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Engenharia Econômica UERJ Sílvia Duarte 2012
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Universidade do Estado do Rio de Janeiro Engenharia Econômica Prof. Sílvia Duarte Conceitos: Valor do dinheiro no tempo O valor do dinheiro muda ao longo do tempo, quer em função da desvalorização (inflação), quer em função da existência de alternativas de investimentos que possibilitarão o recebimento de alguma remuneração sobre a quantia envolvida. Mercado Financeiro (...) É o intermediador entre poupador e tomador. J1< J2 Juro O valor obtido (ou pago) por um indivíduo que tenha aplicado (ou tomado emprestado) uma quantia sob determinadas condições. Ótica do Tomador: desembolso. Ótica do poupador: recebimento. Taxa de Juro A taxa de juros pode ser entendida como a variação percentual de um certo valor monetário ao longo do tempo, devido a certos fatores. Representação na forma Percentual : i% a.p. Atenção! Forma Percentual: utilizada para divulgar a taxa. Forma unitária: utilizada nos cálculos. Períodos usuais de expressão da taxa: 0,61% ad = taxa diária de 0,61%. ad= ao dia am = ao mês at = ao trimestre as = ao semestre aa = ao ano ap = ao período Diagrama de Fluxo de Caixa (DFC) É a representação gráfica das entradas e/ou saídas de dinheiro (ou equivalente) ao longo do tempo. Componentes do DFC: Eixo horizontal (escala de tempo) Segmentos verticais (indicam fluxos de caixa) Convenção: Acima do eixo horizontal: entrada (recebimento) Abaixo do eixo horizontal: saída (desembolso) Ponto zero ou origem do eixo (t=0, início do primeiro período) Exemplos: Desenho no quadro Observação referente ao DFC Somente registrar a entrada ou saída no momento em que ela efetivamente ocorrer (regime de caixa) e não no momento da ocorrência do seu fato gerador (regime de competência). EX.: Vamos supor que você esteja montando o DFC de um problema que envolva a compra de um equipamento para ser pago daqui a 2 meses. Este fluxo de saída deve ser colocado na data na qual vai ocorrer (daqui a 2 meses) e não na data de hoje (data da compra). Outros conceitos Valor Presente (Present Value - PV): também chamado Principal, Valor Atual, Capital Inicial. corresponde ao valor do dinheiro numa data de referência (normalmente t=0) do DFC. Valor Futuro (Future Value - FV): também chamado Montante, Capital Acumulado. corresponde ao valor do dinheiro em uma data futura, posterior à data de referência do DFC. Número de períodos – n : corresponde ao número de períodos de determinada operação financeira. Fator da taxa de juros: corresponde à (i+1) Exemplo 1: Monte o DFC para as situações abaixo, sob a ótica do indivíduo que toma o empréstimo: Um indivíduo vai a um banco pedir empréstimo no valor de $1.000,00, comprometendo-se a devolver a quantia em 3 meses, acrescida de juros de 8% ao período de 3 meses. Suponha que o valor seja liberado no mesmo dia. Suponha que o valor seja liberado em 1 mês. Suponha que o valor seja liberado no mesmo dia e que exista uma tarifa de 0,5% sobre o valor do empréstimo a ser paga na data da liberação do valor. Exemplo 2: Monte o DFC para as situações abaixo, sob a ótica do indivíduo que compra: Suponha que a compra de um eletrodoméstico no valor de R$2.500,00 será realizada com pagamento em 15 parcelas mensais iguais e consecutivas de R$262,50. A taxa de juros cobrada pela loja é de 6,3%am. Assuma que a primeira parcela será paga no ato da compra. Assuma que a primeira parcela será paga em 3 meses (a partir da data da compra). Assuma que o pagamento será realizado em uma única parcela de R$3.607,00 em 6 meses. Utilização da HP-12C Informações gerais: A HP-12C utiliza a lógica RPN (Notação Polonesa Reversa) Ligar a calculadora: pressionar a tecla [on]. Desligar a calculadora: pressionar a mesma tecla utilizada para ligá-la ([on]). Um asterísco (*) piscando no canto esquerdo inferior do visor indica que a bateria está fraca e deve-se providenciar a troca. Funções Uma mesma tecla da HP 12-C pode possuir mais de uma função. Estas funções são apresentadas nas cores branca, amarela e azul. Para acessar as funções apresentadas na cor branca, basta pressionar a tecla que apresenta a função desejada; Para utilizar as funções apresentadas na cor amarela, deve-se pressionar primeiramente a tecla amarela [ f ] e, em seguida, a tecla que apresenta a função desejada; Analogamente, Para acessar as funções apresentadas na cor azul, deve-se pressionar primeiramente a tecla azul [ g ] e, em seguida, a tecla que apresenta a função desejada. Caso tenha pressionado uma das teclas [ f ] ou [ g ] incorretamente, pode-se cancelar através da função [ f ] [PREFIX] e, em seguida, pressionar a tecla desejada; Inserção de valores: Simplesmente digite o valor. Ex. suponha que deseje inserir o número 54.300,00. Pressione as teclas: 5 4 3 0 0 O valor poderá aparecer no visor de diversas formas, dependendo de como você desejar. Vamos ver as opções adiante. Separadores de Milhares e decimais: Padrão (da calculadora): 1,253.15 Mais comum no Brasil é utilizar : 1.253,15 para alterar: ligue a calculadora apertando o ponto Atenção, ao inserir um valor na calculadora, utiliza-se como separador de decimal a tecla [ . ] independentemente do formato que se está adotando. Quanto à separação de milhares, não é necessário se especificar, o número é inserido da seguinte forma: Ex.: 1.300,50 [1] [3] [0] [0] [.] [5] Número de casas decimais apresentadas no visor: Podemos formatar o número de casas decimais (n) que desejamos que seja mostrado no visor. [ f ] [ n ] Ex.: Desejamos 6 casas decimais: [ f ] [ 6 ] Desejamos 2 casas decimais: [ f ] [ 2 ] Números negativos Para inserir um número negativo, basta digitar o número sem o sinal e no final pressionar a tecla [ CHS ]. Ex.: - 1.200,00 [ 1 ] [ 2 ] [ 0 ] [ 0 ] [ CHS ] OBS.: para trocar o sinal de um número, o procedimento é o mesmo, pressionar a tecla [ CHS ]. Formato para números muito grandes ou muito pequenos Como o visor não mostra números com mais de 10 dígitos, para inserirmos números muito pequenos ou muito grandes poderemos utilizar notação científica com auxílio da tecla [ EEX ]. Ex 1.345.000.000.000,00 [ 1 ] [ . ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ EEX ] [ 12 ] Ex 0,000.000.000.235 [ 2 ] [ . ] [ 3 ] [ 5 ] [ EEX ] [ 10 ] [ CHS ] Teclas de limpeza: [ CLx ]: limpa o que está sendo mostrado no visor (pilha X); [ f ] [ x >< y ]: limpa os registros financeiros [ f ] [CLx]: limpa todos os registros [ f ] [ Σ ]: limpa os registros estatísticos [ f ] [PRGM ]: limpa os registros de armazenagem de programas Armazenamento de dados em memória Podemos guardar manualmente dados em até 20 registros (registros de [ 0 ] a [ 9 ] e de [ . ] [ 0 ] a [ . ] [ 9 ]) Guardar valor1 na memória 4: [valor1] [ STO ] [ 4 ] Guardar valor2 na memória 8: [valor2] [ STO ] [ 8 ] Recuperação de dados armazenados em memória Para recuperar os dados armazenados em registros, utilizamos a função [ RCL ]. Ex.: recuperar o valor armazenado no registro 3. [ RCL ] [ 3 ] Operações aritméticas Operação algébrica: operando, operador, operando, [ = ] Ex.: 4 + 3 = (aparece 7 no visor) Na HP 12-C: Operando, [ENTER], operando, operador Ex.: 4 + 3 será [ 4 ] [ENTER] [ 3 ] [ + ] 6 - 2 será [ 6 ] [ENTER] [ 2 ] [ - ] 2 x 5 será [ 2 ] [ENTER] [ 5 ] [ x ] 12 ÷ 3 será [ 12 ] [ENTER] [ 3 ] [ ÷ ] Funções matemáticas: inversa de x: [x] [ 1/x ] log de x (igual a lnx/ln10): [ x ] [ g ] [ LN ] [ 10 ] [ g ] [ LN] [ ÷ ] y elevado a x: [ y ] [ enter ] [ x ] [ yx ] Funções de Percentual: 40% de 150: <150> [ENTER] <40> [ % ] (resposta em percentual) Variação percentual: Qual a variação percentual de 120 para 150? <120> [ENTER] <150> [ ∆% ] (resposta em percentual) Quanto 25 representa percentualmente num total de 200? <200> [ENTER] <25> [ T% ] (resposta em percentual) Cálculos envolvendo datas: Definição do formato dia/mês/ano: [ g ] [ D.MY ] Quantos dias corridos existem entre 21/07/2003 e 25/07/2003? <21.072003> [ enter ] <25.072003> [ g ] [∆DYS ] Quantos dias, sob contagem comercial, existem entre 21/07/2003 e 25/07/2003? <21.072003> [ enter ] <25.072003> [ g ] [∆DYS ] [ x >< y ] Cálculos envolvendo datas: Supondo-se que hoje seja dia 03/07/1999, qual data ocorrerá 105 dias a frente? <03.071999> [ enter ] <105> [ g ] [ DATE ] A resposta será: 16,10,1999 6 (significa: 16 de outubro de 1999, Sábado). Supondo-se que hoje seja dia 03/07/1999, qual data ocorreu há 105 dias passados? <03.071999> [ enter ] <105> [ CHS ] [ g ] [ DATE ] A resposta será: 20,03,1999 6 (significa: 20 de março de 1999, Sábado) Exemplos (utilização das funções da HP 12C) 1 - Calcular com 6 casas decimais a inversa de 524. 2 - Calcular com duas casas decimais : 3652 ÷ 6 3 - Calcular a raiz quadrada de 336 4 - Calcular 22,5 % de 2500. 5 - Uma aplicação realizada em 01/02/2000 teve seu resgate em 25/05/2000. Qual o seu prazo ? 6 - Qual o dia da semana e data de resgate de um CDB de 32 dias emitido em 02/03/2000. 7 - Uma aplicação com prazo de 112 dias foi resgatada em 01/06/2000. Qual o dia, mês, ano e dia de semana da aplicação. Juro Regimes de juro: forma como os juros serão calculados Simples Compostos Regimes de capitalização: forma como os juros serão adicionados ao capital Contínua Periódica Juro Simples O juro de cada período é calculado em função do capital inicial. Portanto o juro têm o mesmo valor em todos os períodos. Neste regime o dinheiro cresce linearmente ou em progressão aritmética ao longo do tempo (FV segue uma PA). É utilizado nas operações de cobrança de juro pela utilização dos limites nos cheques especiais e considerado no desconto de títulos. Dedução da fórmula para juro simples (no quadro) Fórmulas principais: J = P x i x n F = P + J Exercícios de Fixação EX1: Qual é o montante de juro (J) recebido por uma aplicação de R$2.500,00, pelo prazo de 3 meses, admitindo-se que taxa de juro simples foi de 1,3%a.m.? EX2: Por uma aplicação de R$2.000,00, durante 7 meses, recebeu-se o montante de R$7.500,00. Qual foi a taxa de juro simples dessa aplicação? Taxas Equivalente x Proporcional Nos cálculos financeiros devemos estar atentos para o fato de que a taxa de juro e o tempo sejam considerados na mesma unidade de tempo expressa pelo período financeiro. Taxas são Equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital, por um mesmo prazo, gerarem os mesmos juros (ou mesmos montantes). Quando tivermos a taxa de juro e o prazo, de uma operação financeira, expressos em unidades de tempo diferentes, devemos transformar um dos dois para que ambos fiquem na mesma unidade de tempo. Quando transformamos a taxa, esta taxa obtida deve ser equivalente à anterior. No regime de juro simples, a taxa equivalente será também chamada de taxa proporcional à anterior. Considerações quanto ao prazo das operações: Ano Civil: os meses terão 28, 29,30 ou 31 dias. Ano Comercial: os meses terão todos eles 30 dias. Exemplo: Quantos dias existem de 01-07-2003 a 30-09-2003 segundo o ano civil e o comercial? (julho:31 dias, agosto:31 dias, setembro:30 dias) Civil: 31+31+29 = 91 Comercial: 30+30+29 = 89 Este cálculo pode ser feito através de função da HP-12C Juro Exato, Comercial e Bancário Exato: Tanto a contagem do prazo da aplicação, quanto a conversão da taxa de juro são realizadas pelo critério do ano civil. Comercial: Ambas são realizadas pelo critério do ano comercial. Bancário: a contagem do prazo da aplicação é realizada pelo critério do Ano Civil, a conversão da taxa de juro é realizada pelo critério do Ano Comercial. OBS.: No Brasil o sistema utilizado é dos juro bancário. Exemplo 1 Em 21/02/2003 um indivíduo aplicou uma quantia de $1.000,00 que será resgatada em 21/04/2003. A instituição que realizou a operação cobrou a taxa de juro simples anual de 12%. Calcule o valor do juro considerando-se os casos de juro exato, comercial e bancário. (Fev: 28 dias, março: 31 dias, abril: 30 dias) Exemplo extra Em 16/05/2015 um indivíduo aplicou uma quantia de $5.000,00 que será resgatada em 10/09/2015. A instituição que realizou a operação cobrou a taxa de juro simples anual de 18%. Calcule o valor do juro considerando-se os casos de juro exato, comercial e bancário. (Fev: 28 dias, março: 31 dias, abril: 30 dias) Aplicação de juro simples: Cálculo de juro nos cheques especiais Dado o extrato descrito abaixo, calcule o valor do juro a ser pago pelo uso do cheque especial, considerando-se a taxa de juro de 7,5% am. exp1.27.pag34 exemplo: APLICAÇÃO RESGATE DIAS Data Dia Semana Data Dia Semana Civil Comercial Úteis 1/28/99 Thursday 3/1/99 Mon 32 33 20 1/29/99 Friday 3/1/99 Mon 31 32 19 2/1/99 Monday 3/3/99 Wed 30 32 20 FERIADOS Atenção: Ano Comercial: 360 dias, 1mês=30 dias Data Ano Civil: 36 dias, 1mês=28, 29, 30 ou 31 dias 15/02/1999 Mon Dias úteis: excluem sáb e dom. 16/02/1999 Tue Datas devem estar no formato dd/mm/yy 17/02/1999 Wed exercício: APLICAÇÃO RESGATE QUANTIDADE DE DIAS Data Data Civil Comercial Úteis 14/01/2003 Tue 20/03/2003 Thu 65 66 47 06/10/2003 Mon 26/12/2003 Fri 81 80 59 08/11/2003 Sat 22/11/2003 Sat 14 14 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 FERIADOS DE 2003: Data 01/01/2003 Wed 04/03/2003 Tue 18/04/2003 Fri 21/04/2003 Mon 01/05/2003 Thu 19/06/2003 Thu 15/11/2003 Sat 25/12/2003 Thu outras funções: =AGORA() 11/08/2003 Mon =HOJE() 8/11/03 =ANO(1999) 1905 =DIA(23) 23 TAXA DE JUROS: principal: 800 15000 20650 5000 Montante final: 888 15600 32000 5030 taxa decimal: 0.11 0.04 0.55 0.006 taxa percentual: 11.00% 4.00% 54.96% 0.60% exp2.21.pag57 DATA DESCRIÇÃO VALOR SALDO DIAS JUROS 28-Feb Saldo Anterior 250.00 12 0.00 12-Mar Cheque nº 121 (450.00) (200.00) 3 2.40 15-Mar Cheque nº 123 (400.00) (600.00) 5 12.00 20-Mar Cheque nº 124 (300.00) (900.00) 2 7.20 22-Mar Depósito 400.00 (500.00) 2 4.00 24-Mar Depósito 800.00 300.00 2 0.00 26-Mar Cheque nº 125 (100.00) 200.00 5 0.00 31-Mar Saldo Final 200.00 Taxa Mensal 12.00% Total 25.60 =-SE(D2>=0;0;D2*TAXA/30*E2) Plan1 DATA DESCRIÇÃO VALOR SALDO dias juros 1-Apr 250.00 3 0.00 4-Apr Depósito 1,400.00 1,650.00 1 0.00 5-Apr Cheque (800.00) 850.00 5 0.00 10-Apr Cheque (950.00) (100.00) 5 2.50 15-Apr Depósito 150.00 50.00 5 0.00 20-Apr cheque (200.00) (150.00) 2 1.50 22-Apr Cheque (300.00) (450.00) 3 6.75 25-Apr Cheque (400.00) (850.00) 6 25.50 30-Apr saldo 30.00 36.25 taxa (am) 0.15 saldo médio: -11.6666666667 ex.juros simples.composto Juros Simples: Juros Compostos: P F i n P F i n 0 5150.2340166799 5800 0.02 6 0 5150.24 5800.0067381902 0.02 6 0 1000 1995 0.2588702395 3 0 1000 1254.4 0.12 2 Método Hamburguês: Como a taxa de juro não varia, J= i x (Σ Sj x nj) Ou seja, Juros totais=taxa de juro vezes o somatório dos saldos multiplicados pelos respectivos prazos. Desconto de Títulos O desconto é um adiantamento de recursos feito pelo banco, sobre valores referenciados em duplicatas de cobrança ou notas promissórias, de forma a antecipar o fluxo de caixa ao cliente. As operações bancárias de desconto costumam usar o conceito de desconto simples “por fora”, no qual o juro incide sobre o valor nominal do título (valor de resgate), e não sobre o principal solicitado de empréstimo. Aplicações: operações de desconto de duplicatas, notas promissórias, cheques e commercial paper. Desconto comercial, bancário ou “por fora” É o desconto que se obtém pelo cálculo dos juros simples sobre o valor Nominal (F) do título quitado n períodos antes de seu vencimento. D = F x d x n P = F – D P = F – F x d x n = F (1 - d x n) Exemplo 1 Um título de $70.000,00 é descontado junto a um banco 46 dias antes de seu vencimento. Admitindo-se que não houve nenhuma incidência de imposto, calcular a taxa de desconto mensal da operação, sabendo-se que o desconto foi de $9.660,00. Custos nas operações com duplicatas Encargos: Taxa - pré-fixada (taxa de desconto): cobrada antecipadamente sobre o valor da(s) duplicata(s). Tarifas: cobradas pela instituição conforme sua tabela de tarifas. Tributação: IOF: Incidente sobre o valor líquido do desconto (valor das duplicatas, menos o desconto). Exemplo: Suponha que uma empresa tivesse descontado uma duplicata de R$5.000,00 em 22/06/2006, com data de resgate em 23/07/2006, para saldar uma dívida. O banco que realizou a operação cobrou tarifa de abertura de crédito equivalente a 2,5% do valor do título e mais tarifa de cobrança por título de R$7,00. Considerando-se que houve incidência de IOF, com alíquota de 0,0041%ad (sobre o valor descontado) e sabendo-se que a taxa de desconto foi de 4,00%am, qual o valor disponível para saldar a dívida? Juro Composto Neste regime, o juro do período n, quando não é pago no final neste período, deve ser somado ao fluxo inicial do período n e, consequentemente, passa a render juro para o período seguinte, portanto chamamos este processo de CAPITALIZAÇÃO DE JURO COMPOSTO. (Desenho no Quadro.) Dedução das fórmulas: 1o: Capital: PV juros: PV x i Valor Futuro (montante): PV + (PVi)=PV(1 + i) 2o :Capital: PV(1 + i) juro:PV(1 + i) i Valor Futuro:PV(1 + i) + PV(1 + i)i =PV(1 + i)(1 + i) = PV(1 + i)2 no :Capital : PV(1 + i)n-1 juro: PV(1 + i)n-1 i Valor Futuro:PV(1 + i)n-1 + PV(1 + i)n-1i = PV(1 + i)n Exemplo 1: Sabendo-se que o valor de uma aplicação realizada sob o regime de juro composto foi de R$4.000,00 e que a taxa de juro era de 1,2%am, qual o valor do ganho obtido considerando-se que o prazo da aplicação foi de 4 meses? Comparação entre Juro Simples e Composto Desenho no Quadro. Arquivo em excel Juro Composto - Utilização da HP-12C Limpar os registros financeiros: [f] [FIN] Verificar o que está armazenado nos registros: [RCL] [registro] Ex.: [RCL] [ i ], mostra o valor armazenado de i. Inserir os valores: digite o valor e aperte a tecla correspondente. Ex.: Calcular o valor de resgate de uma aplicação de $2500,00 por um prazo de 2 anos a uma taxa de 24,5% aa. inserir prazo de 2 anos: [2] [n] inserir taxa de 24,5% aa: [24,5] [ i ] inserir valor da aplicação: [-2500] [PV] obtenção do valor do resgate: [FV] visualização na tela: 3.875,06 Observações Obedecer à convenção de sinais do DFC, ou seja, entradas: sinal +, saídas: sinal -; “i” e “n” devem ser compatíveis quanto à unidade de tempo; “i” é informado na forma percentual; Atenção para utilização de prazo não inteiro (pois a calculadora pode fazer as contas da parte não inteira utilizando juros simples se não estiver aparecendo C no visor). Exercício de Fixação Resolução do exemplo 1, utilizando as funções financeiras da HP-12C. (no quadro) Cobrança de juros mediante prazos não inteiros Quando o valor do prazo for não inteiro, a parte inteira do prazo será calculada por juro composto e a parte decimal, poderá ser calculada por juro simples, ou por composto, ou não ser considerado juro. Ex.: i = 12% am, n = 66dias = 2,2 meses Então, 2,2 será o prazo não inteiro. Assim, 2 é o período inteiro do prazo e 0,2 é o período decimal. Cobrança de juro mediante prazos não inteiros Na parte decimal do prazo pode-se adotar: Não incidência de juros; Incidência de juros simples; Incidência de juros compostos. Obs.: Uso da calculadora: Com C no visor: juro composto na parte decimal do prazo. Sem C no visor: juro simples na parte decimal do prazo. Exemplo 1 Admita que um indivíduo tenha financiado a compra de um bem de valor R$2.000,00. Supondo-se que o pagamento deverá ser efetuado 66 dias (2,2 meses) após a data da compra e que a taxa de juro é de 8% am, qual o valor a ser pago em cada um dos três casos possíveis para o prazo não inteiro: a não incidência de juro, a convenção de juro linear e de juro exponencial. O impacto das taxas de juro nos preços dos Títulos Alguns títulos operados pelo mercado financeiro, como duplicatas, notas promissórias e vários títulos federais, possuem valor de Face pré-fixado no futuro. Neste caso, a relação entre a taxa de juro e o valor de negociação dos títulos possui relação inversa. Exemplo1 Um banco adquiriu um título do governo com valor de face de $1.000,00, vencimento em 24 meses e rentabilidade de 2,00% ao mês. a) Determine o preço de aquisição do título. b) 2 meses após a data de aquisição, por quanto o título poderá ser vendido se a taxa for de 2%am? c) Se a taxa de juro passar para 2,20%am 2 meses após a aquisição do título pelo banco, por quanto poderá vender o título? Qual o ganho percentual do banco nessa operação? Aplicação: LTN Uma letra do Tesouro Nacional (LTN), com valor de face de R$ 1.000, foi vendida pela taxa de juros de16,92%aa (0,06205%adu). Sabendo-se que decorreram 84 dias úteis entre essa data e o seu vencimento, a que preço foi negociada? Decisão de Financiamento em Operações Comerciais Suponha que um indivíduo dispõe de uma aplicação financeira que irá render-lhe 2% em 2 meses. Ao tentar adquirir um determinado bem anunciado por $2.500,00 o vendedor lhe coloca 2 opções: pagar com um cheque pré-datado para 2 meses ou pagar a vista com desconto de 18% sobre o valor anunciado. Qual é a melhor opção? Justifique. Custo efetivo Total - CET O custo efetivo total de uma operação financeira é uma taxa que explicita todos os custos relativos à operação. Esses custos podem ser tarifas, tributação, seguro, despesas administrativas relacionadas com o empréstimo, atraso na liberação de recursos, além da taxa de juro da operação. Impacto da alteração no prazo das operações Um cliente vai a determinado banco para obter um empréstimo no valor de $15.000,00. O gerente lhe oferece a taxa de 12%am e o prazo para a quitação da dívida será de 1 mês . Se houver um atraso de 4 dias na liberação dos recursos, qual o custo efetivo total dessa operação? Tributação nas Operações Financeiras Um cliente vai a determinado banco para obter um empréstimo no valor de $15.000,00. O gerente lhe propõe a taxa de 10%am e a quitação da dívida será em 3 meses. Haverá a incidência de 5% de imposto sobre o valor total da operação (empréstimo + juro) a ser cobrado no final da operação. Qual o valor a ser pago pelo cliente? Qual o custo efetivo total da operação? Tributação nas Operações Financeiras (extra) Um cliente vai a determinado banco para obter um empréstimo no valor de $20.000,00. A taxa de juro mensal cobrada pela operação foi de 8% e a quitação da dívida será em 4 meses. Haverá uma tarifa de R$900,00 a ser cobrada na data da liberação dos recursos. Qual o custo efetivo total dessa operação? Resposta: 9,2504%am Rentabilidade Líquida A rentabilidade líquida de uma operação financeira é a taxa de rentabilidade que se obtém considerando-se todos os fatores que geram custo para a operação. Exemplo Suponha que um indivíduo tivesse aplicado R$15.000,00 em um CDB pré-fixado, pelo período de 4 meses, e que tivesse obtido a rentabilidade de 2,80% nesse período. Admita que tivesse ocorrido a incidência de Imposto de Renda com alíquota de 22,5% sobre o ganho, no momento do resgate. Qual teria sido a taxa de rentabilidade líquida dessa aplicação? Transformação de taxas Nos nossos cálculos, devemos estar atentos para o fato de que a taxa deve ser expressa na mesma unidade de tempo que o prazo. Se isto não ocorrer, devemos fazer a transformação para torná-los compatíveis. Para tornar prazo e taxas compatíveis mediante a conversão de taxas, em juro composto, devemos utilizar o conceito de taxas equivalentes. Teoria da Equivalência de Taxas Desenvolvimento no quadro. TAXAS EQUIVALENTES São taxas de juro dadas em unidades de tempo diferentes mas que ao serem aplicadas ao mesmo principal durante um mesmo período, fornecem um mesmo montante (FV) no final do período. Dizemos que a taxa mensal im é equivalente à taxa semestral is se: FVm = FVs Duas taxas são equivalentes se produzirem o mesmo FV, dado o mesmo prazo, portanto: FVm = FVs PV(1 + im)nm = PV(1 + is)ns (1 + im)nm = (1 + is)ns,Equação de equivalência de taxas im = (1 + is)ns/nm-1 OBS.: em juro composto as taxas equivalentes não são proporcionais. Exemplo: Determinar a taxa mensal equivalente a 36% a.s Juro composto PV(1 + im)6 = PV(1 + is)1 , então: (1 + im)6 = (1 + is)1 Substituindo os dados: (1 + im)6 = (1 + 0,36)1 im = (1 + 0,36)1/6 – 1, portanto: im = 5,26%am Exemplo Qual a taxa mensal equivalente à taxa semestral de 8%? Qual a taxa anual equivalente à taxa mensal de 1%? TIPOS DE TAXAS TAXAS NOMINAIS A taxa nominal é aquela expressa em período de tempo diferente do período de tempo da capitalização. Ex.: aplicação que rende 15% a.a. capitalizados trimestralmente. Taxa Efetiva Podemos dizer que a taxa é efetiva quando é expressa em período de tempo igual ao período de capitalização. Ex.: aplicação que rende 15% a.a. capitalizados anualmente Observações OBS.: Usamos as taxas proporcionais quando não mudamos o período de capitalização. OBS.: Usamos as taxas equivalentes quando mudamos o período de capitalização. OBS.: A equivalência entre as taxas de juro compostas deve ser feita usando-se taxas de juro efetivas e nunca usando-se taxas nominais. OBS.: Quando não é mencionado o período de capitalização, admitir que ele coincide com o período de tempo ao qual se refere a taxa. Exemplo Dada a taxa de juro de 20% a.a. capitalizado trimestralmente, Determine a taxa de juro equivalente anual capitalizado semestralmente. (no quadro) Taxas de Juro: Observações Para que possamos comparar taxas de juro é necessário que : - Estejam expressas no mesmo período de tempo. - Sejam do mesmo tipo. Outros Tipos de Taxas: Taxa Aparente: taxa que inclui a expectativa de inflação no seu cálculo. Exemplos mais adiante Taxa Real: taxa obtida com a exclusão da inflação da taxa aparente. Exemplos mais adiante Taxa Líquida: obtida quando se considera todos os impostos, tarifas, encargos existentes na operação (taxa embutida na operação). Taxa Bruta: taxa das operações. Outros Tipos de Taxas: Taxa Pós: A taxa é pós-fixada quando no momento da realização da operação o investidor souber apenas da parcela real da taxa de juros, ficando o restante de sua rentabilidade vinculado à variação de algum índice. Taxa Pré: quando no momento da realização da operação o investidor souber a rentabilidade que irá receber (não tem a rentabilidade vinculada a nenhum índice). Taxa Over Mensal (...) É uma taxa nominal expressa em mês, mas com capitalização diária, porém válida somente em dias úteis, ou seja, sua capitalização ocorre unicamente em dia de funcionamento do mercado financeiro. iover= 30 X iadu Exemplo: Num dado investimento a taxa auferida foi de 18,7%ap (período com 67 dias úteis). Qual seria a taxa over referente a esta aplicação? Taxas variáveis ao longo do tempo Se um capital PV for aplicado durante n períodos de tempo, nos quais vigoram as taxas i1, i2, ...,in , a taxa acumulada do período (taxa efetiva do período) será dada por: (1+iAC) = (1+i1) (1+i2) ... (1+in) Taxa Média A taxa média (taxa efetiva constante que se substituísse todas as taxas variáveis geraria um mesmo montante) será: (1+im) (1+im) ... (1+im) = (1+i1) (1+i2) ... (1+in) (1+im)n = (1+i1) (1+i2) ... (1+in) im = [(1+i1) (1+i2) ... (1+in)]1/n -1 O valor de resgate será: FV = PV (1+i1) (1+i2) ... (1+in) Exemplo Um indivíduo aplicou R$55.000,00 na bolsa de valores, durante 4 meses consecutivos, nos quais obteve as seguintes rentabilidades efetivas mensais respectivas de 6,5%, 3,2%, 5,7% e –4,8%. Determine a taxa acumulada no período, a taxa média mensal e o montante de resgate. Medidas de Inflação (...) A inflação é apurada através de índices que, calculados a partir de modelos econométricos, procuram avaliar as variações de preços ocorridas entre duas datas. Diversos são os índices atualmente publicados, que diferem em seus valores devido às diferentes metodologias de cálculo. Fonte: livro do professor Roberto Zentgraf Alguns Índices de Preços Brasileiros IPC-FIPE INPC (IBGE) IGP-M (FGV) IPCA (IBGE): é o índice oficial que mede a inflação no país. Cálculo da Inflação Acumulada Para os índices divulgados percentualmente, calcularemos a inflação acumulada em n períodos como vimos anteriormente em taxa variáveis: (1+iac) = (1+i1) (1+i2) ... (1+in) Para os índices que não são divulgados percentualmente, podemos calcular as variações percentuais e procedemos da mesma forma.Variação percentual: (Pt-Pt-1)/Pt-1 Determinação da Taxa Real de Juro (Fórmula de Fisher) (...) A inflação, caracterizada pelo crescimento do nível geral dos preços dos bens e serviços, causa o fenômeno da ilusão monetária nas práticas financeiras é é um dos principais tipos de risco a que estamos sujeitos em finanças. A fórmula de Fisher estabelece o efeito da inflação sobre as taxas de juros e é expressa através da relação: (1+iaparente) = (1+ireal)(1+iinflação) onde: ireal : taxa real iaparente : taxa aparente iinflaçaão : taxa de inflação, obtida através de um índice de preços Fonte: livro de Roberto Securato Exercícios de Fixação 1 Dada a taxa nominal de 7%am, capitalizados anualmente, determinar a taxa efetiva mensal. Dada a taxa nominal de 6%aa, capitalizados mensalmente, determinar a taxa efetiva anual. Dada a taxa nominal de 24%aa, capitalizados mensalmente, determinar a taxa efetiva mensal. Dada uma taxa efetiva de 34,5%aa, determinar a taxa over expressa mensalmente (ou seja, iam (capitalização: dias úteis)). Considere: 1 ano possui 252 dias úteis. Um investidor obtém, numa dada aplicação, a taxa efetiva de 7,2%ap (37 dias úteis). Determinar a taxa over correspondente. Uma operação financeira é fechada à taxa over de 2,49%am por um período de 47 dias úteis. Determinar a taxa efetiva no período. Valor Presente de um Conjunto de Fluxos O valor presente de um conjunto de fluxos qualquer é a soma do valor presente de cada fluxo individual. Exemplo:calcular o valor presente do conjunto de fluxos do DFC abaixo, considerando-se a taxa de juro de 2%am. HP-12C Calculadora financeira HP 10bII Calculadora financeira HP 12c Calculadora financeira HP 12c Platinum Calculadora financeira HP 12c Prestige Calculadora financeira HP 17bII+ Tamanho da tela 1 linha x 12 caracteres 1 linha x 10 caracteres 1 linha x 10 caracteres 1 linha x 10 caracteres 2 linhas x 22 caracteres Lógica do sistema de entrada Algébrica RPN RPN e algébrica RPN e algébrica RPN e algébrica Funções incorporadas 100+ 120+ 130+ 130+ 250+ Registros de memória 15 20 20 20 28 KB Usuário Menús, indicadores, etc. Não Não Não Não Sim Teclado Números Números Números Números Números 5 x 2: [5] [ENTER] [2] [X] PILHA PILHA PILHA PILHA registro conteúdo registro conteúdo registro conteúdo registro conteúdo T T T T Z Z Z Z Y Y 5 Y 5 Y X 5 X 5 X 2 X 10 [3] [ENTER] [4] [+] [5] [ENTER] [6] [+] [X] PILHA PILHA PILHA PILHA PILHA PILHA PILHA PILHA PILHA PILHA registro conteúdo registro conteúdo registro conteúdo registro conteúdo registro conteúdo registro conteúdo registro conteúdo registro conteúdo registro conteúdo registro conteúdo T 0 T 0 T 0 T 0 T 0 T T T T T Z 0 Z 0 Z 0 Z 0 Z 0 Z Z 7 Z 7 Z Z Y 0 Y 0 Y 3 Y 3 Y 0 Y 7 Y 5 Y 5 Y 7 Y X 0 X 3 X 3 X 4 X 7 X 5 X 5 X 6 X 11 X 77 PILHA PILHA PILHA PILHA PILHA PILHA PILHA PILHA PILHA conteúdo da pilha registro conteúdo registro conteúdo registro conteúdo registro conteúdo registro conteúdo registro conteúdo registro conteúdo registro conteúdo T 0 T T T T T T T T Z 0 Z Z Z Z Z 7 Z 7 Z Z Y 0 Y 3 Y 3 Y Y 7 Y 5 Y 5 Y 7 Y X 3 X 3 X 4 X 7 X 5 X 5 X 6 X 11 X 77 Operação matemática: (3+4)(5+6) TECLAS [3] [ENTER] [4] [+] [5] [ENTER] [6] [+] [X] PILHA T 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Z 0 0 0 0 0 7 7 0 0 Y 0 3 3 0 7 5 5 7 0 X 3 3 4 7 5 5 6 11 77 Operação matemática: 5 x 2 TECLAS [5] [ENTER] [2] [x] PILHA T 0 0 0 0 Z 0 0 0 0 Y 0 5 5 0 X 5 5 2 10 Operação matemática: 7 -2 registrador [ 7 ] [ENTER] [ 2 ] [ - ] PILHA T 5 5 16 16 16 Z 16 16 3 3 16 Y 3 3 7 7 3 X 3 7 7 2 5 [ 7 ] [ENTER] [ 2 ] [ - ] PILHA PILHA PILHA PILHA PILHA registrador conteúdo registrador conteúdo registrador conteúdo registrador conteúdo registrador conteúdo T 5 T 5 T 16 T 16 T 16 Z 16 Z 16 Z 3 Z 3 Z 16 Y 3 Y 3 Y 7 Y 7 Y 3 X 3 X 7 X 7 X 2 X 5 Calculadora financeira HP 10bII Calculadora financeira HP 12c Calculadora financeira HP 12c Platinum Calculadora financeira HP 12c Prestige Calculadora financeira HP 17bII+ DFC 0 1 2 3 4 ... n períodos F3 0 1 2 3 4 ... n períodos F1 F2 0 1 2 meses F=R$10.000,00 PV=1.000,00 0 1 2 3 meses FV=1.207,95 0 1 2 meses F=R$10.000,00 PV=1.000,00 0 1 2 3 meses TAR=20,00 FV=1.207,95 módulo II - Unidade 1 PV`= 980,00 PV PV1 ... 0 1 2 3 meses 0 1 2 n tempo 0 1 tempo FV=1.207,95 FV=PV+J FV1 FV = 2.030,15 FV=PV+J PV2 = FV1 ... 0 1 2 3 meses 0 1 2 n tempo 0 1 2 tempo PV=2.000,00 PV FV2=PV2 + J2 PV PV3 = FV2 FV = 2.030,15 0 1 2 3 tempo 0 1 2 3 meses TRI = 6,03 FV3=PV3 + J3 PV=2.000,00 PV FV` = 2.024,12 ... 0 1 2 3 n tempo 0 1 2 3 meses FVn=PVn+Jn PV=2.000,00 CAPÍTULO3 Figura 3.1 – Diagrama de Fluxo de Caixa de uma aplicação FV=1.040,00 0 1 2 3 4 meses PV=1.000,00 tempo (anos) juro do período (R$) juro acumulado (R$) Saldo ao final de cada ano (R$) 1 1.000,00 x 0,01 = 10 10 1,010.00 1000 2 1.000,00 x 0,01 = 10 20 1,020.00 10.00 0.00 3 1.000,00 x 0,01 = 10 30 1,030.00 10.00 0.00 4 1.000,00 x 0,01 = 10 40 1,040.00 10.00 0.00 10.00 0.00 Juro Aplicação PV J FV SD t=0 1000 fluxo t=1 amort juros prestaç sd t=2 t=3 t=4 t=5 t=6 t=7 t=8 t=9 t=10 tarifas duplicatas Banco do Brasil Tabela de Tarifas Pessoa Jurídica Divulgada em 06.01.2012 Operações de Crédito (4) - Contratação/Renovação e Alteração Produtos e Serviços / Periodicidade Cobrança por Tarifa R$ Desconto de Cheques (mín. R$ 45,00 máx. R$ 400,00) (5) Contrato 2% Desconto de Cheques (5) Liberação(Mín. R$ 4,75 máx. R$ 25,00) Liberação 0.20% Desconto de Títulos (5) (mín. R$ 45,00 máx. R$ 400,00) Contrato 2% Desconto de Títulos Liberação (mín. R$ 4,75 máx. R$ 25,00) Liberação 0.20% observações: (4) Sujeitos à aprovação do crédito. (5) A tarifa incide sobre cada limite contratado/renovado e não sobre cada operação. juro no cheque especial EXTRATO DE CONTA CORRENTE SALDO ANTERIOR: 0,00 JANEIRO/2012 DIA SALDO 1 250 5 5,000.00 11 -300 15 -112 22 50 27 -500 30 400 31 400 Tabela 3.2 - saldos DATA SALDO (R$) 1-May 1,000.00 6-May 1,530.00 9-May -50 14-May 250 17-May 554 22-May -1,245.00 28-May 6,245.00 31-May 6,245.00 Juro Simples x composto PV: 1000 i =120%ap 1.2 período FV simples composto 0 1000.0 1000.0 0.1 1120.0 1082.0 0.2 1240.0 1170.8 0.3 1360.0 1266.9 0.4 1480.0 1370.8 0.5 1600.0 1483.2 0.6 1720.0 1604.9 0.7 1840.0 1736.6 0.8 1960.0 1879.0 1 2200.0 2200.0 1.5 2800.0 3263.1 2 3400.0 4840.0 2.5 4000.0 7178.9 3 4600.0 10648.0 3.5 5200.0 15793.5 4 5800.0 23425.6 4.5 6400.0 34745.8 5 7000.0 51536.3 5.5 7600.0 76440.7 período FV simples compostos PA: A +(n-1)R 0 1000 1000.0 A 1000 0.1 1120 1082.0 R 120 0.2 1240 1170.8 0.3 1360 1266.9 0.4 1480 1370.8 0.5 1600 1483.2 0.6 1720 1604.9 0.7 1840 1736.6 0.8 1960 1879.0 1 2200 2200.0 1.5 2800 3263.1 2 3400 4840.0 2.5 4000 7178.9 3 4600 10648.0 3.5 5200 15793.5 4 5800 23425.6 4.5 6400 34745.8 5 7000 51536.3 5.5 7600 76440.7 Juro Simples x composto Juro Simples Juro Composto Prazos não inteiros Juro Simples Juro Composto custo efetivo total Não incidência de juro: PV 0 1 n1 n1+n2 períodos JURO COMPOSTO FV=PV(1+i)n1 FV=PV(1+i)n1 Incidência de juro simples na parte não inteira: PV 0 1 n1 n1+n2 períodos JURO COMPOSTO JS FV=PV(1+i)n1 FV=PV(1+i)n1(1+in2) Incidência de juro composto na parte não inteira: PV 0 1 n1 n1+n2 períodos JURO COMPOSTO JC FV=PV(1+i)n1 FV=PV(1+i)n1+n2 taxas e VPL PV=8.000,00 i=5,9%am 0 1 2 meses FV=? PV= 8.000,00 0 1 2 meses FV=8.971,85 PV=9.500,00 i=6,2%am 0 1 2 meses FV=10.714,52 IMP=535,73 PV=5.600,00 i=5,4%am TAR = 100,00 1 2 3 meses FV=6.557,07 PV`=5.500,00 i=5,4%am 0 1 2 3 meses FV=6.557,07 FV = 14.917,80 0 1 2 3 4 meses IR=431,50 PV=13.000,00 FV` = 14.486,30 0 1 2 3 4 meses PV=13.000,00 FV = 57.160,00 FV´ = 56.086,00 0 1 2 3 meses 0 1 2 3 meses IR=1.074,00 PV=50.000,00 PV=50.000,00 170 150 170 130 130 0 1 2 3 4 5 meses PV = ? F1 0 1 2 3 meses PV1 F2 0 1 2 3 meses PV2 F3 0 1 2 3 meses PV3 MBD000E3B84.xls exp1.27.pag34 exemplo: APLICAÇÃO RESGATE DIAS Data Dia Semana Data Dia Semana Civil Comercial Úteis 1/28/99 Thursday 3/1/99 Mon 32 33 20 1/29/99 Friday 3/1/99 Mon 31 32 19 2/1/99 Monday 3/3/99 Wed 30 32 20 FERIADOS Atenção: Ano Comercial: 360 dias, 1mês=30 dias Data Ano Civil: 36 dias, 1mês=28, 29, 30 ou 31 dias 15/02/1999 Mon Dias úteis: excluem sáb e dom. 16/02/1999 Tue Datas devem estar no formato dd/mm/yy 17/02/1999 Wed exercício: APLICAÇÃO RESGATE QUANTIDADE DE DIAS Data Data Civil Comercial Úteis 14/01/2003 Tue 20/03/2003 Thu 65 66 47 06/10/2003 Mon 26/12/2003 Fri 81 80 59 08/11/2003 Sat 22/11/2003 Sat 14 14 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 FERIADOS DE 2003: Data 01/01/2003 Wed 04/03/2003 Tue 18/04/2003 Fri 21/04/2003 Mon 01/05/2003 Thu 19/06/2003 Thu 15/11/2003 Sat 25/12/2003 Thu outras funções: =AGORA() 25/02/2012 Sat =HOJE() 2/25/12 =ANO(1999) 1905 =DIA(23) 23 TAXA DE JUROS: principal: 800 15000 20650 5000 Montante final: 888 15600 32000 5030 taxa decimal: 0.11 0.04 0.55 0.006 taxa percentual: 11.00% 4.00% 54.96% 0.60% exp2.21.pag57 DATA DESCRIÇÃO VALOR SALDO DIAS JUROS 28-Feb Saldo Anterior 250.00 12 0.00 12-Mar Cheque nº 121 (450.00) (200.00) 3 2.40 15-Mar Cheque nº 123 (400.00) (600.00) 5 12.00 20-Mar Cheque nº 124 (300.00) (900.00) 2 7.20 22-Mar Depósito 400.00 (500.00) 2 4.00 24-Mar Depósito 800.00 300.00 2 0.00 26-Mar Cheque nº 125 (100.00) 200.00 5 0.00 31-Mar Saldo Final 200.00 Taxa Mensal 12.00% Total 25.60 =-SE(D2>=0;0;D2*TAXA/30*E2) Plan1 DATA DESCRIÇÃO VALOR SALDO dias juros 1-Apr 250.00 3 0.00 4-Apr Depósito 1,400.00 1,650.00 1 0.00 5-Apr Cheque (800.00) 850.00 5 0.00 10-Apr Cheque (950.00) (100.00) 5 2.50 15-Apr Depósito 150.00 50.00 5 0.00 20-Apr cheque (200.00) (150.00) 2 1.50 22-Apr Cheque (300.00) (450.00) 3 6.75 25-Apr Cheque (400.00) (850.00) 6 25.50 30-Apr saldo 30.00 36.25 taxa (am) 0.15 saldo médio: -11.6666666667 ex.juros simples.composto Juros Simples: Juros Compostos: P F i n P F i n 0 5150.2340166799 5800 0.02 6 0 5150.24 5800.0067381902 0.02 6 0 1000 1995 0.2588702395 3 0 1000 1254.4 0.12 2 MBD0030D26E.doc EXEMPLO: Um indivíduo toma empréstimo em uma instituição financeira, no valor de R$1.000,00, comprometendo-se a devolver a quantia em 3 meses, acrescida de juros de R$207,95. Admita que o valor tenha sido liberado para o indivíduo no mesmo dia. Construa o DFC para essa situação. MBD001E3D86.doc MBD000A7228.doc ano Período (n) Saldo no início De cada ano Montante de juros (J) de cada ano Saldo acumulado no final de cada ano 1o ano 1 1000,00 1000 x 0,15 = 150 1150,00 2o ano 2 1150,00 1000 x 0,15 = 150 1300,00 3o ano 3 1300,00 1000 x 0,15 = 150 1450,00 Utilização da HP-12C Como resolver um problema com vários fluxos utilizando as funções financeiras da calculadora HP-12C? Cálculo do PV com o Uso da Função NPV [ f ] [REG] 0 [ g ] [CF0] [fluxo na data t=1 com respectivo sinal] [ g ] [CFj] Se não houver fluxo no tempo, digite: 0 [ g ] [CFj] Repetir o mesmo procedimento para todos os fluxos Se um mesmo fluxo ocorrer x vezes consecutivas, [inserir o fluxo com respectivo sinal] [ g ] [CFj] [ x ] [ g ] [ Nj ] [Taxa no formato percentual] [ i ] [ f ] [NPV] Equivalência de Capitais - Juro Composto Diferentemente da equivalência de capitais em juros simples, neste caso, capitais equivalentes em uma data também o serão em quaisquer outras datas. Exemplo: verifique se o capital de $100,00 hoje é equivalente a $121,00 daqui a dois meses na data focal t=2 e t=4. Admita uma taxa de juros compostos de 10% am. Exemplo 1 Um empresário tomou emprestado hoje uma quantia em um banco, comprometendo-se a devolvê-la em três parcelas:$1.100,00 daqui a 2 meses, $1.331,00 daqui a 4 meses, e $1.610,51 daqui a 6 meses. Verifique se seria equivalente quitar a dívida em 2 parcelas: de $2.420,00 daqui a 3 meses e de $1.464,10 daqui a 5 meses. Admita uma taxa de 10%am. Use como data focal t=0. (Fonte: Matemática Financeira, Roberto Zentgraf) Cálculo do valor Presente na HP-12C utilizamos as funções de VPL (NPV) da calculadora: <0> <g> <CF0> Inserindo os fluxos referentes a t=j, para j=1,2,...n da seguinte forma: <fluxo na data t=1 com respectivo sinal> <g> <CFj> Se não houver fluxo, digite: <0> <g> <CFj> repita o mesmo para todos os fluxos Se um mesmo fluxo ocorrer x vezes consecutivas: <fluxo com respectivo sinal> <g> <CFj> <quantidade de vezes que ocorre> <g> <Nj> Inserindo a taxa utilizada: <taxa> <i> Obtendo o Valor Presente: <f> <NPV> Exercício de Fixação Resolver o exercício anterior utilizando a função da HP-12C Valor Presente Líquido (VPL) É um critério muito utilizado para analisar alternativas de investimentos. Mede o VP dos fluxos de caixa do projeto. Onde o fluxo no tempo t=0 é o investimento com o devido sinal (negativo) Decisão: se VPL>0, a alternativa é economicamente viável. Taxa Interna de Retorno (TIR) É um outro critério para análise de investimento. A TIR é a taxa que produz um VPL igual a zero. É a taxa de retorno esperada do investimento. Decisão: Se TIR> K, o projeto se justifica economicamente. K é a taxa de atratividade (podemos utilizar o custo de oportunidade), ou taxa requerida do projeto. Determinação do VPL e da TIR na HP-12C Inserção do fluxo referente ao t=0: <fluxo na data t=0 com respectivo sinal> <g> <CF0> Inserção dos outros fluxos referentes a t=j, para j=1,2,...n: <fluxo na data t=1 com respectivo sinal> <g> <CFj> Onde não houver fluxo, digite: <0> <g> <CFj> Se um mesmo fluxo ocorrer x vezes consecutivas: <fluxo><g> <CFj> <x><g> <Nj> Inserir a taxa utilizada: <taxa> <i> Obter o VPL: <f> <NPV> Se o objetivo for obter a TIR:<f> <IRR> Série de Pagamentos É uma sequência finita ou infinita de entradas ou saídas de fluxos (constantes ou não) com o objetivo de : Amortização de um empréstimo (ex.: financiamento imobiliário e CDC); Capitalização de um montante (ex.: títulos de capitalização, consórcios); Geração de renda perpétua (ex.: planos de previdência). Séries de Pagamentos 1)Periódicas: os fluxos de pagamentos ocorrem a intervalos regulares (ex.: mensalmente); 2) Não Periódicas: os intervalos não são regulares. Desenho no quadro. Séries de Pagamentos 3)Postecipadas: séries em que os fluxos ocorrem ao final do período. 4)Antecipadas: séries em que os fluxos ocorrem no início do período. Desenho no quadro. Séries de Pagamentos 5) Diferida (ou com período de carência): É aquela em que o primeiro pagamento não ocorre no primeiro período. 6) Imediata: é aquela na qual o primeiro fluxo da série ocorre no primeiro período. Desenho no quadro. Séries de Pagamentos 7) Uniforme: É caracterizada por apresentar todos os fluxos iguais 8) Não Uniforme: É caracterizada por apresentar fluxos variáveis Séries de Pagamentos 9) Finita: Também chamada de série temporária, é caracterizada por possuir uma quantidade definida de fluxos. 10) Infinita:Também chamada de série perpétua ou de perpetuidade, possui uma quantidade indefinida de fluxos. Revisão de PG Dada uma sequência X1, X2,...Xn, diremos que formarão uma PG se a razão entre um termo e seu anterior for igual a R (razão da PG): Se X1 é o 1o termo de uma PG, X2 = X1×R X3 = X2×R =X1×R×R = X1×R2 X4 = X3×R =X1×R×R×R =X1×R3 Então concluímos que Xt = X1×Rt-1 Assim, conhecendo o 1o termo e a razão da PG, determinamos qualquer outro termo. Soma de n termos de uma PG Sn = X1+ X2+ X3+ ... + Xn = X1+ X1×R+ X1×R2 + ... + X1×Rn-1 Se multiplicarmos os dois lados da equação por R e diminuirmos Sn, teremos: (Sn×R) - Sn = (X1R + X1R2+... + XnRn) – (X1+ X1R+ X1R2 +...+ XnRn-1 ) (SnR) - Sn = -X1+ (XnRn) (SnR) - Sn = -X1+ (XnRn), multiplicando por (-1): -(SnR) + Sn = X1-(XnRn), colocando em evidência: Sn(1-R) = X1(1-Rn), então obtemos: Perpetuidades Modelo: Série infinita, uniforme, postecipada. Temos que: Observamos que a expressão acima é a soma de uma PG com termos infinitos, com 1o termo e razão iguais a 1/(1+ i). Se a PG é infinita, então: Sn= X1/ (1-R) , portanto, Sn= [1/(1+i)]/ [(1-(1/1+i))] = 1/i, então: PV=A/i Exemplo: Suponha que as taxas de juro para aplicações em renda fixa fiquem estáveis em 1% am, daqui por diante. Quanto precisaríamos depositar hoje em uma aplicação financeira que rendesse esta taxa, se a partir do próximo mês e para o resto de nossas vidas, desejássemos uma renda de $1.500,00 por mês? Monte o DFC. Qual seria o valor depositado se admitíssemos que a primeira retirada será ao final do 11o mês? E se a primeira retirada ocorresse no início do primeiro período? Série Finita Postecipada Série uniforme, periódica, postecipada finita: Desenho do DFC no quadro. Podemos observar que se trata de um somatório de uma PG com razão e primeiro termo iguais a 1/(1+i). Substituindo na equação de soma de n termos de uma PG, encontramos o Valor Presente desta série. Série Finita Postecipada Valor Presente (PV): Valor futuro (FV): Prestação (A): Prazo (n): Exemplo No último ano, a cada 2 meses você depositou $500,00 em uma Poupança Programada, que rendeu 1,5% am a título de juros e correção. Se hoje foi o seu sexto e último depósito, faça o DFC e calcule qual o valor total acumulado em sua aplicação. Série Finita Antecipada Valor Presente : Valor Futuro : Prestação È obtido em função de F ou de P (explicação no quadro) Prazo (explicação no quadro) Taxa de Juros (explicação no quadro) Utilização da HP-12C Série Uniforme Finita (Séries de pagamentos) : Postecipada : Ativar: [g] [END] Antecipada: Ativar: [g] [BEG] OBS.: Para Série Uniforme infinita (Perpetuidade ou anuidade) : fazer n grande. Exercício A compra de um eletrodoméstico no valor de R$2.500,00 será realizada em 15 parcelas mensais iguais e consecutivas. A taxa de juros cobrada pela loja é de 6,3%am. a) Assumindo-se que a primeira parcela será paga em 1 mês, qual o valor dos pagamentos? b) Assumindo-se que a primeira parcela será paga em 3 meses, a partir da data da compra, qual o valor dos pagamentos? c) Se a primeira parcela for paga no ato da compra, qual o valor dos pagamentos? d) Suponha que um indivíduo tivesse resolvido aplicar ao final de cada mês um valor igual ao pagamento do item a), pelo mesmo período de tempo (15 meses), sem retiradas, nesse período. Quanto teria conseguido juntar ao final do 15º mês, se a rentabilidade da aplicação for de 0,7%am? Série em Gradiente Infinita Postecipada Série em Progressão Aritmética Infinita Postecipada Série em Progressão Geométrica Infinita Postecipada Série em Progressão Aritmética Finita Postecipada Série em Progressão Geométrica Finita Postecipada Exercício 1 Uma empresa estuda a possibilidade de investir em um determinado projeto que gerará os seguintes recebimentos mensais previstos: 1º recebimento de $130,00; 2º recebimento de $148,00; 3º recebimento de $166,00; 4º recebimento de $184,00 e assim sucessivamente até o 20º recebimento. A partir daí os recebimentos crescerão à taxa de 2,20% até o 48º recebimento. Admitindo-se que a taxa requerida para o projeto seja de 4%am e que o primeiro recebimento ocorrerá em seis meses, qual o valor do projeto? Exercício 2 Uma empresa estuda a possibilidade de investir em um determinado projeto que propiciará o recebimento dos seguintes fluxos mensais previstos: o 1º recebimento será de $560,00; os demais crescem à taxa de 1,5%, a cada mês, até o 65º fluxo. A partir daí, os fluxos serão iguais ao 65º fluxo e ocorrerão em regime de perpetuidade. Sabendo-se que o primeiro fluxo de recebimento ocorrerá em 6 meses e que a taxa requerida para o projeto é de 3,5%am, a) Qual o valor do 75º recebimento? b) Qual o valor desse projeto? Sistema de Amortização Constante - SAC Sistema de Amortização Constante - SAC Cálculo da amortização Cálculo do juro Cálculo da prestação Saldo Devedor Exemplo Admita que você esteja interessado em adquirir um bem no valor de R$320.000,00. Sabe-se que setenta por cento do bem será financiado em cinco anos pelo Sistema de Amortização Constante, com prestações mensais e taxa de juro anual de 14,76%. Monte as cinco primeiras linhas da tabela para esse financiamento. Sistemas de Amortização Francês e Price Sistemas de Amortização Francês e Price prestação juro amortização Saldo Devedor Exemplo Admita que você comprou um veículo no valor de R$32.500,00 para pagar com uma entrada de R$5.000,00 mais 24 prestações mensais calculadas pelo sistema PRICE com taxa de juros anual de 27,6% (primeiro pagamento em um mês). Com base nessas informações: a) Monte as quatro primeiras linhas da tabela para esse financiamento. b) Qual o valor dos juros e da amortização ocorridos ao final do décimo quinto mês? (sem montar a tabela). * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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