Calculo 1 - Lista de exercicios N3 (GABARITO)

Prévia do material em texto

Gabarito Lista 3 - Cálculo 1 – 2016.2 
 
1) a) Considere 
6)( xxf 
. 
5
66
00
9.6
9)9(
lim
)9()9(
lim)9´( 




 h
h
h
fhf
f
hh
 
 
b) Considere 
xxf cos)( 
. 
h
xhx
h
xfhxf
xf
hh
)cos()cos(
lim
)()(
lim)´(
00





 
0)0(
)cos(1
lim
1)cos(
lim)0´(
00






sen
h
h
h
h
f
hh
 
 
c) Considere 
2000)( xxf 
. 
ax
ax
ax
afxf
af
axax 






20002000
lim
)()(
lim)´(
 
1999
20002000
3
3.2000
3
3
lim)3´( 



 x
x
f
x
 
 
2) f é contínua, pois 
)1(1
2
3
lim
1
f
x
x



. 
















 

x
x
xx
x
xx
x
x
x
x
fxf
f
xxxx 1
1
)1(
1
lim
)1(
1
lim
1
1
1
lim
1
)1()(
lim)1´(
1111
 
2
1
)1(
1
lim
)1()1(
1
lim
11







  xxxxx
x
xx
 
2
1
)1(2
1
lim
1
2
1
lim
1
1
2
3
lim
1
)1()(
lim)1´(
1111














 

x
x
x
x
x
x
x
fxf
f
xxxx
 
Como 
)1´()1´(   ff
 e f é contínua em x=1, f é diferenciável no mesmo valor. 
3) f não é contínua em x=1 pois 
1)1(
2
1
2
lim
1


f
x
x
 
f não é diferenciável. 
 
4) Para que f seja diferenciável em x=1, f deve ser contínua em x=1 e 
)1´()1´(   ff
. 
1lim)(lim 2
11

 
xxf
xx
 
11)1(  baf
 
12)1´()1´(   baff
 
 
5) 
222 )(|)(| xxfxxxf 
 
0)0(0)0(00  ffx
 
Como 
0lim 2
0


x
x
 e 
0lim 2
0


x
x
 temos 
)0(0)(lim
0
fxf
x


 
f é contínua em zero. 
Provaremos que 
)0´()0´(   ff
. 
x
xf
x
fxf
f
xx
)(
lim
)0()(
lim)0´(
00  
 


=? 
Sabemos que 
22 )( xxfx 
, o que implica 
x
x
xf
x 
)(
. Passando o limite temos 
0
)(
lim0
)(
lim0lim
)(
limlim
00000

 x
xf
x
xf
x
x
xf
x
xxxxx
 
0
)(
lim
)0()(
lim)0´(
00



 

x
xf
x
fxf
f
xx
 cqd 
 
6) a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
7) a) Para que f seja contínua temos que 
abfbx
x


32)2()3(lim
2
. 
b) Para que f seja diferenciável é necessário que 
)2´()2´(   ff
. 
2lim
2
)2(
lim
2
2
lim
2
2
lim
2
)2()(
lim)2´(
22
2
2
2
22













 
 x
x
xx
x
xx
x
aaxx
x
fxf
f
xxxxx
 
b
x
xb
x
bbx
x
bbx
x
abx
x
abx
x
fxf
f
xxxxxx



















 

2
)2(
lim
2
2
lim
2
)32(3
lim
2
3
lim
2
3
lim
2
)2()(
lim)2´(
22
a de valor
2222
 
12  ab 
 
8) (a) 
2
1
)1)(1(
lim
1
1
lim
1
)1()(
lim)1´(
1
2
11










 

x
xx
x
x
x
fxf
f
xxx 
2
1
)1(2
lim
1
112
lim
1
)1()(
lim)1´(
111










 

x
x
x
x
x
fxf
f
xxx
 
Como 
)1()1( ´´   ff
, f é derivável em 1.
 
 
(b) 
1lim)(lim 2
11

 
xxf
xx
 
1)12(lim)(lim
11

 
xxf
xx 
Como )(lim)(lim 11 xfxf xx   
, f é contínua.
 
9) (a) 
 












 

)cos1(
lim
)cos1(
cos1
lim
cos1
cos1cos1
lim
cos1
lim
0
)0()(
lim)0´(
2
0
2
0000 xx
xsen
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
fxf
f
xxxxx
 
0
cos1
limlim
00



  x
senx
x
senx
xx 
1lim
0
)0()(
lim)0´(
00




 

x
x
x
fxf
f
xx
 
Como 
)0´()0´(   ff
, f não é derivável em 0. 
 
1
1
1
lim
1
)1()(
lim)1´(
11







 

x
x
x
fxf
f
xx
 
2
1
132
lim
1
)1()(
lim)1´(
11







 

x
x
x
fxf
f
xx
 
Como 
)1()1( ´´   ff
, f não é derivável em 1. 
Pontos 0 e 1.
 
 
(b) 









1 2
10 1
0 
)´(
xse
xse
xsesenx
xf 
 
10) (a) 
0lim)(lim
00

 
senxxf
xx 
33lim)(lim 2
11

 
xxf
xx
 
312lim)(lim 3
11

 
xxf
xx
 
Como os limites laterais são iguais, f é contínua. 
(b) 
1lim
0
)0()(
lim)0´(
00




 

x
senx
x
fxf
f
xx
 
0
3
lim
0
)0()(
lim)0´(
2
00




 

x
x
x
fxf
f
xx
 
)0´()0´(   ff
 
6
1
)1)(1(3
lim
1
33
lim
1
)1()(
lim)1´(
1
2
11










 

x
xx
x
x
x
fxf
f
xxx
 
6
1
)1)(1(2
lim
1
22
lim
1
312
lim
1
)1()(
lim)1´(
2
1
3
1
3
11












 

x
xxx
x
x
x
x
x
fxf
f
xxxx
 
)1()1( ´´   ff
 
É derivável em 0 e 1. 
 
11) 
352lim)(lim 2
11

 
aaxxxf
xx
 
bbxxf
xx

 
22lim)(lim
11
 
132  baab
 













 

1
)1()1)(1(2
lim
1
22
lim
1
)3(52
lim
1
)1()(
lim)1´(
1
2
1
2
11 x
xaxx
x
aaxx
x
aaxx
x
fxf
f
xxxx
 
aax
x


4)1(2lim
1
 

2
1
22
lim
1
32
lim
1
)3(2
lim
1
)1()(
lim)1´(
1
1
111













 



x
x
x
bax
x
abx
x
fxf
f
xxxx
 
7624  baa
 
 
12)  
3
1
)2)(1(
lim
1
2
lim
1
2
lim)(lim
1
2
1
23
11










  x
xxx
x
xxx
x
xxx
xg
xxxx
 
babaxxg
xx

  11
lim)(lim
 
3ba
 

















 
 2
23
1
23
1
23
11 )1(
332
lim
1
3
1
2
lim
1
)(
1
2
lim
1
)1()(
lim)1´(
x
xxxx
x
x
xxx
x
ba
x
xxx
x
gxg
g
xxxx
 
4
)1(
)3()1(
lim
)1(
35
lim
2
2
1
2
23
1






  x
xx
x
xxx
xx
 
a
x
aax
x
babax
x
gxg
g
xxx










 

1
lim
1
)(
lim
1
)1()(
lim)1´(
111
 
14  ba
 
 
13) 
  babaxxg
xx

 
4lim)(lim 2
22
 
4
2
)2)(2(
lim
2
4
lim)(lim
2
2
22







  x
xx
x
x
xg
xxx
 
44  ba
 
a
x
xxa
x
aax
x
babax
x
gxg
g
xxxx
4
2
)2)(2(
lim
2
4
lim
2
)4(
lim
2
)2()(
lim)2´(
2
2
2
2
22












 

 
1
2
42
lim
2
)4(2
lim
2
)4(
2
4
lim
2
)2()(
lim)2´(
2
4
2
2
22 ;















 

x
x
x
bax
x
ba
x
x
x
gxg
g
xxxx

 
4
1
14  aa