Matemática: Conjuntos e Funções

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PROGRAMA DA DISCIPLINA 
1. Conjuntos: Conceitos não definidos, conjunto vazio, subconjunto, conjunto das 
partes, igualdade de conjuntos, operações entre conjuntos, propriedades, 
sequências e famílias de conjuntos, uniões e intersecções generalizadas, 
conjuntos numéricos. 
2. Indução Matemática. 
3. Funções: Conceito, domínio, contradomínio, Imagem, imagem direta, imagem 
inversa, gráfico de função, representação gráfica, função par, função ímpar, 
função crescente, decrescente, constante, identidade, composição de funções, 
função injetora, sobrejetora, bijetora, função inversa. 
4. Função do 1º grau: Conceito, gráfico, Imagem, coeficientes, raiz, sinais. 
5. Função do 2º grau: Conceito, gráfico, parábola, concavidade, vértice, máximos 
e mínimos, eixo de simetria, raízes, Imagem, sinais, inequações do 2º grau. 
6. Função modular: Conceito, gráfico, equações modulares. 
7. Complementos: Inversa à esquerda, inversa à direita, função contínua, funções 
polinomiais de grau superior a 2, funções racionais, aprofundamentos sobre 
imagem direta e inversa, conjuntos enumeráveis, não enumeráveis, supremo, 
ínfimo. 
 
SIMBOLOGIA LÓGICA 
 
Símbolo lógico Significado 
= Igual a 
 Diferente de 
 Infinito 
 Aproximadamente 
 Menor que 
 Maior que 
 Aproximadamente igual 
 Idêntico a 
 Para todos 
 Complemento 
 União 
 Intersecção 
 Conjunto vazio 
 Existe 
 Não existe 
 Pertence a 
 Menor ou igual 
 Maior ou igual 
2 
 
 Está contido 
 Contém 
 Implica em 
 , se e somente se, 
 Não pertence 
^ Conectivo “e” 
v Conectivo “ou” 
V Verdadeiro 
F Falso 
 Se então 
 Existe e é único 
/ Tal que 
 
CONJUNTOS 
 
Conceitos aceitos sem definição: conjunto, elemento, pertinência entre elemento e 
conjunto. 
Conjunto = coleção, agrupamento, classe sistema. 
Elemento = cada membro que compõe o conjunto. 
Representações: conjuntos = letras maiúsculas; elementos = letras minúsculas. 
Seja um conjunto A, se x é um elemento de A, representamos: , se y não é um 
elemento de A, representamos: . 
 
Descrição de um Conjunto 
Podemos descrever um conjunto de duas maneiras diferentes: enumerando seus elementos 
ou citando uma propriedade comum de seus elementos. 
Para citar os elementos, estes são colocados entre chaves e separados por vírgulas. Para 
descrever usando uma propriedade usamos o modelo: 
 
 
Podemos representar conjuntos, também usando um círculo fechado com todos os 
elementos do conjunto dentro desse. Essa representação chama-se Diagrama de Euler-Venn. 
Os conjuntos podem ser finitos ou infinitos. 
Conjunto unitário: todo conjunto que possui apenas um elemento. 
Conjunto vazio ( ): o conjunto que não tem elementos. 
Conjunto universo (U): conjunto que possui todos os elementos referentes a determinado 
assunto. 
 
 { } 
 
3 
 
Conjuntos Iguais 
Os conjuntos A e B são iguais quando todos os elementos de A pertencem a B 
também e todos os elementos de B pertencem a A também. 
 
Subconjuntos 
O conjunto A é subconjunto do conjunto B se, e somente se, todo elemento de A pertence a 
B também. Usa-se o símbolo como símbolo de inclusão. 
 
 
Observação: Para conjuntos iguais, temos: ( ) 
 
Propriedades da Inclusão 
Sendo A, B e C conjuntos, valem as propriedades: 
1) 
2) (propriedade reflexiva) 
3) ( ) (propriedade antissimétrica) 
4) ( ) (propriedade transitiva) 
 
Conjunto das Partes 
O conjunto das partes de um conjunto A é o conjunto de todos os subconjuntos desse 
conjunto A. Indica-se por ( ). 
 
 
 
Operações com conjuntos 
Dados dois conjuntos A e B, podemos efetuar as seguintes operações: 
Reunião de conjuntos ( ): 
O conjunto é formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto 
B. 
 
 
Propriedades da União: 
Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as propriedades: 
1) (idempotente) 
2) (elemento neutro) 
3) (comutativa) 
4) ( ) ( ) (associativa) 
 
Intersecção de conjuntos ( ) 
O conjunto é formado por todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao 
conjunto B. 
 ( ) ( ) 
 ( )( ) 
 
 ( ) ( ) 
 
 { } 
 
4 
 
 
 
Propriedades da intersecção: 
Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades, que inter-relacionam 
a reunião e a intersecção de conjuntos: 
1) ( ) 
2) ( ) 
3) ( ) ( ) ( ) (distributiva da reunião em relação à intersecção) 
4) ( ) ( ) ( ) (distributiva da intersecção em relação à reunião) 
 
Diferença de conjuntos 
 Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B o conjunto formado 
pelos elementos de A que não pertencem a B. 
 
 
 
Complementar de B em A 
Dados dois conjuntos A e B, tais que , chama-se complementar de B em relação a A o 
conjunto , isto é, o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B. É 
representado pelo símbolo 
 ou ̅. 
Notemos que 
 é definido apenas se e, se essa condição estiver válida, temos: 
 
 . 
 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
1. Conjunto dos números naturais ( ): 
Chama-se conjunto dos números naturais (representado pelo símbolo ), o conjunto 
formado pelos números: 0, 1, 2, 3,... 
 
 
Neste conjunto são definidas as operações fundamentais: adição e multiplicação, que 
apresentam as seguintes propriedades: 
[A1] Associativa da adição: ( ) ( ), para todos . 
[A2] Comutativa da adição: , para todos . 
[A3] Elemento neutro da adição: , para todo . 
[M1] Associativa da multiplicação: ( ) ( ), para todos . 
[M2] Comutativa da multiplicação: , para todos . 
[M3] Elemento neutro da multiplicação: , para todo . 
[D] Distributiva da multiplicação em relação à adição: ( ) , para todo 
 . 
 { } 
 
 { } 
 
 { } 
 
5 
 
Observação: No conjunto dos Números Naturais não é definido o conceito de simétrico de 
um número. 
 
2. Conjunto dos Números Inteiros ( ): 
Chama-se conjunto dos números inteiros, com o símbolo , o seguinte conjunto: 
 
 
No conjunto distinguimos três subconjuntos notáveis: 
1) Conjunto dos números inteiros não negativos: { } 
2) Conjunto dos números inteiros não positivos: { } 
3) Conjunto dos números inteiros não nulos: { } 
No conjunto dos Números Inteiros são definidas as operações de adição e multiplicação com 
as propriedades: [A1], [A2], [A3], [M1], [M2], [M3] e [D]. 
Além dessas propriedades, é definida, também, a propriedade: 
[A4] Simétrico ou oposto para a adição: Para todo , existe tal que ( ) 
 . 
Devido à propriedade [A4] podemos definir em a operação de subtração estabelecendo 
que ( ), para todo . 
Os elementos do conjunto podem ser representados sobre uma reta orientada da seguinte 
forma: 
 
3. Conjunto dos Números Racionais ( ): 
Chama-se conjunto dos números racionais, com o símbolo , p conjunto dos pares 
ordenados (ou frações), 
 
 
 em que e , para os quais adotam-se as seguintes 
definições: 
1) Igualdade: 
 
 
 
 
 
 ; 
2) Adição: 
 
 
 
 
 
 
 
 
; 
3) Multiplicação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
No conjunto dos Números Racionais pode-se destacar os subconjuntos notáveis: 
1) : conjunto dos números racionais não negativos; 
2) : conjuntodos números racionais não positivos; 
3) : conjunto dos números racionais não nulos. 
 
Operações em : 
Pode-se verificar que o conjunto dos números racionais com as operações de adição e 
multiplicação apresenta as seguintes propriedades: [A1], [A2], [A3], [A4], [M1], [M2], [M3] e 
[D]. Além dessas propriedade, este conjunto apresenta ainda a propriedade: 
 { } 
 
6 
 
[M4] Simétrico ou inverso para a Multiplicação: 
Para todos 
 
 
 , e 
 
 
 , existe 
 
 
 tal que 
 
 
 
 
 
 . 
Devido à propriedade [M4] podemos definir em a operação de divisão, estabelecendo 
que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , para 
 
 
 e 
 
 
 quaisquer não nulos. 
 
Representação Decimal 
Podemos representar os números racionais na forma decimal. Para que isso aconteça com 
um número racional 
 
 
 basta dividir por . 
Podemos ter dois tipos de resultado com esta divisão: 
1) O número decimal tem um número finito de casas decimais e é chamado de número 
decimal exato; 
2) O número decimal tem infinitas casas decimais e é denominado dízima periódica 
(simples ou composta). 
Os números decimais podem ser convertidos em números racionais na forma 
 
 
. 
 
4. Conjunto dos Números Irracionais ( ): 
Existem números decimais com infinitas casas decimais e que não são compostos por 
dízimas periódicas. Esses números são denominados Números Irracionais e são 
representados pelo símbolo . 
 
5. Conjunto dos Números Reais ( ) 
O conjunto dos números reais ( ) é conjunto composto por todos os números decimais, os 
decimais exatos, as dízimas periódicas e os números decimais com infinitas casas decimais 
que não são dízimas periódicas. 
Desta forma, podemos concluir que e que . Ou ainda . 
Outros subconjuntos de que são muito usados são: 
1) conjunto dos números reais não negativos; 
2) conjunto dos números reais não positivos; 
3) conjunto dos números reais não nulos. 
As operações de adição e multiplicação em gozam das mesmas propriedades vistas para o 
conjunto . Em é também definida a operação de subtração e em é definida a divisão. 
Já vimos que os números inteiros podem ser representados por pontos em uma reta, nesta 
reta podemos, também, representar os números racionais que não são inteiros, porém esses 
dois conjuntos não preenchem totalmente a reta. Ao acrescentarmos os números 
irracionais, a reta fica totalmente preenchida (sem buracos). 
Essa reta totalmente preenchida por pontos é conhecida como reta real e nela podemos 
estabelecer uma relação de ordem entre dois dos seus elementos, sendo que o número 
localizado no lado esquerdo é sempre menor que o localizado no lado direito. 
 
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6. Conjunto dos Números Complexos ( ) 
Este conjunto abrange os números reais e também os chamados números imaginários que 
possibilitam o cálculo de raízes de índice par de números negativos. Este conjunto será 
abordado em disciplina específica no próximo semestre. 
 
INTERVALOS 
Sejam os números e , com , definimos: 
a) Intervalo aberto de extremos e é o conjunto: { } 
b) Intervalo fechado de extremos e é o conjunto: { } 
c) Intervalo fechado à esquerda (ou aberto à direita) de extremos e é o conjunto: 
 { } 
d) Intervalo fechado à direita (ou aberto à esquerda) de extremos e é o conjunto: 
 { } 
Os números reais e são denominados, respectivamente, extremo inferior e 
extremo superior do intervalo. 
Também consideramos intervalos lineares os “intervalos infinitos” assim definidos: 
a) { } 
b) { } 
c) { } 
d) { } 
 
Representação Gráfica 
Os intervalos podem ser representados sobre a reta real da seguinte forma: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
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PRINCÍPIO DA INDUÇÃO FINITA 
 
Muitas vezes temos que provar que uma relação, envolvendo números naturais, é 
válida. Para fazer essas provas, podemos usar o Princípio da Indução Finita (P.I.F.). 
O enunciado do P.I.F. é o seguinte: 
Uma proposição ( ), aplicável aos números naturais n, é verdadeira para todo 
 , , quando: 
1) ( ) é verdadeira, isto é, a propriedade é válida para , e 
2) Se , e ( ) é verdadeira, então ( ) também é verdadeira. 
Provemos, por exemplo, que: ( ) . 
1) Verifiquemos que ( ) é verdadeira: 
 
2) Admitamos que ( ), com , seja verdadeira: ( ) 
(hipótese de indução) e provemos que decorre a validade de ( ), isto é: 
 ( ) ( ) 
Temos: ( ) ( ) ( ) 
 
RELAÇÕES 
Par Ordenado 
Conjuntos com dois elementos são denominados pares. Quando esses elementos obedecem 
uma ordem, ele é chamado de par ordenado. Um par com os elementos 1 e 2 pode ser 
representado como { } ou { } que são conjuntos idênticos. Se tivéssemos um par 
ordenado, teríamos ( ) que é diferente do par ordenado ( ). 
Admitiremos a noção de par ordenado como sendo um conceito primitivo. Representação 
Gráfica 
Plano Cartesiano 
 
Na figura, temos a representação do ponto P no plano cartesiano. Nessas condições 
definimos: 
a) Abscissa de P é o número real representado por ; 
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b) Ordenada de P é o número real , representado por ; 
c) Coordenadas de P são os números reais e , geralmente indicados na forma de 
um par ordenado ( ) em que é o primeiro termo; 
d) Eixo das abscissas é o eixo (ou ); 
e) Eixo das ordenadas é o eixo (ou ); 
f) Sistema de eixos cartesiano ortogonal (ou ortonormal ou retangular) é o sistema xOy; 
g) Origem do sistema é o ponto ; 
h) Plano cartesiano é o plano . 
Teorema: Entre o conjunto dos pontos do plano cartesiano e o conjunto dos pares 
ordenados ( ) de números reais existe uma correspondência biunívoca. 
 
Produto Cartesiano 
Sejam e dois conjuntos não vazios. Denominamos produto cartesiano de com o 
conjunto cujos elementos são todos pares ordenados ( ), em que o primeiro 
elemento pertence a e o segundo pertence a . 
 
 
 
O símbolo lê-se “A cartesiano B” ou “produto cartesiano de A por B”. 
Se ou for o conjunto vazio, definiremos o produto cartesiano de por como sendo o 
conjunto vazio. 
 
 
Observações: 
1º) Se , então , isto é, o produto cartesiano de dois conjuntoos não 
goza da propriedade comutativa. 
2º) Se e são conjuntos finitos com e elementos respectivamente, então é um 
conjunto finito com elementos. 
3º) Se ou for infinito e nenhum deles for vazio, então é um conjunto infinito. 
 
Relação Binária 
Dados dois conjuntos e , chama-se relação binária de A em B todo subconjunto de 
 . 
 
 
Se, eventualmente, os conjuntos e forem iguais, todo subconjunto de é chamado 
relação binária em A. 
 
 
Utilizaremos as seguintes nomenclaturas já consagradas: 
 = conjunto de partida da relação . 
 
 
 
 
 {( ) } 
 
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 = conjunto de chegada ou contradomínio da relação . 
 
Domínio e Imagem 
Domínio 
Seja uma relação de em . 
Chama-se domínio de o conjunto de todos os primeiros elementos dos pares ordenados 
pertencentes a . 
 
 
Decorre da definição que . 
 
Imagem 
Chama-se imagem de o conjunto de todos os segundos elementos dos pares 
ordenadospertencentes a . 
 
 
Decorre da definição que . 
 
Relação Inversa 
Dada uma relação binária de em , consideremos o conjunto {( ) 
 ( ) }. 
Como é subconjunto de , então é uma relação binária de em , à qual 
daremos o nome de relação inversa de R. 
 
 
Decorre dessa definição que é o conjunto dos pares ordenados obtidos a partir dos 
pares ordenados de invertendo-se a ordem dos termos em cada par. 
 
Propriedades das Relações 
Podemos relacionar as seguintes propriedades: 
1º) ( ) ( ) 
2º) ( ) ( ) 
3º) ( ) 
 
INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES 
Definição de função 
Dados dois conjuntos e , não vazios, uma relação de em recebe o nome de 
aplicação de A em B ou função definida em A com imagens em B se, e somente se, para todo 
 existe um só tal que ( ) . 
 
 
 ( ) 
 ( ) 
 
( ) ( ) 
 ( ( ) ) 
 
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Verificando se uma relação é função: 
a) Esquema de flechas: 
Seja uma relação f de A em B, para que essa relação seja uma função: 
1º) É necessário que todo elemento participe de pelo menos um para ( ) , 
isto é, todo elemento de A deve servir como ponto de partida de uma única flecha; 
2º) É necessário que cada elemento participe de apenas um único para ( ) , 
isto é, cada elemento de A deve servir como ponto de partida de uma única flecha. 
b) Gráfico cartesiano 
Podemos verificar pela representação cartesiana da relação f de A em B se é ou não 
função: basta verificarmos se a reta paralela ao eixo conduzida pelo ponto ( ), em que 
 , encontra sempre o gráfico de em um só ponto. 
 
Notação de Funções 
Toda função é uma relação binária de em ; portanto, toda função é um conjunto de 
pares ordenados. 
Geralmente, existe uma sentença aberta ( ) que expressa a lei mediante a qual, dado 
 , determina-se tal que ( ) , então: 
 
 
Isso significa que, dados os conjuntos e , a função tem a lei de correspondência 
 ( ). 
Para indicarmos uma função , definida em com imagens em segundo a lei de 
correspondência ( ), usaremos uma das seguintes notações: 
 ou ou tal que 
 ( ) ( ) ( ) 
 
Imagem de um elemento 
Se ( ) , o elemento é chamado imagem de a pela aplicação ou valor de f no 
elemento , e indicamos: ( ) que se lê . 
 
Domínio e imagem 
Considerando que toda função de em é uma relação binária, então tem um domínio 
e uma imagem. 
Domínio: Chamamos de domínio o conjunto dos elementos para os quais existe 
 tal que ( ) . Como, pela definição de função, todo elemento de tem essa 
propriedade, temos nas funções: domínio = conjunto de partida isto é, . 
Imagem: Chamamos de imagem o conjunto dos elementos para os quais existe 
 tal que ( ) ; portanto: imagem é subconjunto do contradomínio isto é, 
 . 
 {( ) ( )}. 
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Domínio das Funções Numéricas 
Toda função que tem no seu domínio e no seu contradomínio subconjuntos do conjunto dos 
números reais é denominada função real de variável real. Uma função fica completamente 
definida quando são dados o seu domínio , o seu contradomínio e a lei de correspondência 
 ( ). 
Quando nos referimos à função e damos apenas a sentença aberta ( ) quea define, 
subentendemos que é formado por todos os números reais cujas imagens pela aplicação 
 são números reais, isto é é formado por todos os números reais para os quais é 
possível calcular ( ). 
 
 
 
Funções Iguais 
Duas funções e são iguais se, e somente se, apresentarem: 
a) Domínios iguais ( ) 
b) Contradomínios iguais ( ) 
c) ( ) ( ) para todo x do domínio. 
Isso equivale a dizer que duas funções e são iguais se, e somente se, forem conjuntos 
iguais de pares ordenados. 
 
Funções Pares e Ímpares 
Uma função é dita par se, para todo ( ) então ( ) e: ( ) ( ). 
Uma função é dirá ímpar se, para todo ( ) então ( ) e ( ) 
 ( ). 
Pelas definições de função par e função ímpar pode-se notar que o gráfico de uma função 
par é simétrico em relação ao eixo e o gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação 
à origem. 
 
Função crescente 
A função definida por ( ) é crescente no conjunto se, para dois 
valores quaisquer e pertencentes a , com , tivermos ( ) ( ). 
 ( ) 
 
13 
 
Em símbolos: é crescente quando ( )( ( ) ( )) e isso também 
pode ser posto assim: ( ) ( 
 ( ) ( )
 
 ) 
 
Função decrescente 
A função definida por ( ) é decrescente no conjunto se, parra dois 
valores quaisquer e pertencentes a , com , tem-se ( ) ( ). 
Em símbolos: é decrescente quando ( )( ( ) ( )) e isso também 
pode ser posto assim: ( ) ( 
 ( ) ( )
 
 ). 
Função constante 
Uma aplicação de em recebe o nome de função constante quando a cada elemento 
 associa sempre o mesmo elemento . 
 
 
O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo dos x passando pelo ponto 
( ), 
A imagem é o conjunto { }. 
 
 
Função identidade 
Uma aplicação de em recebe o nome de função identidade quando a cada elemento 
 associa o próprio , isto é: ( ) . 
O gráfico da função identidade é uma reta que contém as bissetrizes do 1º e 3º quadrantes. 
A imagem é . 
 ( ) 
 
14 
 
 
Função Linear 
Uma aplicação de em recebe o nome de função linear quando a cada elemento 
associa o elemento em que é um número real dado, isto é: ( ) 
( ). 
O gráfico da função linear é uma reta que passa pela origem do plano cartesiano. 
A imagem é . 
 
Função composta 
Seja uma função de um conjunto em um conjunto e seja uma função em em um 
conjunto . Chama-se função composta de e à função de em em que a imagem de 
cada é obtida pelo seguinte procedimento: 
1º) aplica-se a a função , obtendo-se ( ) 
2º) aplica-se a ( ) a função , obtendo-se ( ( )). 
Indica-se ( ) ( ( )) para todo . 
Pode-se indicar a composta por (lê-se: “ composta com ” ou “ círculo ”); portanto: 
( )( ) ( ( )) para todo . 
Podemos representar também a composta pelo diagrama. 
 
15 
 
 
Observações 
1º) A composta só está definida quando o contradomínio da é igual ao domínio da . 
Em particular, se as funções e são de em , então as compostas e estão 
definidas e são funções de em . 
2º) Notemos que, em geral, , isto é, a composição de funções não é comutativa. 
 
Função sobrejetora 
Uma função de em é sobrejetora se, e somente se, para todo pertencente a existe 
um elemento pertencente a tal que ( ) . 
Em símbolos: 
 
 
 
Notemos que é sobrejetora se, e somente se, ( ) . 
 
 
 
Função Injetora 
Uma função de em é injetora se, e somente se, quaisquer que sejam e de , se 
 , então ( ) ( ). 
Em símbolos: 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( )( ( ) ( )) 
16 
 
Notemos que a definição proposta é equivalente a: uma função de em é injetora se, e 
somente se, quaisquer que sejam e de , se ( ) ( ), então . 
 
 
 
 
Função bijetora 
Uma funçãode em é bijetora se, e somente se, é sobrejetora e injetora. 
Em símbolos: 
 
 
 
A definição acima é equivalente a: uma função de em é bijetora se, e somente se, para 
qualquer elemento pertencente a , existe um único elemento pertencente a tal que 
 ( ) . 
 
 
 
 
Função inversa 
Teorema: Seja . A relação é uma função de em se, e somente se, f é 
bijetora. 
Definição: Se é uma função bijetora de em , a relação inversa de é uma função de 
em que denominamos função inversa de f e indicamos . 
 
 
 
Propriedade dos gráficos de e 
Os gráficos cartesianos de e são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes 1 e 3 
do plano cartesiano. 
 
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU 
A função polinomial do 1º grau é também chamada de Função Afim. 
Uma aplicação de em recebe o nome de função afim quando a cada associa o 
elemento ( ) em que e são números reais dados. 
 
 
Notemos que, para , a função afim se transforma na função linear ; 
podemos, então, dizer que a função linear é uma particular função afim. 
 
 
 ( )( ( ) ( ) ) 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
Se o par ordenado ( ) , então o par ordenado 
( ) 
 ( ) ( ) 
 
17 
 
Gráfico 
Teorema: O gráfico cartesiano da função ( ) ( ) é uma reta. 
 
Imagem 
Teorema: O conjunto imagem da função afim definida por ( ) , com 
 , é . 
De fato, qualquer que seja existe 
 
 
 tal que ( ) (
 
 
) 
 
 
 
 . 
 
Coeficientes da função afim 
O coeficiente da função ( ) é denominado coeficiente angular ou declividade 
da reta representada no plano cartesiano. 
O coeficiente da função é denominado coeficiente linear. 
 
Zero da função afim 
Zero (ou raiz) de uma função é todo número cuja imagem é nula, isto é, ( ) . 
 
 
No caso da função afim, o zero é 
 
 
. 
 
Crescimento/decréscimo da função afim 
Teoremas: 
1) A função afim ( ) é crescente se, e somente se, o coeficiente angular 
for positivo. 
2) A função afim ( ) é decrescente se, e somente se, o coeficiente angular 
for negativo. 
 
Sinal de uma função 
Seja a função definida por ( ), estudar o sinal da função quando esta está 
representada no plano cartesiano, significa examinar se é positiva, negativa ou nula a 
ordenada de cada ponto da curva. 
 
Sinal da função afim 
Considerando que 
 
 
, zero da função afim ( ) , é o valor de para o qual 
 ( ) , examinemos, então, para que valores ocorre ( ) ou ( ) . 
Devemos considerar dois casos: 
1º caso: 
 ( ) 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
18 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
2º caso: 
 ( ) 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
FUNÇÕES POLINOMIAIS DO SEGUNDO GRAU 
Uma aplicação de em recebe o nome de função polinomial do segundo grau ou 
função quadrática quando associa cada o elemento ( ) , em que , , 
 são números reais dados e . 
 
 
 
 
Gráfico 
O gráfico da função quadrática é uma parábola. 
 
Concavidade 
A parábola representativa da função quadrática pode ter a concavidade 
voltada para “cima” ou voltada para “baixo”. 
Se , a concavidade da parábola está voltada para cima. 
 ( ) ( ) 
 
19 
 
 
Se , a concavidade da parábola está voltada para baixo.