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P3 - Probabilidade e Estatística – 2013.2 Dpto. Engenharia Elétrica, PUC-Rio. Professores: Reinaldo Castro Souza, Roxana Jimenez Contreras e Alexandre Street Problema 1 (1.5 pt) a) (0.5 pt) O que vem a ser um “estimador” e uma “estimativa” de um parâmetro. SOLUÇÃO Estimador são as fórmulas (funções) dos dados da amostra que são usadas para definir um resultado para estimar um parâmetro. Estimativa é o resultado de um estimador quando substituímos os valores da amostra na fórmula. b) (0.5 pt) Qual a diferença entre as densidade Normal e T-Student. Em que situação elas ficam aproximadamente iguais? SOLUÇÃO A “t-student”vira uma Normal, é quando a sua curva em relação a Normal é mais achatada, e quando o grau de liberdade for maior que 30, “t-student” vira uma “Normal”. c) (0.5 pt) Qual o procedimento formal em um teste de hipótese para se estabelecer os parâmetros: alfa (probabilidade do erro tipo I) e beta (probabilidade do erro tipo II)? SOLUÇÃO O erro do tipo I “(alfa) é fixado pelo usuário e o erro do Tipo II (beta) é minimizado. Decisão tomada Aceitar H₀ (Rejeitar H₁) Rejeitar H₀ (Aceitar H₁) Estado da realidade H₀ é verdadeira DECISÃO CORRETA Erro do tipo I (α) (H₁ é falsa) H₁ é verdadeira Erro do tipo II (β) DECISÃO CORRETA (H₀ é falsa) Problema 2 (1.7 pts) Você é contratado para realizar pesquisas de opinião para um determinado candidato que está concorrendo a eleição presidencial de um dado sindicado. Cada pesquisa deve ser feita em uma amostra de “n” sindicalizados e estão previstas “N” repetições desta pesquisa. Determinar qual o modelo probabilístico que você adotaria para estimar a proporção de eleitores favorável a este candidato e deduza o estimador de máxima verossimilhança para tal parâmetro (proporção), mostrar todos os passos da solução. SOLUÇÃO X ~ binomial (n,Ɵ), n conhecido F(x) = p(X|n,Ɵ) = xnx x n 1.. f(x) = p(X|n,Ɵ) = xnx x n 1.. Obtenção da função de verossimilhança “Ɵ” ɭ(Ɵ|X ,n) = ),( 1 nXpN i ɭ(Ɵ|X ,n) = N i xnx x n 1 1.. = N i xnx xnx n 1 1.. !! ! = i N i N i i xNn x N i xnx n 1 1 1.. !! ! 1 Obtenção do Log-verossimilhança (Ɵ|X ,n) = ln[ ɭ(Ɵ|X ,n)] = ln N i xNn x i N i N i i xnx n 1 1 1 1.. !! ! = ln 1ln.ln. )!(! ! 11 1 N i i N i ii xNnx xnx n Obtenção do estimador de máxima verossimilhança de “Ɵ” 1ª derivada - 11 11 N i i N i i x Nn x L Iguala a zero - 0 L 0 11 11 N i i N i i x Nn x 01 11 N i i N i i xNnx 0 111 N i i N i i N i i xNnxx 0 1 Nnx N i i Nn x N i i 1 N x X N i i 1 Substituir MV ˆ então n X MV ˆ Problema 3 (1.2 pts ) Um determinado Instituto de pesquisa divulgou uma semana antes da eleição o seguinte resultado: a proporção dos eleitores que votam no candidato “A” é de 56,5% com uma margem de erro de ±3,0 (pontos percentuais), isso significa que o intervalo de confiança é IC=[53,5% , 59,5%]. Também foi divulgado que o número de pessoas ouvidas foi de 1800 pessoas. Deduza o grau de confiança (1-α) empregado nesta pesquisa, utilizando o Teorema Central do Limite. SOLUÇÃO Intervalo de Confiança - [0.535;0.595] n = 1800 Pelo Teorema Central do Limite. Coeficiente de confiança [1-α] = ? [1-α]=? α/2 Z1-α/2= 2,566 Pela tabela da distribuição Normal P(Z1-α/2= 2,566) = 0,00515 = α/2 α = 0,00515 . 2 = 0,0103 [1-α] = 1 – 0,0103 = 0,9897= 98,97% )ˆ1(ˆ ˆ , )ˆ1(ˆ ˆ )ˆ1(ˆ ˆ 2/12/12/1 n pp zp n pp zp n pp zpIC )ˆ1(ˆ 565,0535,0 2/1 n pp z )ˆ1(ˆ ˆlim 2/1inf n pp zp 1800 435,0.565,0 565,0535,0 2/1 z 03,0)01169,0(2/1 z 566,22/1 z 565,0ˆ p 0052,02/56,22/1 z 0051,02/57,22/1 z 00515,02/566,22/1 z Problema 4(2.8 pts) Uma fábrica de alimentos comercializa sacos de feijão para pequenos supermercados. Toma-se uma amostra com 30 sacos de feijão de uma determinada população, com média igual a 50 Kg e variância igual 12 Kg2. Pede-se: a) (1.4 pts) O Intervalo de confiança de 95% e 99% para a Variancia da Normal desta população. SOLUÇÃO S2 = 12 n = 30 g = 30 - 1 = 29 IC para a Variância - TABE A “χ2” - onde a e b são tirados da tabela qui- quadrado com (n-1) graus de liberdade - Intervalo de Confiança [1-α] = 95% -Pela tabela “χ2” (1-α)=0,95 025,0 2 a= 16,05 b= 45,7 [ 7,615 ;21,682 ] 05,16 1229 7,45 122911 Pr 2 2 2 2 xx a Sn b Sn IC aaSnbSn 1]/)1(/)1Pr[( 222 025,0Pr 2 1 bn 975,0Pr 2 1 an - Intervalo de Confiança [1-α] = 99% -Pela tabela “χ2” (1-α)=0,99 005,0 2 a= 13,12 b= 52,3 [ 6,654 ;26,524 ] 12,13 1229 3,52 122911 Pr 2 2 2 2 xx a Sn b Sn IC 05,0Pr 2 1 bn 95,0Pr 2 1 an b) (1.4 pts) Se o peso de sacos de feijão comercializado por esta fábrica é especificado como uma v.a. Normal com Variância Nominal de 10 Kg², podemos dizer aos níveis de significância de 5% e 25% que a VariânciaNominal aumentou? Ou seja, testar a hipótese. Mostre este resultado através de cálculo e esboce um gráfico da distribuição do teste indicando a área de rejeição e aceitação. SOLUÇÃO Suposição: v.a peso de saco de trigo. a.a. (n) n= 30 S2= 12 σ2= 10 Teste de Hipótese: H0: σ 2 = σ0 2 H1: σ 2 > σ0 2 (unilateral) Estatística do Teste: 8,34 10 1229).1( 2 2 * xSn Decisão: Região crítica – α=5% %0,5 34,8 42,6 Resposta: Como א2= 34,8 < 42,6, não cai na região crítica, então, Aceita H0 ao nível de significância de 5%. 2 0 2 * .1 Sn Decisão: Região crítica – α=25% %0,25 33,7 34,8 Resposta: Como א2= 34,8 > 33,7, cai na região crítica, então, Rejeita H0 ao nível de significância de 25%. Problema 5( 2.8 pts ) Uma máquina “A” produz peças circulares cujos diâmetros “Di” devem obedecer uma determinada especificação em mm, e, uma outra máquina “B” foi encontrada no mercado. Quer-se saber se os diâmetros médios das duas máquinas são próximas, ou seja, se as máquinas produzem peças que podem ser consideradas estatisticamente idênticas em termos dos diâmetros das mesmas. Tomou-se uma amostra de 14 peças da máquina “A”, e 16 peças da máquina “B”, tendo sido obtidas as seguintes estimativas amostrais: Máquina “A” : AX = 99 mm e SA = 10 mm Máquina “B”: BX = 94 mm e SB = 9mm a) (1.4 pts) Encontre o Intervalo de Confiança para a Diferença das Médias das duas máquinas (µA-µB) ao nível de significância de 95% e 99%. Através deste resultado, explique se existe diferença das peças entre as duas máquinas. SOLUÇÃO Máquina “A”: n = 14 X A = 99mm SA = 10mm Máquina “B”: n = 16 X B = 94mm SB = 9mm Intervalo de confiança para a diferença das médias: g = n + m – 2 = 28 tabela “T” - Intervalo de Confiança [1-α] = 95% Tabela “T” - 048,22/1 t (1-α)=0,95 025,0 2 2,048 468,3 28 9151013 . 16 1 14 1 22 xx R 2 )1()1(11 22 2 1 mn SnSm mn R RzYXRzYXRzYXIC 2/12/12/1 ; 2 S.1S.1 . 11 2 B 2 A mn mn mn R [ -2,102 ; 12,102 ] Resposta: O Zero está contido no Intervalo de Confiança , portanto, as máquinas produzem peças que podem ser consideradas estatisticamente idênticas em termos dos diâmetros das mesmas ao nível de significância de 95%. - Intervalo de Confiança [1-α] = 99% Tabela “T” - 763,22/1 t (1-α)=0,99 005,0 2 2,763 [ -4,582 ; 14,582 ] Resposta: O Zero está contido no Intervalo de Confiança , portanto, as máquinas produzem peças que podem ser consideradas estatisticamente idênticas em termos dos diâmetros das mesmas ao nível de significância de 99%. RtYXRtYXRtYXIC ttt 222 ; IC 468,3048,2949921 xRtXXIC BA RtYXRtYXRtYXIC ttt 222 ; IC 468,3763,2949921 xRtXXIC BA b) (1.4 pts) Testar a hipótese se existe diferença entre a Média verdadeira da peças da Máquina “A” (μA) e a Média verdadeira das peças da máquina “B” (μB), aos níveis de significância de 10% e 20%. Suponha conhecidos os desvios padrões: σA = 10 mm e σB = 9 mm. Mostre este resultado através de cálculo e esboce um gráfico da distribuição do teste indicando a área de rejeição e aceitação SOLUÇÃO Suposição: v.as. peças circulares cujos diâmetros “Di”. a.a. (nA) X A = 99 SA = 10 nA =14 a.a. (nB) X B = 94 SB = 9 nB =16 Teste de Hipótese: H0: μA=μB H1: μA≠μB (bilateral) Estatística do Teste: 16 9 14 10 9499 22 Z 1,431 Decisão: Região crítica – α=10% %52/ %52/ 1,431 1,645 Resposta: Como Z= 1,431 < 1,645, não cai na região crítica, então, aceita H0 ao nível de significância de 10%. )1,0(~ )( 22 N nn yx Z Y Y x x 0505,02/64,12/1 z 0495,02/65,12/1 z 05,02/645,12/1 z Decisão: Região crítica – α=20% %102/ %102/ 1,285 1,431 Resposta: Como Z= 1,431 > 1,285, cai na região crítica, então, rejeita H0 ao nível de significância de 20%. BOA SORTE!!! 1003,02/28,12/1 z 0985,02/29,12/1 z 10,02/285,12/1 z FORMULÁRIO PARA PROVA Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas Distribuição Bernoulli - X ~ Bernoulli(p) Função de probabilidade: Distribuição Binomial - X ~ Bin (n,p) Função de probabilidade: Distribuição Geométrica - X ~ Geom (p) Função de probabilidade: Distribuição Binomial Negativa - X ~ NegBin (r,p) Função de probabilidade: Distribuição Poisson - X ~ Poisson(μ) Função de probabilidade: Distribuição Exponencial - X ~ Exp(λ) Função de probabilidade: Distribuição Normal - X ~ N(μ,σ2) Função de probabilidade: Se X ~ N(μ,σ2) )1,0(~ N X Z 1)Pr()( 1 xx ppxXxf )1( )!(! ! )1(Pr)( xnxxnx pp xnx n pp x n xXxf .)Pr()( 1 pqxXxf x .. 1 1 )Pr()( rxr qp r x xXxf ! )Pr()( x e xXxf x 0 e 0 onde .exp.)( xxxf R 0 onde . 2 1 )( 22 2 2 2 eexf x Intervalos de Confiança n zX n zX n zXIC 2/12/12/1 ; n s tX n s tX n s tXIC nnn 2/1,12/1,12/1,1 ; )ˆ1(ˆ ˆ , )ˆ1(ˆ ˆ )ˆ1(ˆ ˆ 2/12/12/1 n pp zp n pp zp n pp zpIC RzYXRzYXRzYXIC 2/12/12/1 ; 2 )1()1(11 22 2 1 mn SnSm mn R aaSnbSn 1]/)1(/)1Pr[( 222 n i i XX n s 1 22 1 1 n i iX n X 1 1 Teste de Hipótese 2 0 2 * .1 Sn s s Y Xf 2 2 )1,0(~ )()( 22 N nn yx Z Y Y x x Yx )1,0(~0 N n s x Z )1,0(~)1,0(~ 00 N n s x ZouN n x Z t ns x t 0 Tabelas
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