P1EqDif2016 1

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Universidade Federal Fluminense – UFF
Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica – IME
Departamento de Matema´tica Aplicada – GMA
Professor Pablo Guarino
1a¯ prova de Equac¸o˜es Diferenciais (2016-1) - 02/06/2016
Questa˜o Pontos Notas
1 2,5
2 1
3 3,5
4 3
Total 10
Nome:
Observac¸o˜es: A interpretac¸a˜o das questo˜es faz parte dos crite´rios de avaliac¸a˜o desta prova. Responda cada questa˜o
de maneira clara e organizada. Resultados apresentados sem justificativas do racioc´ınio na˜o sera˜o considerados.
Qualquer aluno pego consultando alguma fonte ou colega tera´, imediatamente, atribu´ıdo grau zero na prova. O
mesmo ocorrera´ com o aluno que facilitar a consulta do colega. Na˜o e´ permitido sair da sala durante a prova. Na˜o
e´ permitido o uso de calculadora. O celular deve estar desligado e guardado.
Questa˜o 1 (2,5 pontos)
Discuta a convergeˆncia das seguintes se´ries:
(a)
+∞∑
n=2
1
n lnn
(b)
+∞∑
n=1
1
n
sen
1
n
(c)
+∞∑
n=3
n− 3√
n3 + 5
(d)
+∞∑
n=0
2n
n!
Questa˜o 2 (1 ponto)
Dados a, b ∈ (0, 1) com a < b, considere a sequeˆncia {an}n∈N que comec¸a com a e tal que cada
termo e´ obtido multiplicando o anterior alternadamente por b ou por a, isto e´:
{an}n∈N =
{
a, ab, a2b, a2b2, a3b2, a3b3, ...
}
.
Discuta a convergeˆncia da se´rie
∑
n∈N
an .
Questa˜o 3 (3,5 pontos)
Considere a func¸a˜o anal´ıtica f : (−1, 1)→ R dada por f(x) = ln
(
1 + x
1− x
)
.
(a) Mostre que f e´ uma func¸a˜o ı´mpar, ou seja, f(−x) = −f(x) para todo x ∈ (−1, 1).
(b) Determine a se´rie de Taylor de f ao redor da origem.
(c) Determine o domı´nio da se´rie obtida.
(d) Usando os itens anteriores, e sem calcular nenhuma derivada, determine lim
x→0
{
f(x)− 2x
x3
}
.
(e) Determine f (2016)(0) , onde f (n)(x) denota a n-e´sima derivada da func¸a˜o f no ponto x.
Universidade Federal Fluminense – UFF
Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica – IME
Departamento de Matema´tica Aplicada – GMA
Professor Pablo Guarino
Questa˜o 4 (3 pontos)
Considere a equac¸a˜o diferencial:
(x2 + 1)y′′(x) + x y′(x) = y(x) (1)
(a) Mostre que todo nu´mero real e´ um ponto ordina´rio da equac¸a˜o (1).
(b) Determine a soluc¸a˜o geral de (1), com condic¸o˜es iniciais y(0) = a0 e y
′(0) = a1.
(c) Suponha agora que a0 = 1 e a1 = 0. Usando os itens anteriores, e sem calcular nenhuma
derivada, determine:
lim
x→0
{
y(x)− 1− x2/2
x4
}
.
(d) Existe alguma soluc¸a˜o de (1) cujo domı´nio seja R?
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