix de Produção
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Conclusão
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 NÃO será difícil no final do curso !
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Estequiometria
Determinar os menores números inteiros a, b, c e d para os quais a equação química abaixo fique balanceada:
Aplicando o princípio de conservação da massa:
Sistema HOMOGÊNEO
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Estequiometria
Ou seja:
Portanto, a solução consistindo nos menores inteiros positivos surge quando d=3:
Sistema HOMOGÊNEO: Sempre POSSÍVEL
Imagine o caso de um sistema com N reações químicas !!!!
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Modelo Matemático
Modelos Lineares
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Estequiometria
Mix de Produção
Otimização
Conclusão
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Mix de Produção
Sistema de Inequações Lineares
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Mix de Produção
Equacionamento
Suprimento Total de Material [kg]
Disponibilidade de Mão de Obra [hr]
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Mix de Produção
Modelo Matemático
Este exemplo é extremamente interessante pois ilustra o uso de modelos lineares “n” dimensionais. Esta conclusão advém do fato de que este modelo poderia apresentar “n” variáveis decisão (Xi).
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Álgebra Linear
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Motivação
Modelo Matemático
Modelos Lineares
Ajuste de Curvas
Estequiometria
Mix de Produção
Otimização
Conclusão
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 NÃO será difícil no final do curso !
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Mix de Produção
Caracterização do Problema da Empresa
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Álgebra Linear
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Mix de Produção
 Caracterização do Problema da Empresa
Determinar o PROGRAMA DE PRODUÇÃO que aumente o LUCRO da EMPRESA.
1º Passo: Variáveis Decisão e Função Objetivo:
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Álgebra Linear
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Mix de Produção
 Modelo Matemático
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Álgebra Linear
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Mix de Produção
 Resolução do Problema de Otimização
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Álgebra Linear
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Mix de Produção
 Resolução do Problema de Otimização
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Álgebra Linear
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Mix de Produção
 Resolução do Problema de Otimização
2º Passo: Desenhar as retas “suportes”
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Álgebra Linear
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Mix de Produção
 Resolução do Problema de Otimização
3º Passo: Identificar a REGIÃO VIÁVEL
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Álgebra Linear
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Mix de Produção
 Resolução do Problema de Otimização
3º Passo: Identificar a REGIÃO VIÁVEL
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Álgebra Linear
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Mix de Produção
 Resolução do Problema de Otimização
4º Passo: Análise da FUNÇÃO OBJETIVO
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Álgebra Linear
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Mix de Produção
 Resolução do Problema de Otimização
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Visualização de Soluções Possíveis
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Visualização de Soluções Possíveis
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Visualização de Soluções Possíveis
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ROTEIRO
Introdução à Álgebra Linear
Motivação
Modelo Matemático
Modelos Lineares
Ajuste de Curvas
Estequiometria
Mix de Produção
Otimização
Conclusão
Ref: Shifrin, T & Adams, M.R, Álgebra Linear, LTC
 NÃO será difícil no final do curso !
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2012
Álgebra Linear
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Conclusão
A resolução de um problema REAL de engenharia envolve a necessidade da formulação de um MODELO (matemático, digital, físico, ... .) a partir do qual poderão ser estimados os diferentes comportamentos do problema REAL quando excitados por diferentes configurações de entrada;
A álgebra Linear oferece recursos que viabilizam a resolução de modelos matemáticos caracterizados por SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES.
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2012
Álgebra Linear
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Conclusão
Essencialmente, este curso pretende disponibilizar ao aluno intrigantes técnicas de análise de modelos lineares que podem ser aplicados à geometria (estudo de cônicas), mecânica (estudo de sistemas vibratórios), dinâmica do voo (mudança de coordenadas – polares, cilíndricas e esféricas), entre outras áreas da engenharia.
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2012
Álgebra Linear
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Exercícios
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Exercícios
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Exercícios
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