PUCGO SL 2013 1 Slides4 Análise de Fourier

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Análise de Fourier
para Sinais e SLITC’s
Prof. Cláudio A. Fleury
SLITC – Sistema Linear e Invariante no Tempo Contínuo
Conteúdo
1.1. IntroduçãoIntrodução
2.2. Série de FourierSérie de Fourier
3.3. Representação de Sinais PeriódicosRepresentação de Sinais Periódicos
4.4. Transformada de FourierTransformada de Fourier
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 2
5.5. Propriedades da Transformada de FourierPropriedades da Transformada de Fourier
6.6. Transformada de Fourier InversaTransformada de Fourier Inversa
7.7. Resposta em Frequência Resposta em Frequência de Sistemas LITCde Sistemas LITC
História
Série de Fourier é uma ferramenta matemática usada para se analisar 
funções periódicas arbitrárias pela decomposição da funçãodecomposição da função em uma soma de soma de 
funções componentes senoidaisfunções componentes senoidais mais simples, as quais diferem umas das 
outras apenas em amplitude, freqüência e fase. Esta análise aplica-se a vários 
propósitos, dentre eles, aquele de facilitar a manipulação da função original, 
analiticamente e graficamente.
As áreas de aplicação desta teoria incluem a Engenharia Elétrica, a 
Acústica, a Óptica, o Processamento de Sinais e Imagens, e a Compressão de 
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 3
Acústica, a Óptica, o Processamento de Sinais e Imagens, e a Compressão de 
Dados. Usando as ferramentas e técnicas da espectroscopia, por exemplo, 
astrônomos deduzem a composição química de uma estrela pela análise das 
componentes frequenciais (espectro) a partir das luzes emitidas pela estrela; 
engenheiros otimizam o projeto de um sistema de telecomunicações usando 
informações sobre as componentes espectrais de um sinal de dados que um 
sistema transportará.
As Séries de Fourier são assim chamadas em homenagem ao cientista e 
matemático francês JeanJean--BaptisteBaptiste--Joseph FourierJoseph Fourier (1768-1830), quem as 
primeiro usou em seu estudo sobre a Propagação do Calor em Corpos Sólidos
(The Analytical Theory of Heat, anunciado em 1807, mas publicado em 1822)
� Transformações para o Domínio da FreqüênciaDomínio da Freqüência
(espectro) são representações alternativas para se 
conhecer outras características de sinais e sistemas 
LITC, além da causalidadecausalidade e estabilidadeestabilidade
� Assim como a Transformada de Laplace, a de Fourier 
1. Introdução
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 4
� Assim como a Transformada de Laplace, a de Fourier 
também é um operador linearoperador linear muito útil à análise de 
sistemas LITC
� Análise de Fourier: abordagens quanto ao Tipo do Sinal
�� PeriódicoPeriódico: Série de Fourier
�� NãoNão--periódicoperiódico: Transformada de Fourier
2. Série de Fourier Sinal Periódico
� Sinal Periódico x(t) de período T > 0:
� Período fundamental T0 de x(t)
� Menor valor de T para o qual a equação (1) é satisfeita
Freqüência fundamental
(1) ),()( tTtxtx ∀+=
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 5
� Freqüência fundamental
� Linear: f0 = 1/T0
� Angular: ω0 = 2pi f0 
� Exemplos de sinais periódicos
� Sinal senoidal real
� Sinal exponencial complexo )sen()cos()(
)cos()(
002
01
0 tjtetx
ttx
tj ωω
φω
ω
−==
+=
−
2. Série de Fourier Definição
Trigonométrica
� Representação de um Sinal Periódico x(t) com período 
fundamental T0 em Série de Fourier Trigonométrica
∫
∑
=
=++=
∞
= 0
0
1
00
0
cos)(2 :onde
2
 ),sencos(
2
)(
k
kk
tdtktxa
T
tkbtkaatx
ω
pi
ωωω
Coeficientes
Trigonométricos 
da Série de Fourier
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 6
� Efeito da simetria temporal
∫
∫
=
=
0
0
0
0
0
0
sen)(2 
cos)(2 :onde
T
k
T
k
tdtktx
T
b
tdtktx
T
a
ω
ω
da Série de Fourier
Se x(t) par � bk = 0
Se x(t) ímpar � ak = 0
Exemplo 1
2pipi
-1
1
f(t)
t0
Como f(t) é uma função ímpar, 
Então:

==
4
,3,2,1 ,0 kak K



<≤−
<≤
=
pipi
pi
21
01)(
t
t
tf Sinal periódico com T0=2pi
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 7




=




−= ∫ ∫
par ,0
ímpar ,4)(sen)(sen1
0
2
k
k
kdtktdtktbk pipi
pi pi
pi






+++= L
5
)5sen(
3
)3sen(
1
)sen(4)( ttttf
pi
Como o sinal f(t) tem média nula, então: 00 =a
� Sinal Dente-de-Serra: x(t) = t, [-pi,pi]
( )2 ∫pi
( ) ( )∑
∞
=
++=
1
00
0 sencos
2
)(
k
kk tkbtka
a
tx ωω
Exemplo 2
Sinal periódico com T0 = 2pi, ω0 = 1 
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 8
( )
( ) ( )
kk
ktt
k
kt
dtkttdtkttb
dtktta
k
k
k
1
00
2
0
)1(2)cos(.)sen(2
sen
2
sen
2
2
0cos
2
2
+
−
−
−
=












−



=
==
==
∫∫
∫
pipi
pipi
pi
pi
pi
pi
pipi
pi Simetria ímpar






−+−+−= L
5
)5sen(
4
)4sen(
3
)3sen(
2
)2sen()sen(2)( ttttttx
2. Série de Fourier Definição
Trigonométrica Compacta
� Representação em Série de Fourier de um Sinal Periódico x(t) com 
período fundamental T0
� C0 é a componente de Corrente Contínua (DC) de x(t)1
C cos(kω t–θ ) é a componente harmônica de ordem k de x(t)
0
0
1
00
2
 ),cos()(
T
tkCCtx
k
kk
pi
ωθω =−+= ∑
∞
=
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 9
� Ck cos(kω0t–θk) é a componente harmônica de ordem k de x(t)
� A primeira componente harmônica, C1 cos(ω0t–θ1), é a componente 
fundamental, pois ela tem o mesmo período fundamental de x(t)
� Relação entre os Coeficientes Trigonométricos e os 
Coeficientes Trigonométricos Compactos
( )kkk
kkk
abarctg
baCaC
=
+==
θ
;;
2
220
0
1 valor médio
)(
2
1);(
2
1
)(;;2 00
kkkkkk
kkkkkk
jbaCjbaC
CCjbCCaCa
+=−=
−=+==
−
−−
2. Série de Fourier Definição
Exponencial Complexa
� Representação de um Sinal Periódico x(t) com período fundamental 
T0= 2pi /ω0 em Série de Fourier Exponencial Complexa
∫
∑
−
∞
−∞=
=
=
0
0
)(1 :onde
)(
tjk
k
k
tjk
k
dtetxD
eDtx
ω
ω
Coeficientes 
Complexos da
Série de Fourier
Eq. de SínteseEq. de Síntese
Eq. de AnáliseEq. de Análise
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 10
� Valor médio de x(t) em um período:
� Para x(t) real: D
-k = Dk*
∫=
0
)( :onde
0 T
k dtetxT
D
∫==
0
)(1 :0 fazendo
0
0
T
dttx
T
Dk
conjugado complexo
Eq. de AnáliseEq. de Análise
Valor MédioValor Médio
Coeficientes da Série de Fourier Exponencial do sinal x(t) = cos(ω0t)
Exemplo 3
:sãoComplexa xponencial Fourier Ede Sérieda escoeficient os que vemosinspeçãopor Assim,
2
1
2
1
2
)cos(
:definiçãoda invés ao Euler,dea Fórmula usar Vamos
 )cos()(
0
0
000
00
=+=
+
=
=
∞
−∞=
−
−
∑ eDee
ee
t
ttx
k
tjk
k
tjtj
tjtj
ωωω
ωω
ω
ω
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 11
1 ,0 
2
1
 
2
1
:sãoComplexa xponencial Fourier Ede Sérieda escoeficient os que vemosinspeçãopor Assim,
11 ≠=== − kDDD k
ωω0−ω0
∠DkFase
ωω0−ω0
1/2
|Dk|Módulo
Exemplo 4
:são Complexa lExponenciaFourier de Série da escoeficient os Assim,
2
1
2
1
2
)sen(:Euler de Fórmula ausar vamosdefinição, a usarmos de invés Ao
 )sen()(
0
0
000
00
=−=
−
=
=
∞
−∞=
−
−
∑ eDejejj
ee
t
ttx
k
tjk
k
tjtj
tjtj
ωωω
ωω
ω
ω
Coeficientes da Série de Fourier Exponencial do sinal x(t) = sen(ωωωω0t)
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 12
1 ,0 
2
1
 
2
1
:são Complexa lExponenciaFourier de Série da escoeficient os Assim,
11 ≠=−== − kDjDjD k
ωω0−ω0
1/2
|Dk|Módulo
ωω0−ω0
∠DkFase
pi/2
−pi/2
Exemplo 5
)6sen()4cos()(
rad/s 2/2 e :/3 de e /2 de
comum múltiplo mínimo o será período o e racional, número um
 como expressaser puder períodos srespectivo seus os entre
razão a se somente periódico sinal um é )6sen()4cos()(
2
00021
0
==+=
=====
+=
∞∞
∑∑ tkjktjkk eDeDtttx
TTTT
tttx
ω
piωpipipi
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 13
contrário caso ,0 
2
1
 
2
1
 
2
1
 
2
1
:sãoFourier de complexos escoeficient os Assim,
)(
2
1)(
2
1)6sen()4cos()(
:Euler de fórmulas as usando Novamente
)6sen()4cos()(
3223
6644
====−=
−++=+=
==+=
−−
−−
−∞=−∞=
∑∑
k
tjtjtjtj
k
k
k
k
DjDDDjD
eejeetttx
eDeDtttx
Exemplo 6




==
====
−
−
−
∞
∞=
∫∫
∑
.12
2
1)(1
rad/s 1
2
22
 ,)(
0
2
2
0
0
0
-k
0
0
0
0
dtedtetf
T
D
T
eDtf
tjkT
T
tjk
k
tjk
k
pi
pi
pipi
ω
piω
ω
2pipi
-1
1
f(t)
t0



<≤−
<≤
=
pipi
pi
21
01)(
t
t
tf Sinal periódico com T0=2pi
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 14
ímpar para ,2)( kejktf
tjk
k
−
∞
−∞=
∑=
pi
( )[ ] ( )





=
−−=−
−
=

−
contrário caso ,0
ímpar para ,2
)1(111
2
2
20
kjkD
jkejkD
T
k
kjk
k
pi
pipi
pi
pi
Exemplo 7
Τ0 /4
A
x(t)
t0
−Τ0 Τ0
1)(1
2
 ,)(
4
4
0
2
2
0
0
0
-k
0
0
0
0
0
0
0
==
==
−
−
−
−
∞
∞=
∫∫
∑
dtAe
T
dtetx
T
D
T
eDtx
T
T
tjkT
T
tjk
k
tjk
k
pi
ω
ωω
ω
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 15
( ) ( )
 
0 para 
2
12 para )1(
02 para 0 
2
csin
22
sen
2
2244
00
00
0000








=
+=−
≠=
=






=





=
−
−
=−
−
=
−−
kA
mk
k
A
mk
c
kAk
k
A
c
eejk
A
ee
Tjk
A
c
TT
m
k
k
jkjkTjkTjk
k
pi
pipi
pi
piω
pipiωω
A função sinc(x) = sen(x)/x é 
chamada de seno amortecido
(do latim: sinus cardinalis) e é 
conhecida também por função
Interpolação ou função Filtragem
% Espectro de linha de um TREM DE PULSOS RETANGULARES de amplitude A
� Sinal Trem de Pulsos
( ) ( )2/sinc
2/
2/sen
1
0
00
0
0
2
200
2
2
0
0
0
τω
τ
τω
τωτ
ω
τ
τ
ω
τ
τ
ω
k
T
A
k
k
T
AD
jk
e
T
AdtAe
T
D
k
tjk
tjk
k
=





=






−
==
−
−
−
−
∫
-T0 -τ/2 0 τ/2 T0 2T0 t
x(t)
A
Exemplo 8
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 16
% Espectro de linha de um TREM DE PULSOS RETANGULARES de amplitude A
% Por ser um sinal de simetria par, os coeficientes de Fourier são reais
A = 1; % amplitude dos pulsos
T0 = 0.25 % período do sinal
taus = [5 10 20].* (T0/100) % duty cicle
k = -20:20; % harmonicos considerados
w0=2*pi/T0; % freq. angular
for i=1:3
c = sinc(k*(w0*taus(i)/2)).*(taus(i)/T0); % coefic.s da Série de Fourier
subplot(1,3,i), stem(k,c)
xlabel(sprintf('taus = %3.1f ms',taus(i)*1000));
end
set(gcf, 'Name', 'Espectro de Frequencia do sinal TREM DE PULSOS',...
'NumberTitle','off','MenuBar','none');
-20 -10 0 10 20
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
-20 -10 0 10 20
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
-20 -10 0 10 20
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Coeficientes ck para A=1, T0=0.25s, ω0=8pi, t1=5%T0, t2=10%T0, t3=20%T0
% Espectro de linha de um TREM DE PULSOS RETANGULARES de amplitude A
� Sinal Trem de Pulsos
-T0 -τ/2 0 τ/2 T0 2T0 t
x(t)
A
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
T0 = 250.0 ms
0.15 O espaçamento entre as 
Exemplo 8
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 17
% Espectro de linha de um TREM DE PULSOS RETANGULARES de amplitude A
% Por ser um sinal de simetria par, os coeficientes de Fourier são reais
A = 1; % amplitude dos pulsos
taus = 50e-3; % duty cicle
T0 = [5 10 20]*taus; % período do sinal
k = -20:20; % harmonicos considerados
w0=2*pi./T0; % freq. angular
for i=1:3
c = sinc(k*(w0(i)*taus/2)).*(taus/T0(i)); % coefic.s da Série de Fourier
subplot(3,1,i), stem(k,c)
xlabel(sprintf('T0 = %3.1f ms',T0(i)*1000));
end
set(gcf, 'Name', 'Espectro de Frequencia do sinal TREM DE PULSOS',...
'NumberTitle','off','MenuBar','none');
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
T0 = 500.0 ms
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
T0 = 1000.0 ms
O espaçamento entre as 
linhas espectrais decresce 
quando T0 aumenta, 
mantendo fixo τ
� Condições de Dirichlet
A série de Fourier existirá se:
� x(t) for integrável em módulo no intervalo de um período
� x(t) tiver um número finito de máximos e mínimos dentro de 
um intervalo de tempo
3. Convergência da Série de Fourier
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 18
um intervalo de tempo
� x(t) tem um número finito de descontinuidades (finitas) 
dentro de qualquer intervalo de tempo
� Essas condições são suficientes, mas não necessárias
Espectro de Freqüência de Sinal Periódico
� Sejam os coeficientes da Série de Fourier Exponencial 
Complexa:
� Magnitude do Espectro do sinal periódico x(t): ω × |Dk|
� Fase do Espectro do sinal periódico x(t): ω × Φk 
kj
kk eDD
φ
=
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 19
� Fase do Espectro do sinal periódico x(t): ω × Φk 
� k ∈ I , logo a Magnitude e a Fase do Espectro serão curvas 
discretas, ocorrendo somente nas freqüências discretas kω0
(múltiplas inteiras da freq. fundamental)
� Se um sinal x(t) for periódico e real, então: 
D
-k = Dk* ou seja, |D-k| = |Dk| e Φ-k = -Φk
� Magnitude do Espectro será uma função par de ω
� Fase do Espectro será uma função ímpar de ω
Potência de um Sinal Periódico – Teor. de Parseval
� Potência média de um sinal periódico x(t) em um 
período qualquer
∫=
0
2
0
)(1P
T
dttx
T
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 20
� Teorema de Parseval da Série de Fourier
∑∫
∞
−∞=
==
k
k
T
Ddttx
T
22
0 0
)(1P
Domínio do Tempo Domínio da Freqüência
4. Transformada de Fourier de Tempo Contínuo
� A Série de FourierSérie de Fourier representa um sinal periódico como uma 
combinação linear de exponenciais complexas harmonicamente 
relacionadas. Como conseqüência da periodicidade, estes sinais 
possuem espectro de linhaespectro de linhacom linhas eqüidistantes. O 
espaçamento entre linhas é igual à freqüência fundamental, a 
qual por sua vez determina a quantidade de linhas do espectro 
por unidade de freqüência
Para sinais x(t) não periódicos e de duração finita
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 21
por unidade de freqüência
� Se o período cresce de modo ilimitado, o espaçamento das linhas 
tende a zero. No limite, quando o período for infinito, o sinal 
torna-se não periódico e seu espectro tornaespectro torna--se contínuose contínuo, mais 
especificamente, torna-se o envelope do espectro de linha do 
sinal periódico correspondente
-T1 0 T1 t
x(t)
-T0 0 T0 2T0 t
xp(t)
)()(lim 0)(
0
1 txtxTttx pT =>= ∞→
0
2
 )( 0
T
ectx tjkkp
pi
ωω == ∑
∞
Transformada de Fourier de Tempo Contínuo
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 22
0
0 )( Tectx k kp ∑−∞=
∫∫∫
+∞
∞−
−
+
−
−
+
−
−
=== dtetx
T
dtetx
T
dtetx
T
c
tjk
T
T
tjk
T
T
tjk
pk
0
0
0
0
0
0
0 ).(1).(1).(1
0
2
20
2
20
ωωω
)(1 :emos ter).()( :Definindo 0
0
ωω ω kX
T
cdtetxX ktj == ∫
+∞
∞−
−
∫∑
∑∑
∞
∞−
∞
−∞=
→∆∞→
∞
−∞=
∞
−∞=
=∆∆==
=⇒==
ωω
pi
ωω
pi
ωω
piω
pi
ω
ωω
ω
ωω
deXekXtxtx
ekXtxTekX
T
tx
tj
k
tjk
pT
k
tjk
p
k
tjk
p
)(
2
1)(
2
1lim)(lim)(
)(
2
1)(2 :como e )(1)( :Logo
0
00
0
00
0
0
00
� Par de Transformadas de Fourier
( ){ }
( ){ } ).(
2
1)(
).()(
1 ωω
pi
ω
ω
ω
ω
deXXtx
dtetxtxX
tj-
tj
=ℑ=
=ℑ=
∫
∫
∞+
+∞
∞−
−
Transformada de Fourier de Tempo Contínuo
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 23
� Assim como ocorre com as Séries, também com as 
Transformadas de Fourier, os sinais devem satisfazer às 
condições de Dirichlet para que a integral convirja
( ){ }
)()( :adas transformdePar 
).(
2
)(
ω
ωω
pi
ω
Xtx
deXXtx
↔
=ℑ= ∫
∞−
( ) ( )sen
2
2)(
).()(
000
0
0
0
T
j
eeA
j
eAjX
dtAedtetxjX
TjTjT
T
tj
T
T
tjtj
ω
ωω
ω
ω
ωωω
ωω





 −−
=





−
=
===
−
−
−
−
−
∞
∞−
−
∫∫
� Sinal Janela Retangular
-T0 0 T0 t
x(t)
A
Exemplo 9
( ) ( )00
0
0
0 sinc2
.
sen2)( TAT
T
TATjX ω
ω
ω
ω ==
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 24
� Linearidade 
� Inversão no Tempo e na Freqüência
� Diferenciação no Tempo
� Diferenciação na Freqüência
� Deslocamento no Tempo
Transformada de Fourier de Tempo Contínuo
)()( ω−⇔− Xtx
ω
ω
d
dX
txjt )()(. ⇔−
)()( 00 ωωXettx jt−⇔−
)()()()( ωω bYaXtbytax +↔+
Propriedades
)(.)( ωω Xj
dt
tdx
⇔
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 25
� Mudança de escala no Tempo
� Deslocamento na freqüência 
� Convolução
� Teorema de Parseval
)()( 0 ωXettx ⇔−
)()( 00 ωωω −⇔ Xtxe jt
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
== ωω
pi
dXdttxE 22 )(
2
1)(
)().(
2
1)()(
)()()().(
2121
2121
ωω
pi
ωω
XXtxtx
XXtxtx
⇔∗
∗⇔
aaXatx /)/()( ω⇔
Resposta em Freqüência de SLITC’s
� Para SLITC’s temos: y(t) = x(t) ∗ h(t)
� Propriedade da convolução: Y(ω) = X(ω) . H(ω)
ou: H(ω) = Y(ω) / X(ω)
� H(ω) é a Resposta em FreqüênciaResposta em Freqüência do sistema
� H(ω) = |H(ω)| e jθ (ω)
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 26
� H(ω) = |H(ω)| e 
� Se X(ω) = |X(ω)| e jα (ω) então Y(ω) = |Y(ω)| e jφ (ω)
com |Y(ω)| = |X(ω)|. |H(ω)| e φ (ω) = α (ω) + θ (ω)
Magnitude da resposta em freqüência 
Fase da resposta em freqüência 
Exercícios
� Livro-texto
� Cap. 6
� Exercícios
� E6.1 (p.542)
� E6.2 (p.543)
ACL Prof. Cláudio ABR/2006 27
� Problemas
� 6.1-1, 6.1-2, 6.1-3, 6.3-1, 6.3-2, 6.3-8