A5_Variacao de parametros nova

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Variação de parâmetros 
 
Método desenvolvido por Joseph Louis Lagrange ( 1736 -1813 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja a equação: 
' ( ) ( )y f x y r x 
 (1) 
 
Impondo 
( ) 0r x 
 resultará numa outra equação dita homogênea 
 
 
' ( ) 0h f x h 
 (2) 
 
Essa equação é facilmente resolvida por separação de variáveis veja: 
 
 
( ) 0
dh
f x h
dx
 
 
 
 
( )
dh
f x dx
h

 
 
 
1| | ( )ln h f x dx C  
 
 
 
1( )| | f x dx Cln he e
 
 fazendo 
1CC e
 
 
 ( )
( ) .
f x dx
h x C e

 ( solução geral da equação (2) ) 
 
A idéia central é substituir a constante C pela função 
( )u x
, não conhecida, de forma a 
produzir uma solução mais ampla que possa resolver a equação original não 
homogênea (1) 
 
Assim, a solução assume a forma: ( )
( ).
f x dx
y u x e

 (3) 
 
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Para simplificar o desenvolvimento vamos adotar ( )
( )
f x dx
v x e

 
 
Obs.: Veja que 
( )v x
também é solução da equação (2), pois, representa caso particular 
de 
( )h x
quando C =1. 
 
Uma vez solução 
( ). ( )y u x v x
 que deverá atender a equação (1) 
 
 
Assim, fazendo a devida substituição em (1) temos: 
 
 
( . ) ' ( )( . ) ( )u v f x u v r x 
 
 
 
. . ( ). . ( )u v u v f x u v r x   
 
 
 
Evidenciando “ u ” , fica: 
. ( ( ). ) ( )u v u v f x v r x   
 
 
 
 
Como 
( )v x
é solução da equação (2) então o termo 
( ). 0v f x v 
 
 
Assim, ficamos com 
. ( ) ( )u v x r x 
 
 
Também de fácil solução por variáveis separáveis 
 
 
. ( ) ( )
du
v x r x
dx

 
 
 
( )
( )
r x
du dx
v x

 
 
 
( )
( )
r x
u dx C
v x
 
 
 
Uma vez determinado 
( )u x
 podemos finalmente montar a solução geral para a 
equação diferencial original 
 
 
 ( )
( ) ( ).
f x dx
y x u x e

 
 
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 Exemplo: 
 
 
x
dx2
y
dy
x
y2
dx
dy
x
y2
'y
0
x
y2
'y
:ogênahom.eqaAnalisando
x3cosx
x
y2
'y 2





 
 
2
c
2
32
3
2
3
2
21
x.ky
e
x
y
c
x
y
ln
cxlnyln
cxlnyln
cxln2cyln
3






 
 
Fazendo agora k = u(x) , teremos uma solução mais geral 
 
 y = u.x² , que aplicado na equação inicial, resultará: 
 
cx3sen
3
1
u
dxx3cosdu
x3cos
dx
du
x3cos'u
x3cos.x'u.x
x3cos.xx.u.2'uxx.u.2
x3cos.x
x
x.u
.2'uxx.u.2
22
22
2
2
2







 
Assim a solução geral será: 
 
 
2x.cx3sen
3
1
y 






 
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Plotando a solução para alguns valores de c {-2,-1, 0, 1, 2} , teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IST – Instituto Superior Tupy 
 fev/2012 Rebello