Lista de Exercicios - vetores

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Disciplina: Álgebra Vetorial e Geometria Analítica 
Turma: ________________________ 
Professor: ___________________________ Data: _______________ 
 
Aluno:____________________________________________________________________ 
 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS I - VETORES 
 
 
 
1) Verifique se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações e justifique a sua resposta. 
 
a) 
ABAB 
b) 
CDABCDAB //// 
 
c) 
DBeCACDAB 
 
d) 
BDACCDAB ~
 
e)  BDACCDAB 
f) 
CDABCDAB 
 
g) 
CDABCDAB 
 
h) Se 
CDAB 
 então existe um único 
plano contendo A, B, C e D. 
i) 
CDABCDAB ~
 
j) Se 
w u v 
, então 
| | | | | |w u v 
. 
 
2) Na figura 1 os hexágonos são regulares. Em cada caso, determine a soma dos 
vetores indicados. 
 
 
3) Obtenha a soma dos vetores indicados em cada caso da figura 2. 
 (a) ABCDEFGH é um paralelepípedo. 
 (b) ABCDEFGH e EFGHIJLM são cubos de arestas congruentes. 
 (c) O cubo ABCDEFGH tem centro O e está dividido em oito cubos congruentes 
por planos paralelos às faces. 
 
 
4) Utilize o paralelepípedo da figura 2(a) para determinar o vetor 
x
 em cada caso: 
 a) 
ABAEFEHEGHx 
 
 b) 
BEAFBCDGCFHDx 
 
 
5) Na figura 2(a), sejam 
.,, ACwAHvABu 
 Obtenha representantes dos 
vetores 
x
 e 
y
 tais que 
0 xvu
 e 
0 ywvu
. 
 
6) O ponto P na figura 3 divide AB em dois segmentos. Expresse 
OP
como 
combinação linear dos vetores 
OBOA e 
. 
 
 
O 
B 
P 
. 
Figura 3 
Figura 1 
Figura 2 
A 
A 
B 
C D 
Figura 4 
 
7) Na figura 4, 
ADDC  2
. Expresse 
BD
 em função de 
. e BCBA
 
 
8) Sejam M, N, P e O pontos coplanares e não colineares, tais que 
2
.
5
MN PM 
 
Escreva 
ON
 como combinação linear de 
OM
 e 
OP
. 
 
9) Sejam A, B, C e D pontos coplanares tais que 
CBCD e
 são LI e 
1
3
CD AB 
. 
 a) Expresse 
AD
 como combinação linear de 
. e ABAC
 
 b) Trace um representante de 
AD
 a partir da combinação linear obtida. 
 
 
10) Sabendo-se que a distância entre os pontos 
)3,2,1(P
 e 
(1, 1, )Q z
 é 7 unidades, 
calcule z. 
 
 
11) Demonstre que n vetores são linearmente dependentes se, e somente se, um 
deles é combinação linear dos outros. 
 
 
12) Estude a dependência linear dos seguintes vetores: 
 
a) (0,0,5) e (0,0,7) 
b) (5,1,3), (0,0,0) e (-1,2,3) 
c) (1,0,-1) 
d) (-1,-1,2), (0,1,-1) e (1,1,1) 
 
13) Dados os vetores 
a
 = (1,1,1), 
b
 = (-1,-1,2), 
c
= (0,1,-1) e 
d
= (1,2,-3), 
pergunta-se: 
 
a) Esses vetores são L.I. ou L.D.? Justifique a resposta. 
b) Escreva um deles como combinação linear dos outros. 
 
14) Dados os vetores 
 1,,0 e 2,35  awnmvnmu
, determine o valor de a 
para que os vetores 
wvu e,
 sejam LD, sabendo-se que 
 2,0,1m
 e 
 0,2,1n
 
 
15) Usando produto escalar, demonstre o teorema de Pitágoras. 
 
 
 
 
 
 
 
16) Dada a base 
 kji ,,
 sejam: 
 
17) Demonstre que a soma dos quadrados das diagonais de um paralelogramo é 
igual à soma dos quadrados dos quatro lados; em outras palavras, provar que 
 
18) Verifique se os pontos A, B e C são colineares nos seguintes casos: 
 
 a) A(1,0,-1), B(1,0,0), C(5,2,1) 
 b) A( ½ ,0, 2), B( ½ ,-1, 2), C(2,3,1) 
 
19) Verifique se os pontos A(2,1,0), B(1,-1,0), C(3,1,5) e D(0,-1,2) são coplanares. 
 
20) Sabendo que o ângulo entre os vetores 
)1,1,2( u

 e 
(1, 1, 2)v k  
 é dado 
por 
rad
3

, determine o valor de 
k
. 
 
 
21) Qual o valor de 

 para que 
5 4a i j k  
 e 
( 1) 2 4b i j k   
 sejam 
ortogonais ? 
 
 
22) Determine o valor de m para que o vetor 
),2,1( mw 

 seja simultaneamente 
ortogonal aos vetores 
)0,1,2(1 v
 e 
)1,3,1(2 v
. 
 
23) Sabendo-se que 
3a 
, 
2b 
 e 45
o
 é o ângulo entre 
a
 e 
b
, calcular 
.axb
 
 
24) Determine o vetor 
w
 tal que 
( ) 2( )w i k i j k    
 e 
6w 
. 
 
    bases. são g,g,g e ,, se Verifique
7,4,32)
72,2,32)
321321
321
321
fff
kjigkjgkjigb
kjifkifkjifa




.22
2222
vuvuvu


 
25) Considere os vetores 
, e u v w
 que determinam um 
tetraedro na figura. Determine: 
 
 a) a área da face do tetraedro oposta ao vértice O; 
 
 b) a área do paralelogramo determinado pelos vetores 
 
 e v w
; 
 
 c) o ângulo formado entre 
u
 e o eixo x. 
 
 
 
26) Determine a resultante das forças em cada item a seguir: 
 
27) Determine 
v
 , paralelo ao vetor 
)2,1,1( u

 tal que 
18v u  
. 
 
28) Calcule x, sabendo-se que 
( ,1,1)A x
, 
(1, 1,0)B 
 e 
(2,1, 1)C 
 são vértices de um 
triângulo de área 20
2
. 
 
29) Dados os pontos A(1, -2, 3), B(5, 2, 5) e M(-4, 2, 9), determine as coordenadas 
dos pontos C e D, tal que ABCD (nesta ordem) seja um paralelogramo, onde M 
é ponto médio do segmento AC. 
a) 
1F 80kgf
 , 
2F 150kgf
 e 
3F 180kgf
 
b) 
1F 120kgf
 , 
2F 100kgf
 e 
3F 120kgf
 
 
 
2 
2 
2 
 
3 
1 
3 
4 
O 
Z 
Y 
X 
 
o
32) Considere um ABC com área igual a 4, AC 2 e AB . Sabendo que um dos cossenos
2
 diretores de AC é cos e A(1,0,1), calcule as coordenadas do vértice B.
2
i

  

 
 
 
ASD. triângulodo área a Calcule (1,0,2). AM e 
3
2
3
1
DS que talAM de ponto
 um é S BC. de médio ponto é M e C(1,-2,1) B(1,2,3), que sabemos ABCD amoparalelogr Do 33)
 DADM
 
 
 
34) Na figura abaixo, A(0,0,0), B(1,1,0), D(-1,0,1), EM 0, AC é bissetriz do triângulo ABD
 em relação ao vértice A e AE 2. Determine as coordenadas do vetor AM.
AD 

 
 
 
 
35) Calcule o produto misto dos vetores u 3 , v 2 5 e w 4 3 . Esses vetoresi j k i j k i j k        
 
são coplanares? 
A M 
E 
D 
 
C
C 
B 
   
 
13
30) A medida algébrica da projeção de um vetor sobre o eixo é igual a . Sabendo-se que
3
 a) o eixo tem o mesmo sentido de AB, onde 6,2,2 e 8,3,0 ;
6
 b) o cos , 
7
v f
f A B
v i  e 7.
 Quais as coordenadas de ?
31) Os vetores AB, AC e AE têm para representantes as arestas de um cubo de base ABCD, onde 
1 1
A(1,2,0), B(-1,4,1) e AE , ,0 . Determin
2 2
o
v
v

 
   
 
e as coordenadas do vértice D.
 
38) Dados 
13, 2a b 
 e 
24a b 
, calcule: 
 a) 
a b
 
 b) as coordenadas do vetor 
b
, sabendo que os ângulos diretores de 
b
 são agudos 
e congruentes. 
 
39) Dados 
3 e 2a i j mk b i m j k      
, determine m de modo que 
 , ,a b a b
 
seja uma base ortogonal. 
 
40) Dados os pontos A(0,0,1), B(2,– 1, 2), C(0,2,2) e D(t,3t, t + 1) que constituem os 
vértices de um tetraedro ABCD, determine t sabendo que o volume deste tetraedro é 
3
5
. 
41) De um paralelogramo ABCD temos: A(1,2,3), B(5,2,3), C(7,3,4), AB

DM e 
DBDE
3
1

. 
 Determine a área do triângulo MDE. 
 
 
 
 
 
42) Do tetraedro ABCD temos as seguintes informações: A(0,0,0), D(1,5,t), 
AB = (1,0,0), 1 3 8 3
, ,0 , 8,
2 2 3
ABCDAC AB AC V
 
     
 
 e o triângulo ABC 
éequilátero. Determine as coordenadas do vértice D. 
 
 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 
 
 
1) a) V b) V c) F d) V e) F f) F g) V h) F i) V j) F 
2) a) 
DB
 b) 
FC
 c) 
FC
 d) 
OD
 
B
A 
E 
ordenadas. das eixo no está mesmo o que se-sabendo D, ponto do scoordenada as Calcule 
 1. volumede ABCD tetraedroum de vérticessão C(2,-1,3) e B(3,0,1) A(2,1,-1), pontos Os )37
.wA D e vA C ,uAB onde ABCD 
 tetraedrodo volumeo e ABC triângulodo área a calcule ,2w e 32 ,u Sendo 36)

 kjkjivji
A 
D 
M 
C 
3) a) 
AF
 b) 
BL
 c) 
AF
 4) a) 
AG
 b) 
HD
 5) 
x GA
 e 
y FA
 
6) 
OP
= 
 1 ,OA OB R    
. 7) 
BD
 = 
BCBA 
3
1
 
3
2

 8) 
ON
 = 
OM
5
3
+ 
2
5
OP
 
9) a) 
AD
= 
1
 
3
AC AB
 10) z = -3 ou z = 9 
12) a) LD b) LD c) LI d) LI 13) a) L.D. b) 
d b c  
 
14) a= – 1 
16) 
 1 2 3, ,f f f
 é base e 
 1 2 3, ,g g g
 não é base. 
18) a) Não b) Não 19) Não são coplanares 20) k = – 4 21) 
2ou3  
 
22) m = – 5 23) 3 24) 
 1,2,1w  
 
25) a) 
2
153 b) 18 c) 
3
2
arccos
 
26) a) 
 75 3 90 2, 5 90 2RF    
 b) 
 60 3 120, 40RF   
 
27) 
 3,3, 6v   
 28) 
2ou2,1  xx
 
29) 
   13,2,13,15,6,9  DC
 30) 
 6, 3, 2v   
 ou 
17 6
6, ,
5 5
v
 
  
 
 
31) 










122,
2
28
,
2
22
 32) 
 9,0,1
 
 
33) 
3
21
S
 34) 
1 1
,0,
2 2
AM
 
  
 
 35) 
, ,u v w  
 = 26; não 
36) 
2
33
S
 e 
2
1
V
 37) 
)0,2,0(
ou (0,-1,0) 
38) a) 
55
 b) 








3
32
,
3
32
,
3
32
 39) m = 1 
40) t = 2 ou t = -2 41) 
3
2
S
 
42) 
)2,5,1(
ou (1,5,-2)