Lista 2 Variáveis Complexas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA´
Varia´veis Complexas CM068
Prof. Cleber
Segunda lista de exerc´ıcios de Varia´veis Complexas - 18/03/2015
Exerc´ıcios do livro: Ca´lculo em uma Varia´vel Complexa, Ma´rcio G. Soares, IMPA.
Pa´ginas 55: 1, 2, 3, 4, 5
Exerc´ıcios adicionais:
1. Sejam f e g func¸o˜es complexas deriva´veis em z0. Prove que f + g, f · g e 1/f (quando f(z0) 6= 0) sa˜o deriva´veis
em z0. Ale´m disso,
(a) (f + g)′(z0) = f ′(z0) + g′(z0)
(b) (f · g)′(z0) = f ′(z0) · g(z0) + f(z0) · g′(z0)
(c)
(
1
f
)′
(z0) = − f
′(z0)
f2(z0)
, desde que f(z0) 6= 0
2. Seja f(z) = f(x+ iy) = u(x, y) + iv(x, y) onde
u(x, y) =
x3 − y3
x2 − y2 e v(x, y) =
x3 + y3
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
e u(0, 0) = v(0, 0) = 0. Verifique que u e v satisfazem as condic¸o˜es de Cauchy-Riemann em (0, 0), pore´m f na˜o
e´ deriva´vel em (0, 0). Por que ocorre isso?
3. Verifique em que conjunto a func¸a˜o dada e´ deriva´vel.
(a) f(x+ iy) = ex(cos y + i sen y)
(b) f(x+ iy) = ex(cos y − i sen y)
(c) f(z) = z2
(d) f(z) = zn
(e) f(z) = Re(z)Im(z)
(f) f(z) =
1
zz
(g) f(z) =
z
z
4. Seja f : A ⊂ C → C. Um ponto z0 e´ chamado de ponto singular de f se existe r > 0 tal que f e´ deriva´vel
em D(z0, r) exceto em z0. Calcule a derivada (complexa) das func¸o˜es a seguir e determine seus pontos de
singularidade.
(a) f(z) =
1
z
(b) f(z) =
1
(z − i)z (c) f(z) =
3z − 1
z − i (d) f(z) =
z − i
z + i
5. Seja f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) uma func¸a˜o deriva´vel em z0 6= 0. Mostre que, em relac¸a˜o as coordenadas
polares
x = r cos θ e y = r sen θ
valem as condic¸o˜es de Cauchy-Riemann em coordenadas polares
∂u
∂r
=
1
r
∂v
∂θ
e
1
r
∂u
∂θ
= −∂v
∂r
(r 6= 0),
no ponto z0. Reciprocamente, prove que se valem as equac¸o˜es acima, enta˜o valem as equac¸o˜es de Cauchy-Riemann
ux = vy e uy = −vx em z0.
6. Seja f(z) definida do seguinte modo: f(z) = z2 se Re(z) > 0; f(z) = −z2 se Re(z) < 0; e f(z) = 0 se Re(z) = 0.
Determine o conjunto dos pontos nos quais valem as condic¸o˜es de Cauchy-Riemann. Determine o conjunto onde
f e´ holomorfa.
7. Seja f : C→ C tal que f(z+w) = f(z) · f(w) para todo z, w ∈ C. Mostre que se f for deriva´vel em z = 0, enta˜o
f e´ uma func¸a˜o inteira. Calcule a derivada de f .