Buscar

Solução P3-PROBEST_2013-2

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 18 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 6, do total de 18 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 9, do total de 18 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

P3 - Probabilidade e Estatística – 2013.2 
Dpto. Engenharia Elétrica, PUC-Rio. 
Professores: Reinaldo Castro Souza, Roxana Jimenez Contreras e Alexandre Street 
 
Problema 1 (1.5 pt) 
 
a) (0.5 pt) O que vem a ser um “estimador” e uma “estimativa” de um parâmetro. 
SOLUÇÃO 
Estimador são as fórmulas (funções) dos dados da amostra que são usadas para definir um 
resultado para estimar um parâmetro. 
Estimativa é o resultado de um estimador quando substituímos os valores da amostra na 
fórmula. 
 
 
b) (0.5 pt) Qual a diferença entre as densidade Normal e T-Student. Em que situação elas 
ficam aproximadamente iguais? 
SOLUÇÃO 
A “t-student”vira uma Normal, é quando a sua curva em relação a Normal é mais achatada, e 
quando o grau de liberdade for maior que 30, “t-student” vira uma “Normal”. 
 
 
c) (0.5 pt) Qual o procedimento formal em um teste de hipótese para se estabelecer os 
parâmetros: alfa (probabilidade do erro tipo I) e beta (probabilidade do erro tipo II)? 
SOLUÇÃO 
O erro do tipo I “(alfa) é fixado pelo usuário e o erro do Tipo II (beta) é minimizado. 
 
 
Decisão tomada  Aceitar H₀ (Rejeitar H₁) Rejeitar H₀ (Aceitar H₁) 
Estado da realidade 
H₀ é verdadeira 
DECISÃO CORRETA Erro do tipo I (α) 
(H₁ é falsa) 
H₁ é verdadeira 
Erro do tipo II (β) DECISÃO CORRETA 
(H₀ é falsa) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 2 (1.7 pts) 
Você é contratado para realizar pesquisas de opinião para um determinado candidato que 
está concorrendo a eleição presidencial de um dado sindicado. Cada pesquisa deve ser feita 
em uma amostra de “n” sindicalizados e estão previstas “N” repetições desta pesquisa. 
Determinar qual o modelo probabilístico que você adotaria para estimar a proporção de 
eleitores favorável a este candidato e deduza o estimador de máxima verossimilhança para 
tal parâmetro (proporção), mostrar todos os passos da solução. 
 
 
SOLUÇÃO 
X ~ binomial (n,Ɵ), n conhecido 
F(x) = p(X|n,Ɵ) = 
  xnx
x
n 






 1..
 
 
f(x) = p(X|n,Ɵ) = 
  xnx
x
n 






 1..
 
Obtenção da função de verossimilhança “Ɵ” 
 
ɭ(Ɵ|X ,n) = 
),(
1
nXpN
i 
 
ɭ(Ɵ|X ,n) = 
  






N
i
xnx
x
n
1
1.. 
 = 
 
  



N
i
xnx
xnx
n
1
1..
!!
! 
 
 = 
 
  i
N
i
N
i
i
xNn
x
N
i xnx
n 











 1
1 1..
!!
!
1

 
 
Obtenção do Log-verossimilhança 
 
 (Ɵ|X ,n) = ln[ ɭ(Ɵ|X ,n)] 
 
 = ln 
 
 

















 



N
i
xNn
x
i
N
i
N
i
i
xnx
n
1
1
1 1..
!!
! 
 
 
 = ln
  















1ln.ln.
)!(!
!
11
1
N
i
i
N
i
ii
xNnx
xnx
n
 
 
Obtenção do estimador de máxima verossimilhança de “Ɵ” 
1ª derivada - 
   







11
11
N
i
i
N
i
i x
Nn
x
L 
Iguala a zero - 
0

L
 
 
 
   
0
11
11 







N
i
i
N
i
i x
Nn
x
 

 
  01
11
 


N
i
i
N
i
i xNnx
 
 
0
111
 


N
i
i
N
i
i
N
i
i xNnxx
 
 
0
1


Nnx
N
i
i
 

 
Nn
x
N
i
i
 1 
N
x
X
N
i
i
 1
 
 Substituir 
MV ˆ
 então 
n
X
MV ˆ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 3 (1.2 pts ) Um determinado Instituto de pesquisa divulgou uma semana antes da 
eleição o seguinte resultado: a proporção dos eleitores que votam no candidato “A” é de 
56,5% com uma margem de erro de ±3,0 (pontos percentuais), isso significa que o intervalo 
de confiança é IC=[53,5% , 59,5%]. Também foi divulgado que o número de pessoas ouvidas 
foi de 1800 pessoas. 
Deduza o grau de confiança (1-α) empregado nesta pesquisa, utilizando o Teorema Central 
do Limite. 
 
SOLUÇÃO 
 
Intervalo de Confiança - [0.535;0.595] 
n = 1800 
 
 
 
Pelo Teorema Central do Limite. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Coeficiente de confiança [1-α] = ? 
 
 [1-α]=? 
 
 α/2 
 
 
 
 Z1-α/2= 2,566 
 
Pela tabela da distribuição Normal 
P(Z1-α/2= 2,566) = 0,00515 = α/2 α = 0,00515 . 2 = 0,0103 
 
[1-α] = 1 – 0,0103 = 0,9897= 98,97% 
 
 
 
 
 







 




  
)ˆ1(ˆ
ˆ , 
)ˆ1(ˆ
ˆ 
)ˆ1(ˆ
ˆ 2/12/12/1
n
pp
zp
n
pp
zp
n
pp
zpIC 
 
)ˆ1(ˆ
565,0535,0 2/1
n
pp
z

  
)ˆ1(ˆ
ˆlim 2/1inf
n
pp
zp

 
 
1800
435,0.565,0
565,0535,0 2/1  z
03,0)01169,0(2/1 z 566,22/1 z
565,0ˆ p
0052,02/56,22/1  z
0051,02/57,22/1  z
00515,02/566,22/1  z
 
Problema 4(2.8 pts) 
Uma fábrica de alimentos comercializa sacos de feijão para pequenos supermercados. 
Toma-se uma amostra com 30 sacos de feijão de uma determinada população, com média 
igual a 50 Kg e variância igual 12 Kg2. 
Pede-se: 
a) (1.4 pts) O Intervalo de confiança de 95% e 99% para a Variancia da Normal desta 
população. 
 
SOLUÇÃO 
 
S2 = 12 
n = 30 
g = 30 - 1 = 29 
 
IC para a Variância 
 
 - TABE A “χ2” 
- onde a e b são tirados da tabela qui- 
quadrado com (n-1) graus de liberdade 
 
- Intervalo de Confiança [1-α] = 95% 
 
-Pela tabela “χ2” 
 
 
 
 
 
 (1-α)=0,95 
 
 
 025,0
2


 
 
 
 a= 16,05 b= 45,7 
 
 
 
 
 
 [ 7,615 ;21,682 ] 
 
 
 
 
 
   











 


05,16
1229
7,45
122911
Pr 2
2
2
2 xx
a
Sn
b
Sn 
IC
aaSnbSn  1]/)1(/)1Pr[( 222 
  025,0Pr 2 1  bn
  975,0Pr 2 1  an
 
- Intervalo de Confiança [1-α] = 99% 
 
-Pela tabela “χ2” 
 
 
 
 
 
 (1-α)=0,99 
 
 
 005,0
2


 
 
 
 a= 13,12 b= 52,3 
 
 
 
 
 
 [ 6,654 ;26,524 ] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   











 


12,13
1229
3,52
122911
Pr 2
2
2
2 xx
a
Sn
b
Sn 
IC
  05,0Pr 2 1  bn
  95,0Pr 2 1  an
 
 
b) (1.4 pts) Se o peso de sacos de feijão comercializado por esta fábrica é especificado como 
uma v.a. Normal com Variância Nominal de 10 Kg², podemos dizer aos níveis de significância 
de 5% e 25% que a VariânciaNominal aumentou? Ou seja, testar a hipótese. 
Mostre este resultado através de cálculo e esboce um gráfico da distribuição do teste 
indicando a área de rejeição e aceitação. 
SOLUÇÃO 
 
Suposição: 
v.a peso de saco de trigo. 
 
a.a. (n) n= 30 
 S2= 12 
 σ2= 10 
 
Teste de Hipótese: 
H0: σ
2 = σ0
2 
H1: σ
2 > σ0
2 (unilateral) 
 
 
 
Estatística do Teste: 
 
 
 
8,34
10
1229).1(
2
2
* 


xSn

 
 
Decisão: 
Região crítica – α=5% 
 
 
 
%0,5
 
 
 
 
 
 34,8 42,6 
 
Resposta: 
Como א2= 34,8 < 42,6, não cai na região crítica, então, Aceita H0 ao nível de significância de 
5%. 
 
 
 
 
 
2
0
2
* .1


Sn

 
 
 
Decisão: 
Região crítica – α=25% 
 
 
 
%0,25
 
 
 
 
 
 33,7 34,8 
 
Resposta: 
Como א2= 34,8 > 33,7, cai na região crítica, então, Rejeita H0 ao nível de significância de 25%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 5( 2.8 pts ) 
Uma máquina “A” produz peças circulares cujos diâmetros “Di” devem obedecer uma 
determinada especificação em mm, e, uma outra máquina “B” foi encontrada no mercado. 
Quer-se saber se os diâmetros médios das duas máquinas são próximas, ou seja, se as 
máquinas produzem peças que podem ser consideradas estatisticamente idênticas em 
termos dos diâmetros das mesmas. 
Tomou-se uma amostra de 14 peças da máquina “A”, e 16 peças da máquina “B”, tendo sido 
obtidas as seguintes estimativas amostrais: 
Máquina “A” : 
AX
= 99 mm e SA = 10 mm 
Máquina “B”: 
BX
= 94 mm e SB = 9mm 
 
a) (1.4 pts) Encontre o Intervalo de Confiança para a Diferença das Médias das duas 
máquinas (µA-µB) ao nível de significância de 95% e 99%. Através deste resultado, 
explique se existe diferença das peças entre as duas máquinas. 
SOLUÇÃO 
 
Máquina “A”: n = 14 X A = 99mm SA = 10mm 
Máquina “B”: n = 16 X B = 94mm SB = 9mm 
 
Intervalo de confiança para a diferença das médias: 
g = n + m – 2 = 28 
tabela “T” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Intervalo de Confiança [1-α] = 95% 
 
 Tabela “T” - 
048,22/1 t
 
 (1-α)=0,95 
 
 
 025,0
2

 
 
 2,048 
 
   
468,3
28
9151013
.
16
1
14
1 22





 







xx
R















2
)1()1(11 22
2
1
mn
SnSm
mn
R
 RzYXRzYXRzYXIC 2/12/12/1 ;   
     
  















2
S.1S.1
.
11
2
B
2
A
mn
mn
mn
R
 
 
 
 
 
 
 
 
 [ -2,102 ; 12,102 ] 
 
Resposta: O Zero está contido no Intervalo de Confiança , portanto, as máquinas produzem 
peças que podem ser consideradas estatisticamente idênticas em termos dos diâmetros das 
mesmas ao nível de significância de 95%. 
 
 
 
- Intervalo de Confiança [1-α] = 99% 
 
 Tabela “T” - 
763,22/1 t
 
 (1-α)=0,99 
 
 
 005,0
2

 
 
 2,763 
 
 
 
 
 
 
 
 [ -4,582 ; 14,582 ] 
 
Resposta: O Zero está contido no Intervalo de Confiança , portanto, as máquinas produzem 
peças que podem ser consideradas estatisticamente idênticas em termos dos diâmetros das 
mesmas ao nível de significância de 99%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
    RtYXRtYXRtYXIC ttt 222 ;   
IC
    468,3048,2949921 xRtXXIC BA  
    RtYXRtYXRtYXIC ttt 222 ;   
IC
    468,3763,2949921 xRtXXIC BA  
 
b) (1.4 pts) Testar a hipótese se existe diferença entre a Média verdadeira da peças da 
Máquina “A” (μA) e a Média verdadeira das peças da máquina “B” (μB), aos níveis de 
significância de 10% e 20%. Suponha conhecidos os desvios padrões: σA = 10 mm e 
 σB = 9 mm. 
Mostre este resultado através de cálculo e esboce um gráfico da distribuição do teste 
indicando a área de rejeição e aceitação 
SOLUÇÃO 
 
Suposição: 
v.as. peças circulares cujos diâmetros “Di”. 
 
a.a. (nA) X A = 99 
 SA = 10 
 nA =14 
 
a.a. (nB) X B = 94 
 SB = 9 
 nB =16 
 
Teste de Hipótese: 
H0: μA=μB 
H1: μA≠μB (bilateral) 
 
Estatística do Teste: 
 
  




16
9
14
10
9499
22
Z
1,431 
 
 
Decisão: 
Região crítica – α=10% 
 
 
%52/ 
 
%52/ 
 
 
 
 
 
 1,431 1,645 
Resposta: 
Como Z= 1,431 < 1,645, não cai na região crítica, então, aceita H0 ao nível de significância de 
10%. 
 
 
 
)1,0(~
)(
22
N
nn
yx
Z
Y
Y
x
x  


0505,02/64,12/1  z
0495,02/65,12/1  z
05,02/645,12/1  z
 
Decisão: 
 
Região crítica – α=20% 
 
%102/ 
 
 
%102/ 
 
 
 
 
 
 1,285 1,431 
 
Resposta: 
Como Z= 1,431 > 1,285, cai na região crítica, então, rejeita H0 ao nível de significância de 
20%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BOA SORTE!!! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1003,02/28,12/1  z
0985,02/29,12/1  z
10,02/285,12/1  z
 
 
 
 
FORMULÁRIO PARA PROVA 
 
Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas 
 
Distribuição Bernoulli - X ~ Bernoulli(p) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Binomial - X ~ Bin (n,p) 
Função de probabilidade: 
 
Distribuição Geométrica - X ~ Geom (p) 
Função de probabilidade: 
 
Distribuição Binomial Negativa - X ~ NegBin (r,p) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Poisson - X ~ Poisson(μ) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Exponencial - X ~ Exp(λ) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Normal - X ~ N(μ,σ2) 
Função de probabilidade: 
 
 
Se X ~ N(μ,σ2) 
)1,0(~ N
X
Z



 
 
 
 
 
 
 
  1)Pr()( 1 xx ppxXxf 
  )1(
)!(!
!
)1(Pr)( xnxxnx pp
xnx
n
pp
x
n
xXxf  








 .)Pr()( 1 pqxXxf x
 ..
1
1
)Pr()( rxr qp
r
x
xXxf 








 
!
)Pr()(
x
e
xXxf
x  

  0 e 0 onde .exp.)(  xxxf 
 
R 0 onde .
2
1
)( 22
2
2
2


 



eexf
x
 
 
 
 
Intervalos de Confiança





 
n
zX
n
zX
n
zXIC

 2/12/12/1 ; 





 
n
s
tX
n
s
tX
n
s
tXIC nnn 2/1,12/1,12/1,1 ;  





 




  
)ˆ1(ˆ
ˆ , 
)ˆ1(ˆ
ˆ 
)ˆ1(ˆ
ˆ 2/12/12/1
n
pp
zp
n
pp
zp
n
pp
zpIC 
 RzYXRzYXRzYXIC 2/12/12/1 ;    















2
)1()1(11 22
2
1
mn
SnSm
mn
R
aaSnbSn  1]/)1(/)1Pr[( 222 
 




n
i
i XX
n
s
1
22
1
1



n
i
iX
n
X
1
1
 
 
 
 
 
 
Teste de Hipótese 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
0
2
* .1


Sn

s
s
Y
Xf
2
2

)1,0(~
)()(
22
N
nn
yx
Z
Y
Y
x
x
Yx





)1,0(~0 N
n
s
x
Z


)1,0(~)1,0(~ 00 N
n
s
x
ZouN
n
x
Z


 





t
ns
x
t 

 0 
 
 
Tabelas

Materiais relacionados

Perguntas relacionadas

Materiais recentes

Perguntas Recentes