TRABALHO DE PESQUISA CONTROLE E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS – UFAM 
FACULDADE DE TECNOLOGIA – FT 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA - DEQ 
CURSO – ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RELATÓRIO DE PESQUISA – CONTROLE E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS 
AVALIAÇÃO PARCIAL III – FTP 019 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MANAUS (AMAZONAS) 
2015/2 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS - UFAM 
FACULDADE DE TECNOLOGIA - FT 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA- DEQ 
CURSO – ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 
 
 
 
 
 
RELATÓRIO DE PESQUISA – CONTROLE E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS 
AVALIAÇÃO PARCIAL III – FTP 019 
 
 
IAGO BRUNO PACHECO FERREIRA (21453635) 
IGOR MORAES BEZERRA CALIXTO (21456321) 
LUANA MIRELLA CASAS BARRETO (21458117) 
VANESSA DE SOUZA LIMA (21453637) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MANAUS (AMAZONAS) 
2015/2 
Trabalho de pesquisa, de Controle e 
Simulação de Processos, orientada pelo 
professor Rafael Mendonça, com o 
intuito de obter conhecimentos a 
respeito de um dos ramos de estudo da 
ciência investigada. 
LISTA DE FIGURAS 
1) Figura 1 - Regulador Centrífugo. Século XVIII....................................................................................1 
2) Figura 2 - Sistema de Controle a Malha Aberta. ..................................................................................3 
3) Figura 3 - Sistema de Controle a Malha Fechada.................................................................................3 
4) Figura 4 – Sistemas de controle de velocidade....................................................................................3 
5) Figura 5- Sistemas de Controle de Temperatura...................................................................................4 
6) Figura 6- Sistema Típico de Controle de processo industrial...............................................................4 
7) Figura 7. Esquema básico da controlabilidade......................................................................................5 
8) Figura 8 – Diagrama de estado de um sistema linear...........................................................................5 
9) Figura 9 - Diagrama de estado.............................................................................................................7 
10) Figura 10 – Conjunto de equações lineares........................................................................................8 
11) Figura 11 – Função de transferência..................................................................................................16 
12) Figura 12 – Representação dos polos no plano..................................................................................17 
13) Figura 13 – Comportamento da Função Degrau................................................................................18 
14) Figura 14- Comportamento da Função Rampa..................................................................................18 
15) Figura 15 – Comportamento da Função Parábola..............................................................................18 
16) Figura 16 – Sistemas de primeira ordem............................................................................................19 
17) Figura 17 - Representação gráfica da equação (2).............................................................................19 
18) Figura 18 – Resposta superamortecida...............................................................................................21 
19) Figura 19– Resposta subamortecida...................................................................................................22 
20) Figura 20 – Resposta Não-amortecida................................................................................................22 
21) Figura 21 – Sistema criticamente amortecido.....................................................................................23 
22) Figura 22 – Gráfico de localização das raízes características.............................................................25 
23) Figura 23 – Representação do comportamento de resposta do sistema..............................................27 
24) Figura 24 – Representação Gráfica da saída adimensional contra o tempo adimensional.................28 
25) Figura 25 – Característica da resposta oscilatória ao degrau..............................................................29 
26) Figura 26 – Gráfico do comportamento da saída adimensional contra o tempo adimensional...........31 
27) Figura 27 – Análise gráfica do sistema...............................................................................................32 
28) Figura 28 – Resposta não-oscilatória..................................................................................................32 
29) Figura 29 – Cálculo de C(s)................................................................................................................35 
30) Figura 30 – Representação de funcionamento de um controlador liga-desliga com bimetálico........37 
31) Figura 31 – Diagrama de blocos de um controlador liga-desliga.......................................................37 
32) Figura 32 – Curva de histerese...........................................................................................................37 
33) Figura 33 - Estrutura do controlador proporcional............................................................................38 
34) Figura 34 – Aplicação controlador....................................................................................................39 
35) Figura 35 - Banda proporcional........................................................................................................39 
36) Figura 36 – Exemplo PD...................................................................................................................40 
37) Figura 37 – Configuração zero-polo do controlador PD....................................................................40 
38) Figura 38 – Gráficos – Controlador PI...............................................................................................41 
39) Figura 39- Estrutura de funcionamento dos controladores PID.........................................................43 
40) Figura 40 – Curva de reação de um processo....................................................................................43 
41) Figura 41 – Diagrama de blocos de um PID......................................................................................45 
42 )Figura 42 – Subtrator na entrada do controlador................................................................................45 
43) Figura 43 – Ganho proporcional do controlador................................................................................45 
44) Figura 44 – Componente Integral do controlador..............................................................................45 
45) Figura 45 – Componente derivativa do controlador...........................................................................46 
46) Figura 46 – Soma das componentes do controlador..........................................................................46 
47) Figura 47- Representação do controlador completo..........................................................................46 
48) Figura 48 – Aplicação de sistemas de controle..................................................................................47 
49) Figura 49 – Estrutura básica de funcionamento dos servomotores....................................................48 
50) Figura 50 – Estrutura básica das plantas térmicas..............................................................................49 
51) Figura 51– Atuadores Elétricos de diversos tipos (Velocidade, Precisão, Posição).........................49 
52) Figura 52 – Válvulas ajustadoras de pressão e vazão........................................................................49 
53) Figura 53 – Indústria Automobilística – Aplicação...........................................................................50 
54) Figura 54 – Comportamento gráfico do controlador PID..................................................................51 
55) Figura 55. (a) diagrama de Bode de G(s)=1/s (b) G(s)=s ................................................................55 
56) Figura 56: Curva de módulo em dB com as assíntotas e a curva de ângulo de fase de (1 + jωT)−1. 56 
57) Figura 57: Curva de modelo em dB com as curvas de angulo de fase e as assíntotas.......................57 
58) Figura 58. Critério de estabilidade Nyquist........................................................................................60 
59) Figura 59 – Caso 2 do critério de estabilidade de Nyquist.................................................................61 
60) Figura 60 – Caso 3 do critério de estabilidade de Nyquist.................................................................61 
61) Figura 61 – Critério de Nyquist..........................................................................................................62 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE TABELAS 
1) Tabela 1. Conceitos de Polos, Zeros e Respostas de Sistema................................................................16 
2) Tabela 2.Fatores de Amortecimento......................................................................................................27 
3) Tabela 3. Faixas de amortecimento........................................................................................................28 
4) Tabela 4. Parâmetros do controlador em malha aberta..........................................................................44 
5) Tabela 5. Parâmetros do controlador no método em malha fechada.....................................................44 
6) Tabela 6. Resultados do exemplo 1.......................................................................................................47 
7) Tabela 7. Características dos parâmetros P, I e D.................................................................................52 
8) Tabela 8. Principais fórmulas de cada um dos parâmetros...................................................................52 
9) Tabela 9. Parâmetros do controlador PID pelo método da sensibilidade limite modificado................52 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE SÍMBOLOS. 
1) G(s) – Função de Transferência 
2) K –Ganho 
3) u(t) – Entrada do sistema 
4) y(t) – Saída do sistema 
5)_x- Vetor de estado 
6) y – Vetor de saída 
7) A – Matriz de estado 
8) B – Matriz de entrada 
9) C – Matriz de saída 
10) D – matriz de realimentação 
11) Tr – Tempo de subida 
12) Ts – Tempo de assentamento 
13) ωn - Frequência Natural, 
14) ʇ - Coeficiente de amortecimento 
15) p - polo 
16) z - zero 
17) PI – Proporcional-Integral 
18) PD – Proporcional-Derivativa 
19) PID – Proporcional-Integral-Derivativa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESUMO 
 Neste trabalho de pesquisa bibliográfica, será apresentada uma explicação a respeito de tópicos 
importantes de avaliação e estudo de Controle e Simulação de Processos. Como se sabe, esta é uma ciência 
extremamente útil para os engenheiros, em geral, pois os mesmos necessitam de conhecimentos básicos de 
controle para operar, construir e organizar plantas industriais, avaliar diversos processos de ordem física, 
química, elétrica, mecânica, hidráulica, térmica, entre outras. 
 Serão abordados temas importantes como o Método da Decomposição de Kalman, essencial para facilitar 
na resolução numérica de cálculos de parâmetros como controlabilidade e observabilidade. Além disso, 
abordar-se-á sobre os controladores, descrevendo seus conceitos, aplicações, exemplificações e sobre os PID 
Industriais. 
 Também serão discutidos os métodos de estabilidade de sistemas com realimentação por Diagramas de 
Nyquist e Bode, especificando os conceitos, aplicações, propriedades, regras básicas e exemplos. Por fim, 
também será explicado os tipos de respostasde sistemas de segunda ordem, muito importantes no estudo de 
controle e nas suas designações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
1. Trabalho de Pesquisa.........................................................................................................................1 
1.1.Introdução...........................................................................................................................................1 
1.2.Fundamentação Teórica......................................................................................................................5 
 1.2.1. Decomposição por Kalman.......................................................................................................5 
 1.2.1.1. Controlabilidade...........................................................................................................5 
 1.2.1.2. Observabilidade............................................................................................................6 
 1.2.1.3. Decomposição estrutural por Kalman..........................................................................8 
 1.2.1.3.1. Notações.......................................................................................................8 
 1.2.1.3.2 Decomposição dos modos controláveis.......................................................10 
 1.2.1.3.3 Decomposição dos modos observáveis........................................................12 
 1.2.1.3.4 Teorema da decomposição de Kalman........................................................13 
 1.2.1.4. Exemplos adicionais.....................................................................................................14 
 1.2.2. Classificação das Respostas......................................................................................................16 
 1.2.2.1.Definições,....................................................................................................................16 
 1.2.2.2.Polos e zeros de um sistema de primeira ordem...........................................................16 
 1.2.2.3.Sinais de testes típicos..................................................................................................17 
 1.2.2.4.Sistemas de primeira ordem.........................................................................................19 
 1.2.2.5.Propriedades dos sistemas de primeira ordem.............................................................20 
 1.2.2.6.Sistemas de Segunda ordem.........................................................................................20 
 1.2.2.7.Sistemas de Segunda ordem gerais..............................................................................23 
 1.2.2.8.Sistemas de segunda ordem com realimentação unitária.............................................331.2.2.9.Resposta de Sistemas com Zeros. ................................................................................34 
 1.2.3.Controladores............................................................................................................................35 
 1.2.3.1.Definições....................................................................................................................35 
 1.2.3.2. Compensação em série...............................................................................................35 
 1.2.3.3. Características desejáveis do sistema controlado.......................................................35 
 1.2.3.4. Posições dos polos......................................................................................................36 
 1.2.3.5. Estrutura de controladores..........................................................................................36 
 1.2.3.5.0. Ação liga-desliga (on-off).........................................................................36 
 1.2.3.5.1.Controlador Proporcional. ..........................................................................38 
 1.2.3.5.2.Controlador Proporcional-derivativo..........................................................40 
 1.2.3.5.3. Configuração Polo-zero.............................................................................40 
 1.2.3.5.4. Controlador Proporcional-Integral.............................................................40 
 1.2.3.5.5. Controlador Proporcional-Integral-Derivativo (PID)................................42 
 1.2.3.5.6. Métodos empíricos de Ziegler-Nichols....................................................43 
 1.2.3.6. Implementação analógica dos controladores.............................................................44 
 
 1.2.3.7. Exemplificação/ Aplicação............................................................................................46 
 1.2.4. PID Industrial..........................................................................................................................50 
 1.2.4.1.Definições....................................................................................................................50 
 1.2.4.2. Sintonia de controlador...............................................................................................51 
 1.2.4.3.Sintonia baseada na resposta em malha fechada.........................................................51 
 1.2.4.4. Aplicação: Controle de Temperatura de um forno simulado por uma lâmpada.........51 
 1.2.5. Diagramas de Nyquist e Bode...................................................................................................54 
 1.2.5.1.Definições. Diagrama de Bode....................................................................................54 
 1.2.5.2.Características do diagrama de Bode...........................................................................54 
 1.2.5.2.1 Ganho K .......................................................................................................54 
 1.2.5.2.2. Fatores integral e derivativo (jω)∓1 .............................................................54 
 1.2.5.2.3. Fatores de primeira ordem (1 + jωT) ∓1.......................................................55 
 1.2.5.2.4. Fatores quadráticos [1 + 2ξ ( jω/ωn) + (jω/ωn)2] ∓1......................................56 
 1.2.5.3. Exemplo.....................................................................................................................58 
 1.2.5.4. Conceitos fundamentais do Diagrama de Nyquist.....................................................59 
 1.2.5.5. Critério de estabilidade de Nyquist............................................................................60 
 1.2.5.6.Princípio do Argumento..............................................................................................62 
 1.2.5.7. Exemplo Adicional....................................................................................................63 
1.3.Conclusão..........................................................................................................................................64 
1.4. Anexos..............................................................................................................................................65 
 1.4.1. Aplicação de tipos de resposta.................................................................................................65 
 1.4.3. Aplicação de controladores......................................................................................................70 
 1.4.4. Aplicação de PID industrial.....................................................................................................77 
 1.4.5. Aplicação de diagramas de Bode e Nyquist.............................................................................80 
1.5.Referências Bibliográficas..................................................................................................................85 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
1.1. INTRODUÇÃO. 
 Tendo-se em vista a enorme importância adquirida pela ciência Sistemas de Controle e Modelagem de 
Processos nos últimos séculos, faz-se essencial a análise histórica de evolução dessa área. A parte operacional 
de controle adquiriu grande visibilidade e pioneirismo, especialmente a partir da eclosão da Revolução 
Industrial Inglesa, no século XVIII (1701-1800), onde se incentivou o investimento de capitais em tecnologias, 
maquinarias e derivados. Dentre fatos relevantes para evidenciar a aplicabilidade e a evolução dos estudos de 
controle nos segmentos industriais, temos os tópicos abaixo, dados em fluxograma: 
 
Figura 1. Regulador Centrífugo. Século XVIII. 
Fonte: tecnindcalamocha.wordpress.com402 × 326 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Controladores Automáticos para pilotagem de embarcações , 
por Minorsky, em 1922. 
Criado o Regulador Centrífugo de James Watt – Século XVIII 
Método de Nyquist para estabilidade de sistemas, em 1932. Será 
tratado posteriormente. 
Servomecanismos a Relé, por Hazen, em 1934. 
Métodos da Resposta em Frequência, através do Diagrama de Bode, na 
década de 1940, também sendo abordado posteriormente. 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sabendo-se da importância da Engenharia de Controle em diversos segmentos industriais, faz-se necessária 
uma breve introdução sobre as principais designações e atribuições de um profissional que esteja envolvido 
na área de controle e automação. A engenharia é uma ciência de extrema valia para diversas atividades 
econômicas, especialmente as de produção fabril, sendo fundamental no conhecimento e controle de materiais 
e forças da natureza para o benefício da humanidade. Cabem aos engenheiros de sistemas de controle o 
conhecimento e o controle de segmentos à sua volta, chamados frequentemente de sistemas, com o intuito de 
dotar a sociedade de produtos úteis e econômicos. Adicionalmente, muitas vezes também, sistemas de 
processos químicos são sistemas mal conhecidos pelos engenheiros.O maior desafio ao engenheiro de controle é a modelagem e o controle de sistemas modernos, complexos 
e interligados, como controle de tráfego terrestre, processos químicos e sistemas robóticos. Simultaneamente, 
o engenheiro tem a oportunidade de controlar muitos dos sistemas úteis e interessantes ligados à automação 
industrial. Provavelmente, a atribuição característica mais importante de um profissional na área de controle 
e simulação seja a oportunidade de controlar máquinas e processos industriais e econômicos para o benefício 
da sociedade. 
 Complementando essa introdução de sistemas de controle, entende-se que esta ciência apresenta conceitos 
básicos fundamentais para a compreensão posterior de tópicos concernentes à disciplina. Dentre essas 
definições, podemos citar abertamente: 
a) Sistema: Constitui-se em uma disposição, conjunto ou coleção de partes interligadas ou relacionadas de tal 
forma a formarem um todo, um conjunto. Pode ser de caráter físico, biológico, econômico, mecânico, elétrico, 
térmico, óptico, entre outros. 
b) Controle: Estuda como agir sobre um dado sistema de modo a obter um resultado arbitrariamente 
especificado. 
Em 1960, a descrição de um sistema moderno necessita de um grande 
número de equações, tendo várias entradas e saídas, tendo a abordagem 
de variáveis de estado. 
No período entre 1960 e 1980, houve o Controle ótimo de sistemas 
determinísticos e estocásticos, controle adaptativo e técnicas de 
aprendizagem. 
Em 1980 até os dias atuais, os computadores digitais passam a ser 
parte integrante do sistema de controle. 
3 
 
c) Controlador: Dispositivo utilizado para controle de um sistema. 
d) Sistema de controle: Conjunto formado pelo sistema a ser controlado e o controlador. 
e) Sistema de controle a Malha Aberta: É aquele tipo de sistema em que a saída ou resposta não possui 
influência sobre a entrada. 
 
Figura 2. Sistema de Controle a Malha Aberta. 
f) Sistema de controle a Malha Fechada: É aquele em que a saída ou resposta influencia a entrada do sistema. 
 
Figura 3. Sistema de Controle a Malha Fechada. 
 Sabendo-se da grande diversificação de áreas da engenharia de controle, temos diversos exemplos de 
aplicações possíveis para sistemas de controle: 
1. Sistemas de Controle de Velocidade. Situação rotineira, em que o controlador da velocidade de um 
veículo, por exemplo, são os pedais de freio, aceleração e embreagem. A entrada desejada de um sistema como 
esse envolve a velocidade ideal. 
 
Figura 4 – Sistemas de controle de velocidade. 
Fonte: http://slideplayer.com.br/slide/291078 
2) Sistemas de Controle de Temperatura: Outra situação comum na área de controle envolve a variação de 
temperatura de um ambiente. 
4 
 
 
Figura 5- Sistemas de Controle de Temperatura. 
Fonte: http://slideplayer.com.br/slide/291078 
 
 
Figura 6- Sistema Típico de Controle de processo industrial. 
Fonte: Sistema de Controle I. Resumo. UFRN. 
 
 Após esse tratamento inicial de sistemas de controle, deve-se entender a importância de estudar elementos 
básicos de controle como Modelagem de diversos sistemas, critérios como observabilidade, controlabilidade 
relacionados ao método de decomposição de Kalman, critério de estabilidade por Routh-Hurwitz e Diagramas 
de Nyquist, tipos de respostas a sistemas de segunda ordem, controladores e PID, além do diagrama de Bode. 
 Resumidamente, o método de decomposição de Kalman é uma ferramenta matemática para escalonar e 
transformar sistemas não controláveis ou não observáveis em, respectivamente, controlável e observável. Já 
o critério de Nyquist é utilizado para estabelecer relações fundamentais entre a resposta em frequência do 
sistema em malha aberta com a estabilidade do sistema em malha fechada. 
 Além disso, temos a análise do tipo de sistema em análise, dos controladores e PID Industrial, que serão 
devidamente abordados posteriormente. 
 
 
 
 
 
5 
 
1.2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
1.2.1. Decomposição de Kalman. 
1.2.1.1. Controlabilidade. 
O conceito de controlabilidade pode ser formulado com relação ao diagrama mostrado na figura 7. O 
processo G é dito ser completamente controlável se toda a variável de estado G puder ser controlada de forma 
a atingir um certo objetivo em um tempo finito por algum controle u(t) sobre o qual não existe nenhuma 
restrição. Um estado é dito incontrolável quando qualquer uma das variáveis do estado for independente do 
controle u(t), assim não existe maneira de se dirigir está variável de estado a um estado desejado em um tempo 
finito por meio de esforço de controle. 
 
Figura 7 – Esquema básico da controlabilidade. 
Um exemplo de sistema incontrolável é mostrado na figura 8, que mostra um diagrama de estado de um 
sistema linear com duas variáveis de estado. O controle u(t) afeta somente o estado x1(t), x2(t) é incontrolável. 
Assim, seria impossível dirigir x2(t) de um estado inicial x2(t0) a um estado desejado x2(tf) em um intervalo 
finito de tempo tf – t0 por um controle u(t). 
 
Figura 8 – Diagrama de estado de um sistema linear 
Por definição, um sistema linear invariante no tempo é descrito pelas seguintes equações: 
x´(t) = Ax(t) + Bu(t) (1) 
y(t) = Cx(t) + Du(t) (2) 
Onde: 
- x´(t) = vetor de estado n x 1 
- u(t) = vetor de entrada r x 1 
- y(t) = vetor de síada p x 1 
- A = matriz de coeficientes n x n 
- B = matriz de coeficientes n x r 
6 
 
- C = matriz de coeficientes p x n 
- D = matriz de coeficientes p x r 
O estado x(t) é dito ser controlável em t = t0 se existir um controle continuo por partes u(t) que leve o 
estado a qualquer estado final x(tf) em um intervalo finito de tempo (tf – t0) ≥ 0. Se todo estado x(t0) do sistema 
for controlável em um intervalo de tempo finito, o sistema é dito ser de estado completamente controlável. 
Teorema 1. Para sistema descrito pela equação de estado da equação 1 ser de estado completamente 
controlável, é necessário e suficiente que a matriz n x nr possua posto igual a n: 
S = [B AB A2B ... An-1B] (3) 
Como as matrizes A e B estão envolvidas, dizemos que o par [A,B] é controlável, o que implica que S seja 
de posto n. 
Exemplo 1: Determine a controlabilidade de estado do sistema descrito pela equação de estado 
 S = [ B AB] = [
1 1
0 0
] 
Rank(s) = 2, logo o sistema é de estado controlável. 
Exemplo 2: Determine a controlabilidade de estado do sistema descrito pela equação de estado 
 S = [ B AB] = [
1 −2
0 0
] 
Rank(s) = 1, logo o sistema não é de estado controlável. 
1.2.1.2. Observabilidade 
A observavilidade possui conceito bastante semelhante ao de controlabilidade. Assim, um sistema é 
completamente observável se toda a variável de estado do sistema afetar alguma das saídas. Se qualquer um 
dos estados não puder ser observado a partir de medidas de saídas, o estado é dito inobservável. A figura 9 
mostra o diagrama do estado de um sistema linear no qual o estado x2 não é observável. 
7 
 
Figura 9 – Diagrama de estado 
Por definição, um sistema linear que é descrito pelas equações dinâmicas das equações 1 e 2, o estado x(t0) 
é dito ser observável se dada qualquer entrada u(t) existir um tempo finito tf ≥ t0 tal que o conhecimento de 
u(t) para t0 ≤ t < tf; as matrizes A, B, C e D, e a saída y(t) para t0 ≤ t < tf são suficientes para se determinar x(t0). 
Se todo o estado do sistema for observável para um tf finito dizemos que o sistema é completamente 
observável.Teorema 2. Para o sistema descrito pela equação dinâmica das Eqs. 1 e 2 ser completamente observável, é 
necessário e suficiente que a seguinte matriz n x np possua posto igual a n: 
V = 
[
 
 
 
 
𝐶
𝐶𝐴
𝐶𝐴2
…
𝐶𝐴𝑛−1]
 
 
 
 
 (4) 
 Quando as condições acima se verifica dizemos que o par [A,C] é observável. 
Exemplo 3: Determinar a observabilidade do sistema descrito pela equação de estado: 
 V = [
𝐶
𝐶𝐴
]= [
1 0
1 1
] 
Rank(V) = 2, logo o sistema é de estado observável 
Exemplo 4: Determinar a observabilidade do sistema descrito pela equação de estado: 
 V = [
𝐶
𝐶𝐴
𝐶𝐴2
] = [
4 5 1
−6 −7 −1
6 5 −1
] 
Rank(V) = 2, logo o sistema não é de estado observável. 
8 
 
1.2.1.3. Decomposição estrutural por Kalman. 
Dado um sistema SISO (single-input single-output) com Rank(c) = nc < n e Rank (O) = no < n. Este 
sistema SISO não será nem controlável e nem observável. Assim, será necessário uma transformação que 
organize os modos do sistema, modos que: 
 são controláveis e observáveis; 
 não são nem controlável nem observáveis; 
 são controláveis, mas não observáveis; e 
 são observáveis, mas não controlável. 
Está transformação é denominada Decomposição por Kalman. 
1.2.1.3.1. Notações. 
 
Figura 10. Conjunto de Equações Lineares. 
 A derivação é idêntica para tanto os sistemas de tempo discreto quanto contínuo. Sabe-se que os sistemas 
contínuos e discretos são assim conceituados: 
a) Sistema Contínuo: Todas as variáveis do sistema são funções de um tempo contínuo. 
b) Sistema Discreto: Envolve uma ou mais variáveis que são conhecidas somente em determinados instantes 
de tempo. 
A descrição de um sistema linear e contínuo é dada abaixo: 
 
 
Onde: 
 é o vetor de estado. 
y é o vetor de saída. 
u é a entrada ou controle vetorial. 
9 
 
A é a matriz de estado 
B é a matriz de entrada 
C é a matriz de saída 
D é a matriz de realimentação 
 Similarmente, um sistema de controle linear em tempo discreto é descrito como: 
 
 
Com significados similares para as variáveis. Adicionalmente, o sistema é desenvolvido usando um 
método consistindo de quatro matrizes (A,B,C,D). Deixar a ordem do sistema ser n. Então, a 
decomposição de Kalman é definida como a transformação da série (A,B,C,D) para 
como se segue abaixo: 
 
 
 
 
 é uma matriz inversa n x n definida como: 
 
Onde, temos: 
 é uma matriz cujas colunas envolve o subespaço de estados que são controláveis, mas não 
observáveis. 
 é escolhida para que as colunas de sejam a base de um subespaço atingível ou 
controlável. 
 é escolhida para que as colunas de sejam a base de um subespaço não 
observável. 
 é escolhida para que seja inversível. Por construção, a matriz T é 
inversa. Pode ser observado que a soma dessas matrizes podem ter dimensão zero. Por exemplo, se 
o é tanto observável quanto controlável, logo , fazendo as outras matrizes terem dimensão 
nula. 
 
10 
 
1.2.1.3.2. Decomposição dos modos controláveis. 
Separa-se apenas o subespaço controlável a partir do resto do estado-espaço. Considera-se uma matriz de 
transformação V, onde as primeiras colunas nc são um conjunto máximo de colunas linearmente independente 
(L.I) da matriz de controlabilidade C, o restante das colunas n – nc são escolhidos para serem linearmente 
independentes das primeiras colunas nc e linearmente independentes entre si. A matriz transformação é n x n, 
defina como: 
V = [ v1 ... vnc l vnc+1 ... vn] ≜ [V1 V2] (5) 
É fácil de mostrar que o sistema de transformada (xk = V�̅�k) é: 
�̅�k+1 = V-1 A V�̅�k + V-1Bu (6) 
Yk = C V�̅�k (7) 
Dividindo em partes V-1 como: 
V-1 = [
 𝑉1
�̅�2
̅̅ ̅̅
] (8) 
Onde 𝑉1̅̅̅̅ é nc x n e 𝑉2̅̅̅̅ é (nc x n) x n . Notando-se que: 
 (9) 
Com o mesmo procedimento, obtemos: 
𝑉2̅̅̅̅ 𝑉1 = 0, pois C encontra-se no espaço nulo de 𝑉2̅̅̅̅ . (10) 
Continuando: 𝑉2̅̅̅̅ B = 0 e 𝑉2̅̅̅̅ AV1 = 0 (11) 
O sistema transformado da Eq. 6 é dado por: 
 (12)
 (13) 
Lembrando que uma transformação de similaridade não muda o posto da matriz de controlabilidade, C, 
do sistema de transformada. Matematicamente: 
11 
 
Rank (𝐶̅) = rank ( [ V-1B (V-1AV) V-1B ... (V-1AV)n-1 V-1B]) 
= rank ( [V-1B V-1AB ... V-1An-1B]) 
= rank (V-1 [ B AB ... An-1B] 
= rank ( A AB ... An-1B] 
= rank (C) 
= nc 
Além disso: 
Rank (𝐶̅) = rank ( [ �̅� 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ... �̅�nc-1�̅� │... �̅�n-1�̅�]) 
= rank ([𝐵𝑐 𝐴𝑐𝐵𝑐 … 𝐴𝑐
𝑛𝑐−1𝐵𝑐
0 0 … . 0
]) 
= nc 
Foi utilizado o Teorema de Cayley-Hamilton, para mostrar que o subsistema (Ac, Ac) é controlável. 
Assim, usando a matriz transformação V, definido na Eq. 5, transformamos o sistema original xk+1 = Axc 
+ Buk no seguinte sistema: 
xk+1 = Axc + Buk (14) 
≜ [
�̅�𝑐(𝐾 + 1)
𝑥𝑐̅̅ ̅(𝑘 + 1) 
] = [
𝐴𝑐 𝐴𝑐𝑐̅
0 𝐴𝑐̅
] [
�̅�𝑐(𝑘)
𝑥𝑐̅̅ ̅(𝑘)
] + [
𝐵𝑐
0
] uk (15) 
de tal modo que o estado-espaço transformada é separada num subespaço controlável e num subespaço 
incontrolável. 
 Considerando o sistema transformado da equação 14 e partido do estado-vetor transformado, �̅�(𝑘), 
em um nc x 1 componente, �̅�𝑐(𝑘), e um n – nc x 1, temos: 
�̅�𝑐(𝑘 + 1) = 𝐴𝑐�̅�𝑐(𝑘) + 𝐴𝑐𝑐̅𝑋𝑐̅̅̅̅ (𝑘) + 𝐵𝑐𝑢k (16) 
𝑋𝑐̅̅̅̅ (𝑘 + 1) = 𝐴𝑐̅𝑋𝑐̅̅̅̅ (𝑘) (17) 
É visível que o subsistema inferior 𝑋𝑐̅̅̅̅ (𝑘), não é controlável. No espaço de coordenadas transformadas, 
�̅�k, só podemos orientar uma parte, �̅�𝑐(𝑘), dos estados transformados. O subespaço de Rn podendo ser 
denotado como R(C), definida como o espaço de C, em que R© é chamado subespaço controlável. 
12 
 
Por fim, os valores próprios das matrizes semelhantes, A e V-1AV, são os mesmos. Lembrando da 
estrutura de V-1AV da Eq. 12, como V-1AV possui o triangulo superior, os valores próprios de Ac e A𝑐̅, chama 
os valores próprios controláveis e valores próprios incontroláveis, respectivamente. 
1.2.1.3.3. Decomposições dos modos observáveis. 
Podemos facilmente seguir a mesma ideia e chegar a uma outra transformação, xk = Wxk em que W não 
contém linhas linearmente independentes de O e o restante das linhas são escolhidas para serem linearmente 
independente da primeira linha ( e linearmente independentes entre si). Por fim, o sistema de transformada 
Xk+1 = Axk + Buk, 
= [
𝐴𝑜 0
𝐴�̅�𝑜 𝐴�̅�
] xk + [
𝐵𝑜
𝐵�̅�
] uk,(18) 
yk = [𝐶𝑜 0] xk (19) 
é separado em um subespaço observável e um subespaço não observável. Podemos escrever este resultado 
como um teorema. 
Teorema 3. Considere o sistema DT LTI 
Xk+1 = Axk 
Yk = Cxk 
Onde A ∈ Rnxn e C ∈ Rpxn . Seja O a matriz de observabilidade. E se o rank(O) = no < n, não existe uma 
matriz uma matriz não singular, W ∈ Rnxn de tal modo que 
W-1AW = [
𝐴𝑜 0
𝐴�̅�𝑜 𝐴�̅�
], CW = [ Co 0] 
Onde Ao ∈ Rnoxno, Co ∈ Rnoxne (Ao, Co) é observável. 
 Ao aplicar cuidadosamente uma sequência de controlabilidade e onservabilidade transformadas, a 
decomposição completa de Kalman resulta em um sistema da seguinte forma: 
(20) 
13 
 
 (21) 
1.2.1.3.4 Teorema da decomposição de Kalman. 
Teorema 4. Dado um sistema DT LTI que não é nem controlável e nem observável, existe uma transformação 
não singular, x = Tx̌, de tal modo que a dinâmica do sistema pode ser transformada na estrutura dada pelas 
equações 20 e 21. 
Exemplo 5: Considere o sistema 
 
Para obter a forma controlável, primeiro determinar a matriz de controlabilidade C, depois construir uma 
transformação equivalência das suas colunas linearmente independentes aumentada para uma base. 
C = 
[
 
 
 
 −1 4 
55
2
0 0 0
−2 −
13
2
 −
41
4
]
 
 
 
 
 
P-1 = Q = [
−1 4 0 
0 0 0
−2 −
13
2
 0
] 
Assim, encontramos �̅� = 𝑃𝐴𝑃−1, 𝐵 ̅ = 𝑃𝐵 𝑒 𝐶̅ = 𝐶𝑃−1 ou 
14 
 
 
 
Que está na forma controlável com �̅�𝑐 2 𝑥 2 𝑒 𝐴𝑐̅̅ ̅ 1 𝑥1. 
Para obter a decomposição de Kalman, primeiro determinar se o sistema é observável. A matriz de 
observabilidade é 
O = [
1 1 − 1
1
2
 0 −
11
2
−
29
4
 0 − 61/4
] 
Que tem o rank completo. Assim, o sistema já está em forma de Kalman: �̅�𝑐 = �̅�𝑐𝑜, 𝐴𝑐̅̅ ̅ = 𝐴𝑐̅̅ ̅𝑜 𝑒 �̅�𝑐 =
 𝑐̅𝑜, mas não há uma �̅�𝑐�̅� nem uma 𝐴𝑐𝑜̅̅ ̅̅ ̅ nem uma �̅�𝑐�̅�. 
1.2.1.4. Exemplos adicionais. 
 
Exemplo 1 - Considere o sistema na Forma Modal Canônica, verificando o comportamento do mesmo: 
 x= [
ʎ1 1 0 0
0 ʎ1 0 0
0 0 ʎ2 0
0 0 0 ʎ1
]x + [
1
0
0
2
]u 
 y = [1 0 1 1]x Resolução: 
Sabendo que parâmetros como controlabilidade e observabilidade já foram estudados, temos que: 
- O primeiro ʎ1 é controlável e observável. 
- ʎ2 não é controlável, embora seja observável. 
- ʎ3 é controlável e observável. 
Portanto, o sistema pode ser dado por: 
X = [
ʎ1 0
0 ʎ3
] x + [
1
2
] u e y= [1 1]x 
 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2 – Decomposição Controlável e Não-Controlável. 
 Considere o sistema de terceira ordem abaixo. Avalie o rank de controlabilidade da matriz. 
‘x’ = [
1 1 0
0 1 0
0 1 1
]x + [
0 1
1 0
0 1
] u 
y = [1 1 1] x 
rank C = rank [𝐵 𝐴𝐵 𝐴. 𝐴. 𝐵] = rank [
0 1 1 1 2 1
1 0 1 0 1 0
0 1 1 1 2 1
]= 2<3 
Logo, o sistema não é controlável. 
Pegue a mudança de coordenadas formada pelas primeiras duas colunas de C e uma terceira coluna 
arbitrária independente das outras duas. P-1 = Q = [
0 1 1
1 0 0
0 1 0
] 
 Fazendo ‘x’ = P.x., nós obtemos as equações equivalentes: 
‘x’= [
1 0 : 0
1 1 : 0
… … … …
0 0 : 1
] x + [
1 0
0 1
… …
0 0
] u 
y = [1 2 : 1 ]x 
E o sistema controlável reduzido: 
‘x’ = [
1 0
1 1
]x + [
1 0
0 1
]u 
y= [1 2]x 
Que tem a mesma matriz de transferência do que o sistema original. 
16 
 
1.2.2. CLASSIFICAÇÃO DAS RESPOSTAS. 
1.2.2.1.Definições. 
 Após a compreensão de conceitos fundamentais de sistemas de controle, entende-se que o engenheiro ou 
o profissional envolvido na área deve obter a representação matemática de um sistema, sendo o mesmo 
analisado a partir das respostas transitórias e de regime permanente, sendo conceituadas abaixo: 
1) Resposta Transitória: parte da resposta que vai do estado inicial até o estado final. 
2) Resposta Estacionária: Maneira como a saída se comporta quando t tende a infinito. 
 Na análise e no projeto de sistemas de controle, devemos obter uma base de comparação de desempenho 
de vários sistemas de controle. Essa base de comparação pode ser estabelecida detalhando-se sinais de entrada 
de teste específicos e em seguida, comparando as respostas dos vários sistemas com esses sinais. Neste 
presente trabalho, apresenta-se um estudo sobre a parte transitória da resposta dinâmica do sistema. Os 
modelos destes sistemas dinâmicos são classificados pela ordem das equações diferenciais que os representam. 
No caso desta pesquisa, será focado em sistemas de primeira e segunda ordem. 
 Sabendo da importância da classificação dos tipos de respostas de sistemas, deve-se necessariamente 
conhecer o significado de alguns termos fundamentais para a compreensão melhor do conteúdo. Então, 
apresenta-se a tabela abaixo: 
Tabela 1. Conceitos de Polos, Zeros e Respostas de Sistema. 
O conceito de Polos e Zeros é fundamental à análise e projeto de sistemas de controle, pois simplificam a 
análise qualitativa da resposta do sistema dinâmico. 
Polos de uma Função de Transferência - Os polos são os valores das variáveis de Laplace, s, que tornam a 
função de transferência infinita, ou quaisquer raízes do denominador da função de transferência que são 
comuns às raízes do numerador. 
Zeros de uma Função de Transferência – Os zeros são os valores das variáveis de Laplace, s, que tornam a 
função de transferência nula, ou quaisquer raízes do numerador da função de transferência que são comuns 
às raízes do denominador. 
 
1.2.2.2. Polos e zeros de um sistema de primeira ordem: Um exemplo. 
Dada a função de transferência G(s) mostrada na figura abaixo: 
 
Figura 11– Função de Transferência 
17 
 
 Observa-se que ela possui um polo em s= -5 e um zero em s= -2. Esses valores são representados 
graficamente no plano s complexo mostrado na representação abaixo , utilizando “X” para o polo e “O” para 
o zero. 
 Para mostrar as propriedades dos polos e zeros, é necessário determinar a resposta ao degrau unitário do 
sistema. Multiplicando-se a função de transferência da figura acima por uma função degrau, obtêm-se: 
 
 A partir da resolução do exemplo acima e do entendimento do que são os polos e os zeros dentro de uma 
função de transferência, chegamos as seguintes conclusões: 
1) Um polo da função de entrada gera a forma da resposta forçada (isto é, o polo na origem gerou uma 
função degrau na saída). 
2)Um polo da função de transferência gera a forma da resposta natural (isto é, o polo em -5 gerou a função 
e-5t). 
3) Um polo sobre o eixo real gera uma resposta exponencial da forma e-αt, onde –α é a localização do polo 
sobre o eixo real. Assim, quanto mais à esquerda no eixo real negativo estiver o polo, mais rápido o 
decaimento da resposta de transiente exponencial par zero. 
4) Os zeros e os polos geram as amplitudes tanto para a resposta forçada quanto para a resposta natural. 
 
Figura 12 – Representação dos polos no plano. 
 
1.2.2.3.Sinais de testes típicos. 
18 
 
a) Entrada degrau: A função de entrada em degrau representa uma mudança instantânea na entrada de 
referência. A representação matemática da função degrau ou magnitude R é: 
r(t)=R, t>=0 
 r(t)=0, t<0 
R é ima constante real. A função degrau é mostradaabaixo como uma função do tempo. Esta função é muito 
utilizada como função de teste desde que seu salto inicial instantâneo revela a velocidade que um sistema 
responde a entradas com mudanças abruptas. 
 
Figura 13 – Comportamento da Função Degrau. 
 
b) Entrada Rampa: A função rampa é um sinal que muda constantemente com o tempo. Matematicamente, 
r(t)=R t us(t), onde R é uma constante real. A função rampa tem a habilidade de testar como o sistema pode 
responder a um sinal que muda linearmente com o tempo, mostrada na figura abaixo: 
 
Figura 14- Comportamento da Função Rampa. 
 c) Entrada Parábola: Esta função representa um sinal que é uma ordem mais rápida que a função rampa. 
Matematicamente, r(t)= (Rt2/2)*us(t), onde R é uma constante real e o fator ½ é adicionado por convenção 
matemática desde que a transformada de Laplace de r(t) é simplesmente R/s3. Este sinal é exposto na figura 
a seguir: 
 
Figura 15 – Comportamento da função parábola. 
19 
 
 Desde a função degrau até a função parábola, os sinais se tornam progressivamente mais rápidos em 
relação ao tempo. 
 
1.2.2.4.Sistemas de primeira ordem. 
 Considerando um sistema de primeira ordem sem zeros, descrito por uma função de transferência G(s) 
mostrada abaixo. Se a entrada for um degrau unitário, onde R(s)=1/s, a transformada de Laplace da resposta 
ao degrau é C(s), onde: 
C(s)= R(s).G(s) = 
𝑎
𝑎∗(𝑠+𝑎)
 (1) 
Aplicando-se a transformada inversa, a resposta ao degrau pode ser expressa como: 
c(t)=cf(t) + cn(t) = 1 – e-at (2) 
 Onde o polo de entrada n origem gerou a resposta forçada cf(t)= 1, e o polo do sistema em –a, conforme 
mostrado na figura abaixo, gerando a resposta natural cn(t)= e
-at. 
 
Figura 16 – Sistemas de primeira ordem. 
 A equação (2) é representada graficamente na figura a seguir. A equação (2) diz que, inicialmente, a 
saída c(t) é nula e finalmente se torna unitária. Examinando o significado do parâmetro a, quando t=1/a, 
temos: 
 
 
Figura 17 - Representação gráfica da equação (2). 
20 
 
1.2.2.5. Propriedades dos sistemas de primeira ordem. 
a) Constante de Tempo: Denomina-se o fator 1/a como constante de tempo. Da equação (3) acima, trata-se 
do tempo para e-at decair 37% do seu valor inicial, ou o tempo para a resposta ao degrau alcançar 63% do seu 
valor final. Como o polo da função de transferência está em –a, podemos dizer que o polo está localizado na 
recíproca da constante de tempo, e quanto mais afastado o polo estiver do eixo imagiário, mais rápida será a 
resposta transiente. 
b) Tempo de Subida, Tr: é o tempo necessário para a resposta passar de 10% até 90% do seu valor final. O 
tempo de subida é obtido da equação (2). 
 
 
c) Tempo de assentamento: é o tempo necessário para a curva alcançar e permanecer dentro de uma faixa 
em torno de 2% do seu valor final. Considerando-se c(t)=0,98 e resolvendo a equação (2) em função do tempo, 
tem-se: 0,98=1 – e-aTs 
Ts=4/a 
 
1.2.2.5.1. Análise da Resposta transitória 
Uma das características mais importantes dos sistemas de controle é a sua transitória. A resposta 
transitória é a resposta de um sistema como uma função do tempo. Visto que o propósito dos sistemas de 
controle é proporcionar uma resposta desejada, a resposta transitória de sistema de controle frequentemente 
deve ser ajustada até que seja satisfatória. 
 Resposta transitória – Função do tempo que vai do estado inicial até o final 
 Resposta estacionária (regime permanente) – Maneira como o sinal de saída do sistema se comporta 
quanto t tende ao infinito 
Após o obter-se a representação matemática de um sistema, este sistema é analisado a partir de suas 
respostas transitórias e de regime permanente. Para verificar se suas características estão de acordo com o 
comportamento desejado. Os processos reais consistem na combinação de sistemas básicos elementares. 
1.2.2.6.Sistemas de Segunda ordem. 
21 
 
 Enquanto a variação dos parâmetros dos sistemas de primeira ordem alteram apenas a velocidade da 
resposta, as alterações nos parâmetros dos sistemas de segunda ordem, por exemplo, podem mudar o formato 
da resposta do sistema que estamos interessados. 
 Por exemplo, um sistema de ordem 2 pode apresentar características muito similares as de um sistema de 
primeira ordem ou, dependendo dos valores de seus elementos, apresentar oscilações puras ou amortecidas 
para sua resposta transiente. 
 Vamos focar agora em avaliar as respostas dos sistemas de segunda ordem em diversas situações. 
 
a) Resposta Superamortecida: Como essa parte envolve essencialmente cálculos, foca-se em exemplos para 
que se entenda o funcionamento, 
Polos: dois polos reais –a e –b. 
Resposta Natural: duas exponenciais com constantes de tempo iguais à localização dos polos: c(t)= K1e
-at 
+K2e
bt. 
Exemplo 1: Dada uma função C(s)=
9
𝑠(𝑠2+9𝑠+9)
, avalie o comportamento da mesma. 
Resolução: 
Para esta resposta, tem-se: C(s) = 
9
𝑠(𝑠+7,854)(𝑠+1,146)
 
Esta função possui um polo na origem, referente à entrada em degrau unitário, e dois polos reais decorrentes 
do sistema, o que resulta em uma resposta natural exponencial com frequências exponenciais iguais às 
localizações dos polos. 
C(t) = K1 + K2e
-7,854t + K3e
-1,146t. 
 
 Figura 18 – Resposta superamortecida. 
 
b) Resposta subamortecida: Outro tipo de resposta de sistemas de segunda ordem, que apresenta as seguintes 
características: 
Polos: dois polos complexos em –a (+/-)jω. 
Resposta natural: Senoide amortecida com um envelope exponencial cuja constante de tempo é igual à parte 
real do polo. A frequência em radianos da senoide é igual à parte imaginária dos polos: c(t)= Ke-atcos(ωt-ϴ) 
 
22 
 
 Outros parâmetros associados com a resposta subamortecida são: 
Tempo de Subida ( Rise Time – Tr): O tempo necessário para a forma de onde ir de 0,1 a 0,9 do seu valor 
final 
Tempo de Pico (Peak Time – Tp): O tempo necessário para atingir o primeiro pico. 
Porcentagem sobressinal (Percent Overshoot- %OS): O máximo valor de pico da curva da resposta, 
expresso como uma porcentagem do estado estacionário. 
Tempo de acomodação: O tempo necessário para que a curva de resposta alcance( e permaneça dentro) cerca 
de ±2% do valor estacionário. 
 
Exemplo 2: Dada a função abaixo, avalie a resposta do sistema: 
C(s)=
9
𝑠(𝑠2+2𝑠+9)
 = 
9
𝑠(𝑠+1−𝑗8∗∗
1
2
)(𝑠+1+𝑗8∗∗
1
2
)
 
 Esta função possui um polo na origem, proveniente do degrau unitário na entrada, e dois polos complexos 
decorrentes do sistema. Nesse caso, a parte real dos polos emprega um decaimento exponencial da amplitude 
da senoide, enquanto a parte imaginária do polo está relacionada à frequência da oscilação senoidal. 
c(t)= K1 + e
-5t(K2.cos(13,23t) + K3.sen(13,23t)) 
 
Figura 19 – Resposta subamortecida 
c) Resposta Não-Amortecida: Outro tipo de respostas para sistemas de segunda ordem é a resposta não-
amortecida. 
Polos: dois polos imaginários em ±jω. 
Resposta Natural: Senoide não amortecida com frequência em radianos igual à parte imaginária dos polos: 
c(t)=K.cos(ωt-ϴ). 
Mesmo caso anterior, com a=0. 
 
Exemplo 3: Dada a função de transferência abaixo, avalie o comportamento do sistema de segunda ordem: 
C(s)= 
9
𝑠(𝑠2+9)
 = 
9
𝑠(𝑠−𝑗3)(𝑠+𝑗3)
. 
Esta função possui um polo na origem, proveniente do degrau unitário na entrada, e dois polos imaginários 
decorrentes do sistema. Estes polos imaginários geram a resposta natural senoidal cuja frequência é igual a 
23 
 
localização do eixo imaginário. A ausência de uma partereal no par de polos implica em uma exponencial 
que não apresenta decaimento (e-0t=1). 
C(t) = K1 + K2.cos(3t -ϴ) 
 
Figura 20 – Resposta Não-amortecida. 
 
d) Resposta Criticamente amortecida: 
Polos: dois polos reais em –a. 
Resposta Natural: Um termo é uma exponencial com constante de tempo igual ao polo e o outro termo é uma 
mesma exponencial multiplicada pelo tempo: c(t)= K1e
-at + K2te
-at. 
 
Exemplo 4: Avalie a função de transferência abaixo quanto ao comportamento dos sistemas de segunda ordem: 
C(s) = 
9
𝑠(𝑠2+6𝑠+9)
 = 
9
𝑠(𝑠+3)^2
 
Esta função possui um polo na origem, proveniente do degrau unitário na entrada, e dois polos no eixo real da 
coordenada – 3 decorrentes do sistema. Estes polos reais geram a resposta natural que consiste em uma 
exponencial simples e uma exponencial multiplicada pelo tempo, onde a frequência das exponenciais é igual 
á coordenada de localização dos polos reais. 
C(t) = K1+ K2 e
-3t + K3t.e
-3t 
 
Figura 21 – Sistema criticamente amortecido. 
 
1.2.2.7.Sistemas de Segunda ordem gerais. 
24 
 
Sistema de segunda ordem (ou retardo quadrático) é aquele cuja resposta y(t) e seu comportamento 
dinâmico descrito por equações diferenciais de segunda ordem. Também pode ser composto por duas funções 
de transferência de primeira ordem em série. Em relação aos parâmetros dos sistemas de primeira ordem a 
velocidade da resposta é alterada, já nos sistemas de segunda ordem, podem mudar o formato da resposta. Um 
sistema de segunda ordem pode apresentar características semelhantes à sistemas de primeira ordem, ou, 
dependendo dos valores de seus elementos, apresentar oscilações puras ou amortecidas para sua resposta 
transiente. 
 
 
Se a0 ≠ 0, então 
 
 
Fazendo 
 
Tem-se 
 
 
Onde, 
τp – tempo característico ou período natural de oscilação: indica a rapidez (ou equivalentemente o 
tempo de resposta) com que a resposta do sistema reage a uma perturbação em certa entrada. 
ζ – fator de amortecimento: adimensional, é uma medida do grau de amortecimento (ou do caráter 
oscilatório) da resposta do sistema; isto é, o grau de oscilação na resposta após uma perturbação em alguma 
variável de entrada. 
Kp – ganho do processo: é a razão entre os valores finais da resposta e de uma determinada entrada 
considerada. 
 
 
 
Aplicando-se Transformada de Laplace, aplicando no domínio ”s” em ambos os lados da equação de 
um sistema de segunda ordem, temos: 
 
 
25 
 
Isolando Y(s) 
 
Resultando em 
 
 
ou 
 
 
 
 
A representação a seguir exibe as relações entre a localização das raízes da equação característica e α, 
ζ, ωn e ω. O gráfico aponta o caso de raízes complexas conjugadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 22 – Gráfico de localização das raízes características. 
Diagrama de Blocos: 
 
 
Resposta ao Degrau 
 
A função degrau de amplitude A é expressa por 
 
U(s) Y(s) 
α = parte real das raízes 
ωn = distancia radial das raízes ate a origem do 
plano-s 
ω = parte imaginaria das raízes 
ζ = cosseno do ângulo entre a linha radial ate as 
raízes e o eixo negativo quando as raízes estão 
no semi-plano esquerdo do plano-s 
26 
 
 
 
Onde u(t) é a função degrau unitário 
 
 
 
 
 
Assim, combinando a função de transferência de um sistema de 2ª ordem e a Transformada de Laplace 
da função degrau com amplitude A, obtém-se a equação característica abaixo: 
 
 
Cuja transformada inversa de Y(s), y(t), dependerá da natureza dos dois pólos (p1 e p2) da equação 
característica (o outro pólo se encontra na origem), assumindo assim as seguintes expressões: 
 
 
Em sistemas de 2ª ordem, as respostas transientes são apresentadas para três tipos de perturbações 
diferentes e comuns envolvendo a parte tanto experimental, quanto teórica do controle de processos. 
O comportamento dinâmico pode ser descrito em termos de parâmetros ζ e ωn. 
 Se 0 < ζ< 1 os polos de malha fechada são complexos conjugados, o sistema é chamado 
subamortecido e a resposta transitória é oscilatória. 
 Se ζ = 0 a resposta transitória não decai. 
 Se ζ = 1 o sistema é chamado criticamente amortecido. 
 Se ζ > 1 o sistema é chamado superamortecido. 
27 
 
 Representação 
gráfica das 
variações do 
comportamento 
dinâmico de um 
sistema de 2ª ordem 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 23 – Representação do comportamento de resposta do sistema. 
Tabela 2. Fatores de Amortecimento. 
Sendo, o caso de 
mais relevância 
o subamortecido 
ou oscilatória 
(“underdamped), 
neste caso, as 
duas raízes da 
equação 
característica (p1 
e p2) são 
complexas conjugadas, com parte real negativa. Portanto, a transformada inversa de Y(s), fornecerá. 
 
 
Forma 
Faixa do Fator de 
amortecimento 
Característica de 
resposta do 
sistema 
Características 
dos polos (raízes) 
1 ζ > 1 Superamortecido 
Pólos reais e 
distintos 
2 ζ = 1 
Criticamente 
amortecido 
Pólos reais e iguais 
3 0 < ζ < 1 Subamortecido 
Pólos complexos e 
conjugados 
, onde 
28 
 
 
 
 
 
O gráfico apresenta o comportamento de saída adimensional 
𝑦(𝑡)
𝐾𝑝𝐴
 contra o tempo adimensional 
𝑡
τ𝑝
: 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 24 – Representação Gráfica da saída adimensional contra o tempo adimensional. 
Tabela 3. Faixa dos fatores de amortecimento. 
 
 
 
 
 
 
 
Destacando: 
 Todas as curvas respostas ultrapassam o valor estacionário final. Se ζ < 0,707, as curvas respostas não 
só ultrapassam como também oscilam em torno do valor final. Elas tornam-se menos oscilatória à 
medida que ζ aumenta 
Forma 
Faixa do Fator de 
amortecimento 
Característica de 
resposta do 
sistema 
Características 
dos polos (raízes) 
1 ζ > 1 Superamortecido 
Pólos reais e 
distintos 
2 ζ = 1 
Criticamente 
amortecido 
Pólos reais e iguais 
3 0 < ζ < 1 Subamortecido 
Pólos complexos e 
conjugados 
Sistema de segunda ordem: resposta ao degrau (0 < 1) 
𝑡
τ𝑝
 
𝑦
( 𝑡
)
𝐾
𝑝
𝐴
 
 
29 
 
 O comportamento subamortecido é bastante comum em sistemas de controle. Por este motivo, foram 
criados diversos termos para descrever quantitativamente este tipo de resposta. 
Há uma série de parâmetros de interesse na resposta do sistema, eles são: 
Sobre-Elevação ("overshoot"): Quantidade máxima na qual a resposta ultrapassa o valor do estado-
estacionário. É representado como uma fração do valor em estado-estacionário 
𝐴
𝐵
. 
 
 
Característica da resposta oscilatória do degrau: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 25 – Característica da resposta oscilatória ao degrau. 
Tempo do Primeiro Máximo: Tempo em que o sistema atinge o 1º pico; isto é, para se alcançar a sobre-
elevação. 
 
 
Razão de Declínio ("decay ratio"): a razão de declínio, 
𝐶
𝐴
, Razão entre as amplitudes de dois picos 
consecutivos. Ela se relaciona com ζ pela expressão: 
30 
 
 
 
Em sistemas de segunda ordem, a RD é constante para par sucessivo de picos. Um ζ maior significa 
um amortecimento maior e, portanto, um declínio maior. 
Tempo de Ascensão: esse é o tempo que a resposta leva para alcançar pela primeira vez o seu valor final. 
Nota-se que tr aumenta com o aumento de ζ: 
 
 
Tempo de Resposta: esse é o tempo que a resposta leva para alcançar uma faixade ±5% do seu valor final e 
nela permanecer. Para 0 < ζ < 0,9, o tempo de acomodação correspondendo à faixa de ±5% é dado, 
aproximadamente, por: 
 
 
Caso seja utilizado o critério de ± 2%, então ts é dado por, aproximadamente, 
 
 
Período de Oscilação: a frequência, em radianos (radianos/tempo), da oscilação de uma resposta 
subamortecida é dada por: 
 
 
Desta forma, a frequência, em ciclos/tempo, é igual a: 
 
 
Período Natural de Oscilação: se o amortecimento é eliminado (ζ = 0), o sistema oscila continuamente, sem 
atenuação, com amplitude constante. Nestas condições naturais, ou não amortecidas, a frequência em radianos 
(radianos/tempo) é conhecida como frequência natural de oscilação, wn: 
31 
 
 
 
Desta forma, a frequência cíclica natural, em ciclos/tempo, é igual a: 
 
 
E o período natural de oscilação (tempo/ciclo) é igual a 
 
 
O efeito do amortecimento é reduzir a frequência a um valor inferior a frequência natural. No entanto, para 
valores de amortecimento 0 < ζ < 0,5, a frequência é somente um pouco menor do que a frequência natural e 
a diferença entre as duas, mesmo para ζ > 0,5,estáemtorno de 13%. 
No caso da resposta criticamente amortecida, as duas raízes da equação característica (p1 e p2) são iguais (raiz 
dupla) - p1 = p2 −
𝜁
𝜏𝑛
 com parte real negativa. Portanto, a transformada inversa de Y(s), y(t), fornecerá. 
 
 
O seguinte gráfico apresenta o comportamento da saída adimensional 
𝑦(𝑡)
𝐾𝑝𝐴
 contra o tempo adimensional 
𝑡
τ𝑝
: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
Figura 26 – Gráfico do comportamento da saída adimensional contra o tempo adimensional. 
A resposta para ζ = 1 permite a aproximação mais rápida e não oscilatória do seu valor final, semelhante a um 
sistema de 1ª ordem. Essa condição é chamada de amortecimento crítico e conhecida como resposta 
criticamente amortecida. 
 
 
 
 
 
 
Figura 27 – Análise gráfica do sistema. 
Em relação a resposta superamortecida ou não-oscilatória (“overdamped”) as duas raízes da equação 
característica (p1 e p2) são reais e negativas. A transformada inversa de Y(s), y(t), fornecerá: 
 
 
Resposta não-oscilatória 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 28 – Resposta não-oscilatória 
tr – tempo de subida (rise time) 
ts – tempo de acomodação (settling time) 
td – tempo de atraso (delay time) 
Mpt – valor de pico (maximum value) 
Mp – sobre-sinal máximo (overshoot) 
33 
 
O sistema de 2ª ordem pode ser considerado como o produto de dois sistemas de 1a ordem, com 
constantes de tempo τp1 e τp2 distintas. 
Notando que a resposta é não-oscilatória, não ultrapassa o valor final (sem sobre-elevação) e se torna 
mais prolongado à medida que ζ aumenta. 
 Reforçando, são medidas necessárias para descrever as características da resposta de transiente de sistemas 
de segunda ordem. Como a constante de tempo define para sistemas de primeira ordem. 
a) Frequência Natural, ωn: A frequência natural de um sistema de segunda ordem é a frequência de oscilação 
do sistema sem amortecimento. 
b) Coeficiente de amortecimento , ʇ (zeta) : Pode ser entendido como uma comparação entre a frequência 
de decaimento exponencial e a frequência natural. 
ʇ = 
(𝐹𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑐𝑎𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙)
(𝐹𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 (
𝑟𝑎𝑑
𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠
))
 
 A equação geral de um sistema de segunda ordem é: G(s)= 
𝜔n^2
𝑠2+2ʇωns+ωn^2
 
 
 
 
1.2.2.8. Sistemas de segunda ordem com realimentação unitária. 
 Considerando um sistema de controle de segunda ordem com realimentação unitária representado pelo 
diagrama de blocos a seguir. A função de transferência de malha aberta do sistema é dada por: 
 
34 
 
 Os efeitos dos parâmetros do sistema ʇ e ωn na resposta ao degrau y(t) podem ser estudados através da 
localização dos polos do sistema em malha fechada. 
1.2.2.9.Resposta de Sistemas com Zeros. 
 À medida que o zero se afasta dos polos dominantes, a resposta se aproxima de um sistema de segunda 
ordem. Considere um sistema com resposta C(s) sem zeros. Adicionar um zero ao sistema é o mesmo que 
termos: (s+a)C(s)=sC(s) + aC(s). Logo, a derivada da resposta original e uma versão em escala da resposta 
original. 
 Se a, o negativo do zero, é muito grande, a transformada de Laplace será aproximadamente aC(s), ou 
seja, apenas a versão em escala de resposta original. Se a não for tão grande, a resposta tem um componente 
adicional que é a derivada da resposta original. À medida que a diminui, o termo derivativo contribui mais e 
mais com a resposta e aumenta seu efeito. 
 Se a for negativo, o zero passa a estar no semiplano direito, o resultado para um sistema de segunda 
ordem pode ser visto a seguir, onde a resposta começa negativa até alcançar um valor de estado estacionário 
positivo. Tal sistema é chamado de sistema de fase não-mínima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
1.2.3.CONTROLADORES. 
1.2.3.1.Definições/Conceitos/Propriedades. 
 Quando o sistema em malha fechada não atende os requisitos de projeto em termos de desempenho em 
regime e transitórios desejados, deve-se modificar a função de transferência através do uso de um controlador 
ou compensador. Este, por sua vez, deve ter as propriedades adequadas para modificar as características do 
sistema, para que os requisitos do projeto sejam atingidos. Diversas estruturas de controle são possíveis, mas 
os controladores são escolhidos dentre alguns tipos básicos de estrutura, o que facilita a análise do seu 
comportamento e o projeto dos seus parâmetros. 
 Geralmente, quanto mais complexa a estrutura de um controlador, com maior número de parâmetros, maior 
é a liberdade em atender diversos requisitos do projeto, mas mais complexo é o ajuste dos parâmetros. 
Basicamente, o projeto de sistemas de controle visa obter um desempenho do sistema tal que: 
1 – o sistema seja estável. 
2- a resposta transitória do sistema seja “aceitável”. 
3- o erro em regime permanente que atenda às especificações. 
 Pode-se dizer, de uma maneira ampla, que o projeto de sistema de controle diz respeito ao arranjo da 
estrutura do sistema e à seleção de parâmetros ( e componentes) convenientes. A alteração na estrutura e/ou 
ajuste de um sistema de controle de modo que se obtenha o desempenho desejado é chamada compensação. 
Como o próprio nome sugere, a compensação visa suprir as deficiências do sistema com o fim de se obter o 
desempenho desejado. 
 
1.2.3.2. Compensação Série. 
 Tipo de compensação mais comum. Seja G(s) a função de transferência do processo e C(s) a função de 
transferência do controlador ou compensador. Como D(s) é conectado em cascata com C(s), a função de 
transferência de malha fechada do sistema composto, supondo-se realimentação unitária, será C(s)G(s). A 
função de transferência C(s) do compensador tem geralmente uma estrutura fixada (que pode ser alterada no 
decorrer do projeto) e seus parâmetros são escolhidos de modo a se alterar a forma da resposta em frequência 
de G(s). No caso mais geral, C(s) tem a forma indicada abaixo: 
 
Figura 29 – Cálculo de C(s) 
 
1.2.3.3.Características desejáveis do sistema controlado. 
36 
 
 Todo tipo de sistema de malha fechada deve apresentar algumas características básicas tanto do ponto de 
vista do desempenho em regime permanente quanto em regime transitório. O desempenho transitório envolve 
a estabilidade, amortecimento e tempo de resposta. O desempenho no regime permanente refere-se aoserros 
em regime a diversos sinais padrão. De forma resumida, descrevemos os requisitos de projeto como sendo: 
a) Estabilidade: Esta é uma característica fundamental para sistemas de controle, que devem ser estáveis para 
a faixa de variação esperada dos parâmetros. 
b) Boa resposta transitória: Em termos de desempenho dinâmico, além da estabilidade o sistema deve 
apresentar uma adequada resposta transitória, no sentido de que o amortecimento deve ser elevado e o tempo 
de resposta deve ser reduzido. 
c) Erro nulo ou baixo: O sistema deve apresentar um erro nulo ou baixo em regime permanente e sinais 
padrão como degrau, rampa ou parábola. O sinal a ser usado depende dos objetivos de sistema de controle. 
 
1.2.3.4. Posições dos polos. 
 A posição dos polos dominantes do sistema pode ser relacionada ao amortecimento e tempo de resposta do 
sistema. Do ponto de vista do desempenho transitório, quanto mais afastados os polos dominantes do eixo 
imagimário, mais rápido é o sistema. O amortecimento também aumenta com a proximidade dos polos do 
eixo real. Se o sistema em malha fechada não tem o desempenho transitório esperado, então o controlador 
deve modificar o lugar das raízes assegurando que os polos dominantes estejam localizados de tal forma a 
atender àqueles requisitos. 
 Do ponto de vista do desempenho em regime permanente, o ganho correspondente à posição dos polos 
dominantes deve ser alto o suficiente para garantir que o erro esteja dento da faixa fixada. Novamente o 
controlador deve atuar no sentido de atender a este requisito, mas sem alterar o lugar das raízes 
significativamente em torno da posição dos polos dominantes. 
 
1.2.3.5. Estrutura de controladores. 
1.2.3.5.0. Ação liga-desliga (on-off). 
 Em muitos sistemas básicos, o controle pode ser efetuado a partir de uma simples chave liga-desliga que é 
acionada/desacoplada, por exemplo, a partir de uma determinada temperatura ou nível do reservatório. Nesse 
tipo de ação, o controlador compara o sinal de entrada com a realimentação e, se a saída superar a entrada, 
desliga o atuador; se a realimentação for menor, liga o atuador. 
 Refrigeradores são exemplos nos quais um termostato controla o compressor, que é um controlador liga-
desliga com par bimetálico. Quando a temperatura fica abaixo de um determinado valor, um dos metais se 
dilata mais que o outro, vergando-se e abrindo o contato, o que leva o compressor a se mudar, e algum tempo 
depois o bimetálico retorna à posição original, fechando o contato e ligando o compressor novamente. 
 A seguir, uma representação ilustrativa do processo dito acima. 
 
37 
 
 
Figura 30 – Representação de funcionamento de um controlador liga-desliga com bimetálico. 
 
 Esta é a ação de controle mais básica e, geralmente, o controlador é modelado por um relé conforme o 
diagrama de blocos representado abaixo. 
 
Figura 31 – Diagrama de blocos de um controlador liga-desliga. 
 
 O sinal de controle assume apenas dois valores, de acordo com um erro positivo ou negativo. Para evitar uma 
perturbação devida a ruídos para valores próximos de zero, utilizamos um controlodor on/off com histerese. 
O comportamento deste controlador é representado na figura abaixo. Observe que é necessário que o erro 
fique abaixo de E2 para que haja um chaveamento de U1 para U2. De forma similar, é necessário que o erro 
ultrapasse E1 para que haja um acoplamento para U1. 
 
Figura 32 – Curva de histerese. 
38 
 
 Com o intuito de entender melhor a curva de histerese, considere o exemplo do forno de aquecimento. 
Imagine que o objetivo de controle é manter a temperatura constante em 175ºC e que, devido a alterações na 
temperatura ambiente, seja introduzida uma pequena variação de temperatura, possivelmente entre 174ºC e 
176ºC (a 1ºC). Nessa situação, a válvula seria constantemente acionada para ligar e desligar, o que pode 
ocasionar dano físico. A histerese retarda o sinal, e a válvula que controla o gás é acionada quando a 
temperatura cai abaixo da temperatura mínima estipulada, como 170ºC, e só desligará quando a temperatura 
ultrapassar a temperatura máxima, como 180ºC. 
 As vantagens deste controlador são a simplicidade e o baixo custo. A desvantagem reside na contínua 
oscilação da saída entre os limites de atuação do controlador conhecida como histerese. Esta inerente 
instabilidade é devida à inexistância de uma realimentação negativa para diminuir o seu ganho que, 
teoricamente, é infinito. A oscilação não garante precisão e pode desgastar o controlador e o atuador pelo 
excesso de partidas. 
 
1.2.3.5.1.Controlador Proporcional. 
 A ação proporcional de controle pode ser considerada uma evolução do modo de controle liga/desliga. Este 
tipo de ação atua conforme o valor do erro. O controlador proporcional fornece energia ao processo com valor 
proporcional à diferença entee o setpoint e o valor da variável controlada. Em outras palavras, na presença de 
erro nulo a grandeza a ser controlada está estabilizada, não necessitando, portanto, de nenhuma ação do 
controlador, e a partir do momento que houver diferença, o controlador atua, com valor tanto maior, à medida 
que o erro for maior. Este tipo de controlador é ainda relativamente simples e de baixo custo, dependendo do 
processo a ser controlado, pode apresentar o chamado erro de regime permanente (off-set), com a tendência 
do valor permanecer pouco abaixo do ponto de controle, prejudicando a precisão desta ação. 
 Neste caso o controlador é simplesmente um ganho. A função de transferência é dada por C(s)=K. O sinal 
de controle é dado por u=K.e. Como apenas um parâmetro pode ser ajustado, o atendimento de requisitos de 
projeto é limitado. Como exemplo suponha o processo de temperatura de saída de um trocador de calor 
mostrado na figura abaixo: 
 
Figura 33 - Estrutura do controlador proporcional. 
 
39 
 
 
Figura 34 – Aplicação controlador. 
 Em termos de cálculo, temos que as fórmulas básicas para cálculo são: 
1) u(t) = Kce(t) + us 
2) e(t) = ysp(t) – ym(t) 
 Onde, Kc é o ganho proporcional e us é a Bias do controlador, saída quando e=0. 
Temos também características fundamentais para o controlador proporcional, logo: 
a) Banda proprocional: É a percentagem da faixa de variação da variável controlada necessária para que a 
saúda do controlador passe do valor mínimo ao valor máximo. 
PB = 100
∆
→ 𝑦𝑚𝑎𝑥
∆
→ 𝑢𝑚𝑎𝑥
 PB =
100
∆
→𝑈𝑚𝑎𝑥/
∆
→𝑦𝑚𝑎𝑥
 PB = 
100
𝐾𝑐
 
Onde Kc = 
∆
→ 𝑢
∆
→ 𝑦
 = 
∆
→ 𝑢𝑚𝑎𝑥
∆
→ 𝑦𝑚𝑎𝑥
 
 
Figura 35 - Banda proporcional. 
 Quando o ganho proporcional é expresso em %saída/ %entrada, a banda proporcional é representada 
como um valor percentual. Comumente, entre 1 a 500%. A maior vantagem do uso de banda proporcional é 
que uma grande variação na banda proporcional causa uma pequena variação no ganho do controlador. A 
desvantagem da ação proporcional é a incapacidade de eliminar o erro no estado estacionário (offset) após 
uma alteração de setpoint e perturbação. 
 
 
40 
 
1.2.3.5.2.Controlador proporcional derivativo. 
 O controlador puramente derivativo tem uma ação de controle dada por u(t)= KTD
𝑑𝑒
𝑑𝑡
, ou seja, proporcional 
e derivada do erro. A constante TD é a constante de derivação. A função de transferência do controlador é dada 
por C(s)=KTDs. Observa-se que, se e(t) é constante, a saída do controlador é zero. No controle derivativo, a 
correção depende da taxa de variação do erro. Um controlador derivativo exibe uma resposta antecipatória, 
estando adiantado