Aula 07 - CONTROLE - PROFESSOR CARLOS ALEXANDRE

Prévia do material em texto

Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br 1
Lugar das Raízes
Carlos Alexandre Mello
2Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Introdução
� Lugar das raízes é um método de análise e projeto 
para estabilidade e resposta de transiente
� É uma representação gráfica dos polos de um sistema 
de malha fechada à medida que os parâmetros do 
sistema variam
� A técnica dá uma visão qualitativa do desempenho 
de um sistema de controle e também serve como 
uma ferramenta quantitativa que dá mais 
informações do que os métodos já discutidos
� A técnica pode ser usada para descrever 
qualitativamente o desempenho de um sistema quando 
vários parâmetros são mudados
3Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Introdução
� Os polos de sistemas de malha aberta são 
facilmente encontrados; o mesmo não acontece 
com sistemas de malha fechada
Os polos de KG(s)H(s) são fáceis de 
serem encontrados, mas os polos de
[1 + KG(s)H(s)] dependem da fatoração 
do denominador e variam com K
4Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Introdução
� Representação de números complexos como 
vetores
a) s = σ + jω;
b) (s + a) = (σ + a) + jω;
c) Representação
alternativa para (s + a);
d) (s + 7)|s→5 + j2
σ+a
σ+a
5Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Introdução
� No caso mais geral, considere a função:
Magnitude de F(s) em 
qualquer ponto s
Ângulo θ de F(s) em 
qualquer ponto s
6Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Introdução
� Exemplo 1:
� Dado F(s) = (s + 1)/[s(s + 2)]
� Encontre F(s) no ponto s = -3 + j4
� Solução gráfica: Traçamos vetores das raízes dos 
polinômios (tanto zeros quanto polos) até o ponto dado 
no plano complexo....
7Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Introdução
� Exemplo 1 (cont.):
� F(s) = (s + 1)/[s(s + 2)]
� s = -3 + j4
� V1:
� |V1| = √20
� ∠V1 = 180 - tg-1(4/2) = 116º
� V2:
� |V2| = √25=5
� ∠V2 = 180 - tg-1(4/3) = 127º
� V3:
� |V3| = √17
� ∠V3 = 180 - tg-1(4/1) = 104º
V1
V2
V3
∠V1
8Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Introdução
� Exemplo 1 (cont.):
= √20
5√17
= 116º - (127º + 104º) = -115º
Assim, F(s) = 0,2169∠-115º no ponto s = -3 + j4
9Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Introdução
� Exemplo 2: Dado
� encontre F(s) para s = -7 + 9j
10Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Definindo o Lugar das Raízes
O que é o Lugar das Raízes?
� Considere o exemplo abaixo:
Variando K...
11Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Definindo o Lugar das Raízes
O que é o Lugar das Raízes?
� Considere o exemplo abaixo:
Plotagem dos polos da Tabela anterior Lugar das raízes
Em geral, vamos considerar o ganho positivo, ou seja, K ≥ 0.
12Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Definindo o Lugar das Raízes
O que é o Lugar das Raízes?
� O lugar das raízes mostra as mudanças na 
resposta de transiente com a variação de K
� Nesse exemplo, os polos são reais para ganhos 
menores que 25
� Sistema Sobreamortecido
� No ganho 25, o sistema tem polos reais iguais
� Sistema Criticamente Amortecido
� Acima de ganho 25, o sistema é Subamortecido
� Observe que, nesse caso, a parte real do polo 
permanece constante
13Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Definindo o Lugar das Raízes
O que é o Lugar das Raízes?
� Como a parte real do polo permanece constante, o 
tempo de amortecimento também é constante
� Lembrando que ele é inversamente proporcional à parte real 
do polo
� Ao aumentarmos o ganho, a taxa de amortecimento 
diminui e a porcentagem sobressinal aumenta
� O tempo de pico diminui com o aumento do ganho
� Nesse exemplo, como o lugar das raízes nunca cruza 
para o semi-plano direito, o sistema é sempre estável, 
independente do valor do ganho
� A análise também é aplicável a sistemas com ordem 
maior que 2
14Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Propriedades do Lugar das Raízes
� A partir das propriedades do lugar das raízes, é 
possível fazer seu rascunho para sistemas de alta 
ordem sem precisar fatorar o polinômio do 
denominador
� Considere um sistema de controle de malha 
fechada geral que tem função de transferência:
15Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Propriedades do Lugar das Raízes
� Para tal sistema, um polo s existe quando o 
polinômio no denominador é igual a zero, ou:
� KG(s)H(s) = -1 = 1∠(2k + 1)180º , k = 0, ±1, ±2, ±3, ...
� Onde -1 está representado em sua forma polar
� Isso significa que um valor de s em KG(s)H(s) gera um 
número complexo e, se o ângulo desse número for um 
múltiplo ímpar de 180º, aquele valor de s é um polo para 
algum valor de K
� Se: |KG(s)H(s)| = 1 e ∠KG(s)H(s) =∠(2k + 1)180º
� Então: K = 1/(|G(s)||H(s)|)
16Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Propriedades do Lugar das Raízes
� Vamos considerar novamente o exemplo anterior e 
a tabela associada ao valor de K:
Pela tabela, quando o ganho é 5, temos polos em -9,47 e -0,53.
KG(s)H(s) = K/[s(s + 10)]
Para s = -9,47, temos KG(s)H(s) = 5/(-9,47.(-9,47 + 10)) = -1
K = 10 => polos em -8,87 e -1,13 => KG(s)H(s) = -1
K = 35 => KG(s)H(s) = -1
....
17Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Propriedades do Lugar das Raízes
� Exemplo 1: Considere o sistema abaixo
� A função de malha aberta é:
� A função de malha fechada é:
18Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Propriedades do Lugar das Raízes
� Exemplo 1 (cont.): Considere o ponto -2+3j
� ∠ = (θ1 + θ2) – (θ3 + θ4) = -70,55º 
� Assim, -2 + 3j não faz parte do lugar das raízes
� Ou ainda, -2+3j não é polo de T(s) para qualquer K
� Para o ponto -2 + j√2/2
� θ1 = 19,47º 
� θ2 = 35,26º
� θ3 = 90º
� θ4 = 144,73º
� ∠=(θ1 + θ2) - (θ3 + θ4) = -180º 
� Assim, -2+j√2/2 faz parte do
lugar das raízes
-2+3j
19Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Propriedades do Lugar das Raízes
� Exemplo 1 (cont.): Para o ponto -2 + j√2/2, o ganho 
K é:
� K = L1L2/(L3L4) = (3/√2)(√3/√2)/[(√2/2)(√3/√2)] = 3
� Assim, o ponto -2 + j√2/2 é um ponto do lugar das 
raízes para um ganho de 3
20Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Propriedades do Lugar das Raízes
� Exemplo 2: dado um sistema com re-alimentação 
unitária que tem a seguinte função à frente:
� Calcule o ângulo de G(s) para o ponto (-3 + j0)
� Determine se o ponto está no lugar das raízes
� Se sim, ache o ganho K
21Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Propriedades do Lugar das Raízes
� Exemplo 2 (cont.):
22Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Esboçando o Lugar das Raízes
� O lugar das raízes pode ser obtido varrendo-se 
todo ponto no plano s para localizar os pontos 
cujos ângulos são múltiplos ímpares de 180
� Obviamente, essa tarefa é muito custosa
� Podemos simplificar o processo com algumas 
regras:
� 1) Número de ramos: Cada ponto em malha fechada se 
desloca à medida que o ganho é variado. Se definimos 
um ramo como sendo o caminho que um polo atravessa, 
então haverá um ramo para cada polo em malha 
fechada
� O número de ramos do lugar das raízes é igual ao 
número de polos em malha fechada
23Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Esboçando o Lugar das Raízes
� Regras:
� 2) Simetria: O lugar das raízes é simétrico em relação 
ao eixo real
� Os polos complexos sempre aparecem com seus 
conjugados
� 3) Segmentos do Eixo Real: Usamos a propriedade 
que o ângulo deve ser um múltiplo ímpar de 180º para 
determinar onde existem segmentos do eixo real que 
fazem parte do lugar das raízes
24Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Esboçando o Lugar das Raízes
� Regras:
� 3) Segmentos do Eixo Real:
� Considere a contribuição dos polos e zeros nos pontos 
P1, P2, P3 e P4 abaixo
� A contribuição de um par de polos ou zeros complexos é 
nula (são simétricos,então seus ângulos se anulam)
� A contribuição de polos ou zeros reais à esquerda do 
respectivo ponto é zero (o ângulo é de zero grau)
� Assim, a única contribuição é de polos e zeros reais à 
direita do respectivo ponto (forma um ângulo de 180º)
25Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Esboçando o Lugar das Raízes
� Regras:
� 3) Segmentos do Eixo Real: No eixo real, para K > 0, o 
lugar das raízes existe à esquerda de um número ímpar 
de polos ou zeros finitos em malha aberta sobre o eixo 
real
� O número ímpar de polos ou zeros garante que o múltiplo 
de 180º seja ímpar
� No exemplo anterior, os segmentos do eixo real do lugar 
das raízes ficam entre -1 e -2 e entre 3 e -4
26Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Esboçando o Lugar das Raízes
� Regras:
� 4) Pontos de Início e Término:
� Início do lugar das raízes: ganho zero
� Término do lugar das raízes: ganho infinito
� O lugar das raízes começa nos polos finitos ou infinitos de 
G(s)H(s) e termina nos zeros finitos ou infinitos de G(s)H(s)
� Considere o sistema abaixo:
27Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Esboçando o Lugar das Raízes
� Regras:
� 4) Pontos de Início e Término:
� Considerando: 
� Temos:
� Quando K → 0: 
� Quando K → ∞:
N = Numerador
D = Denominador
28Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Esboçando o Lugar das Raízes
� Regras:
� 4) Pontos de Início e Término:
� Quando K → 0:
� Com isso, concluímos que o lugar das raízes começa nos 
polos de G(s)H(s), a função de transferência de malha 
aberta
� Quando K → ∞, os polos se aproximam à combinação 
dos zeros de G(s) e H(s). O lugar das raízes, então, 
termina nos zeros de G(s)H(s)
� Observe que são os polos e zeros da função de malha 
aberta!!
29Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Esboçando o Lugar das Raízes
� Regras:
� 4) Pontos de Início e Término:
� No exemplo anterior, o lugar das raízes começa nos 
polos -1 e -2 e termina nos zeros -3 e -4
� O lugar começa em -1 e -2 e se move no eixo real no 
espaço entre esses polos indo de um para o outro
� Eles se encontram em algum lugar entre -1 e -2 e 
partem como números complexos conjugados até se 
encontrarem em algum ponto entre -3 e -4, onde eles 
caminham em direção a esses zeros
30Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Esboçando o Lugar das Raízes
� Regras:
� 4) Pontos de Início e Término:
11
2
3
3
4
55
31Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Esboçando o Lugar das Raízes
� Regras:
� 5) Comportamento no Infinito: O lugar das raízes 
tende a retas assintóticas quando o lugar tende a 
infinito. A equação das assíntotas é dada pela 
interseção com o eixo real em σa com ângulo θa, como 
segue:
k = 0, ±1, ±2, ±3, ...
# = Número de....
Observe que não faz sentido o número de polos ser igual 
ou menor que o número de zeros
32Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Esboçando o Lugar das Raízes
� Exemplo: esboçar o lugar das raízes para o 
sistema:
� Polos: 0, -1, -2, -4
� Zeros: -3
� Primeiro, calculamos as assíntotas:
� σa = [(0 – 1 – 2 – 4) – (-3)]/(4 – 1) = -4/3
� θa = (2k + 1)pi/(4 – 1) = (2k + 1)pi/3 = 
pi/3, para k = 0
pi, para k = 1
5pi/3, para k = 2
A partir daqui, os ângulos
se repetem....
33Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Esboçando o Lugar das Raízes
� Exemplo (cont.):
� O número de linhas é igual à diferença entre o número 
de polos finitos e o número de zeros finitos
-4/3
Polos e zeros Assíntota
Assíntota
Assíntota
34Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Esboçando o Lugar das Raízes
� Exemplo (cont.):
� Pela regra 4, o lugar começa nos polos de malha aberta 
e termina nos zeros de malha aberta
� Existem mais polos do que zeros
� Assim, devem existir zeros no infinito
� As assíntotas dizem como chegar nesses zeros no infinito
� A forma final pode ser vista a seguir....
35Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Esboçando o Lugar das Raízes
� Exemplo (cont.): Forma final
Assíntota
Assíntota
Assíntota
Inicia nos polos e termina nos zeros:
• Começa entre -1 e 0 e segue para infinito
• Começa em -2 e termina em -3
• Começa em -4 e termina em infinito
36Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Esboçando o Lugar das Raízes
� Exemplo 2: Esboce o lugar das raízes para o 
sistema de re-alimentação unitária com função de 
transferência à frente:
37Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Esboçando o Lugar das Raízes
� Exemplo 2 (cont.):
38Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Refinando o Esboço
� Pontos de Entrada e Saída sobre o Eixo Real
Ponto de Saída Ponto de Entrada
39Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Refinando o Esboço
� Pontos de Entrada e Saída sobre o Eixo Real
� Nos pontos de entrada e saída, os ramos fazem um 
ângulo de 180º/n com o eixo real, onde n é o número de 
polos de malha fechada partindo do ponto de saída ou 
chegando no ponto de entrada
� Na figura anterior, os ramos formam um ângulo de 
180º/2 = 90º com o eixo real
� Como o ganho cresce a partir dos polos (como em -1 e -
2) até o ponto de saída, o ganho será máximo nesse 
ponto
� O ganho pode ser maior à medida que o lugar das raízes 
caminha pelo plano complexo, mas ele será máximo 
nesse ponto em relação ao eixo real apenas
40Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Refinando o Esboço
� Pontos de Entrada e Saída sobre o Eixo Real
� Analogamente, o ganho no ponto de entrada é o ganho 
mínimo encontrado sobre o eixo real entre os dois zeros
� Para encontrar os pontos:
� Três soluções possíveis...
41Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Refinando o Esboço
� Para encontrar os Pontos de Entrada e Saída 
sobre o Eixo Real
� Solução 1: Derivar K = -1/[G(σ)H(σ)] em relação a σ
� Exemplo:
� Para todos os pontos no lugar das raízes:
� Resolvendo para K: 
σ1=-1,45
σ2 = 3,82
42Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Refinando o Esboço
� Para encontrar os Pontos de Entrada e Saída 
sobre o Eixo Real
� Solução 2: Os pontos de entrada e saída satisfazem a 
relação:
� Exemplo: Considerando o exemplo anterior:
σ1=-1,45
σ2 = 3,82
zi e pi são os negativos 
dos zeros e polos!!!
Polos: -1 e -2
Zeros: 3 e 5
43Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Refinando o Esboço
� Para encontrar os Pontos de Entrada e Saída 
sobre o Eixo Real
� Solução 3: O terceiro método é a busca pelo máximo e 
mínimo ganho através de recursos computacionais
44Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Refinando o Esboço
� Interceptação com o Eixo jω
� Considere um exemplo anterior:
� Como os polos estão no semi-
plano esquerdo, o ponto de 
interceptação com o eixo 
imaginário indica no lugar das 
raízes o ponto que separa uma 
operação estável do sistema de 
uma operação instável do 
sistema
45Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Refinando o Esboço
� Interceptação com o Eixo jω
� Para encontrar o ponto de interceptação com o eixo jω, 
podemos usar o critério de Routh-Hurwitz da seguinte 
maneira: Forçando uma linha de polinômio ímpar ser 
nula na Tabela de Routh obtém-se o ganho; retornando 
uma linha para a equação de polinômios par e buscando 
as raízes obtém-se a frequência de cruzamento com o 
eixo imaginário
46Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Refinando o Esboço
� Interceptação com o Eixo jω
� Exemplo: Na função abaixo, encontre a frequência e o 
ganho K para o qual o lugar das raízes cruza o eixo 
imaginário
Tabela Routh:
47Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Refinando o Esboço
� Interceptação com o Eixo jω
� Exemplo (cont.): A única linha de polinômio ímpar que 
pode ser completamente anulada é a de s1
� No caso, temos: -K2 – 65K + 720 = 0
� K = -74,65 e 9,65
� Se usarmosK = -74,65, então provocamos mudança de 
sinal com o último elemento da Tabela (21K). Assim, 
vamos usar K = 9,65
� Considerando esse valor de K e retornando para s2:
� (90 – K)s2 + 21K = 80,35s2 + 202,7 = 0
� s = ±j1,59
� Assim, o lugar das raízes corta o eixo jω em ±j1,59 para 
um ganho 9,65
48Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Refinando o Esboço
� Ângulos de Chegada e Partida
� É possível também calcular os ângulos de chegada e de 
partida dos polos e zeros
� Nesse caso, o uso de uma ferramenta computacional é 
mais apropriado
49Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Resumo
� Regras Básicas para Esboçar o Lugar das Raízes
� Número de ramos é igual ao número de polos em 
malha fechada
� O lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real
� No eixo real, para K > 0, o lugar das raízes existe à 
esquerda de um número ímpar de polos e/ou zeros
finitos em malha aberta sobre o eixo real
� O lugar das raízes se inicia nos polos finitos e infinitos 
de G(s)H(s) e termina nos zeros finitos e infinitos de 
G(s)H(s)
� O lugar das raízes tende a retas assintóticas quando o 
lugar tende a infinito. As equações das assíntotas são 
definidas por:
50Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Resumo
� Regras Adicionais para Refinar o Esboço
� O lugar das raízes sai do eixo real no ponto onde o 
ganho é mínimo e entra no eixo real no ponto onde o 
ganho é máximo
� O lugar das raízes cruza o eixo imaginário no ponto 
onde ∠G(s)H(s) = (2k + 1)180º. O critério de Routh-
Hurwitz pode ser usado para determinar esse ponto de 
cruzamento
� Ângulos de partida e de chegada podem ser calculados 
precisamente
� Todos os pontos do lugar das raízes satisfazem à 
relação ∠G(s)H(s) = (2k + 1)180º. O ganho é dado por:
51Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Exemplo 1
� Considere o sistema abaixo:
� Esboce o lugar das raízes e encontre:
� a) O ponto exato e ganho onde o lugar cruza o eixo jω
� b) O ponto de saída do eixo real
� c) A faixa de K na qual o sistema é estável
52Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Exemplo 1 (cont.)
� Polos: -2 e -4
� Zeros: 2 ± j4
53Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Exemplo 1 (cont.)
� Polos: -2 e -4
� Zeros: 2 ± j4
O lugar começa entre os 
polos e termina nos zeros 
sendo simétrico em relação 
ao eixo real 
54Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Exemplo 1 (cont.)
� Polos: -2 e -4
� Zeros: 2 ± j4
55Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Exemplo 1 (cont.)
56Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Exemplo 1 (cont.)
� a) Cruzamento com o eixo imaginário
s2
s1
s0
(K + 1) (20K + 8)
(6 – 4K) 0 Essa linha pode ser anulada com K = 3/2
Tabela de Routh:
57Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Exemplo 1 (cont.)
� a) Cruzamento com o eixo imaginário
� Considerando a linha anterior de equação par para o 
ganho definido, temos:
Assim, o cruzamento com o eixo imaginário 
se dá em ±j3,9 com ganho K = 3/2
58Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Exemplo 1 (cont.)
� b) Pontos de entrada e saída
� Polos: -2 e -4
� Zeros: 2 ± j4
σ1 = 5,28
σ2 = -2,88
Pelo esboço do lugar 
das raízes, só pode 
ser esse valor
59Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Exemplo 1 (cont.)
� c) A faixa de K na qual o sistema é estável
� Pela letra (b) e considerando K > 0, a faixa é 0 < K < 1,5
60Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Lugar das Raízes para Sistema de Re-
Alimentação Positiva
� Considere o sistema abaixo:
61Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Lugar das Raízes para Sistema de Re-
Alimentação Positiva
� Regras:
� 1. Número de ramos: Mesmo que antes
� 2. Simetria: Mesmo que antes
� 3. Segmentos no Eixo Real: O lugar das raízes para 
sistemas de re-alimentação positiva existem à esquerda 
de um número par de polos e/ou zeros finitos de malha 
aberta
� 4. Pontos de Início e Término: Mesmo que antes
� 5. Comportamento no Infinito: Assíntotas:
62Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Exercícios Sugeridos (Nise)
� Cap. 8, Problemas:
� 1, 2, 3, 4, 7, 10, 11, 12, 14, 19, 21 (menos a letra d)
63Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
A Seguir....
� Projeto Através do Lugar das Raízes