Funções Hiperbólicas e Inversas

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Ca´lculo diferencial e geometria analı´tica 2015.2
Professor Keˆnio Alexsom de Almeida Silva
Func¸o˜es hiperbo´licas e suas inversas
1 Func¸o˜es hiperbo´licas
As func¸o˜es hiperbo´licas tem aplicac¸o˜es em cieˆncia e tecnologia. Na biologia o formato da arcada denta´ria
e´ modelado pela func¸a˜o cosseno hiperbo´lico, atrave´s da catena´ria (seu gra´fico). Na construc¸a˜o de ponte
peˆnsil e linhas de transmissa˜o ele´trica aparecem a catena´ria. Em fenoˆmenos oscilato´rios, ondas marı´timas,
as func¸o˜es seno, cosseno e tangente hiperbo´licas teˆm pape´is fundamentais. Para exemplos especı´ficos ver
capı´tulo 3 de [Ste], capı´tulo 5 de [HG], capı´tulo 15 de [MT].
1.1 Func¸a˜o seno hiperbo´lico
Definic¸a˜o 1. A func¸a˜o seno hiperbo´lico senh e´ definida por
senh(x) =
ex − e−x
2
, ∀ x ∈ R.
A func¸a˜o senh e´ deriva´vel pois e´ a soma de duas func¸o˜es exponenciais. Em particular,
d
dx
(senh(x)) =
ex + e−x
2
.
A derivada da func¸a˜o seno hiperbo´lico e´ chamada de func¸a˜o cosseno hiperbo´lico.
O gra´fico da func¸a˜o senh fica na regia˜o entre os gra´ficos das func¸o˜es x 7→ e
x
2
e x 7→ −e
−x
2
.
Observe que para x→ −∞ tem-se senh(x) ≈ −e
−x
2
, enquanto que para x→ +∞ tem-se senh(x) ≈ e
x
2
.
lim
x→+∞ senh(x) = limx→+∞
ex
2
− lim
x→+∞
e−x
2
= +∞;
lim
x→−∞ senh(x) = limx→−∞
ex
2
− lim
x→−∞
e−x
2
= −∞.
1.2 Func¸a˜o cosseno hiperbo´lico
Definic¸a˜o 2. A func¸a˜o cosseno hiperbo´lico cosh e´ definida por
cosh(x) =
ex + e−x
2
, ∀ x ∈ R.
A func¸a˜o cosh e´ deriva´vel. Em particular,
d
dx
(cosh(x)) =
ex − e−x
2
= senh(x).
O gra´fico da func¸a˜o cosh fica na regia˜o entre os gra´ficos das func¸o˜es x 7→ e
x
2
e x 7→ e
−x
2
.
Observe que para x→ −∞ tem-se cosh(x) ≈ e
−x
2
,
enquanto que para x→ +∞ tem-se cosh(x) ≈ e
x
2
e senh(x) ≈ cosh(x).
lim
x→+∞ cosh(x) = limx→+∞
ex
2
+ lim
x→+∞
e−x
2
= +∞;
lim
x→−∞ cosh(x) = limx→−∞
ex
2
+ lim
x→−∞
e−x
2
= +∞.
1.3 Func¸a˜o tangente hiperbo´lica
Definic¸a˜o 3. A func¸a˜o tangente hiperbo´lica tgh e´ definida por
tgh(x) =
senh(x)
cosh(x)
=
e2x − 1
e2x + 1
, ∀ x ∈ R.
A func¸a˜o tgh e´ deriva´vel pois e´ o quociente de func¸o˜es deriva´veis. Em particular,
d
dx
(tgh(x)) =
1
cosh2(x)
, pois,
(senh(x))′ cosh(x) − (cosh(x))′ senh(x)
cosh2(x)
=
cosh2(x) − senh2(x)
cosh2(x)
=
1
cosh2(x)
,
cosh2(x) − senh2(x) = e
2x + 2 + e−2x
4
− e
2x − 2 + e−2x
4
= 1.
2
O gra´fico da func¸a˜o tgh fica na regia˜o entre as retas horizontais y = −1 e y = 1.
lim
x→+∞ tgh(x) = limx→+∞
e2x − 1
e2x + 1
= lim
x→+∞
1 − 1
e2x
1 +
1
e2x
= 1;
lim
x→−∞ tgh(x) = limx→−∞
e2x − 1
e2x + 1
= −1.
1.4 Func¸a˜o cosecante hiperbo´lica
Definic¸a˜o 4. A func¸a˜o cosecante hiperbo´lica cosech (csh) e´ definida por
cosech(x) =
1
senh(x)
, ∀ x > 0.
A func¸a˜o cosech e´ deriva´vel, pois e´ a recı´proca de uma func¸a˜o deriva´vel. Em particular,
d
dx
(cosech(x)) = − cotgh(x) cosech(x), pois
(senh(x))′
senh2(x)
=
cosh(x)
senh2(x)
= cotgh(x) cosech(x), onde
cotgh(x) =
1
tgh(x)
.
Observe que para x→ 0+ tem-se cosech(x) ≈ 1
ex − 1,
enquanto que para x→ +∞ tem-se cosech(x) ≈ 2e−x. De fato,
lim
x→0+ cosech(x) = limx→0+
2ex
ex − 1
1
ex + 1
= lim
x→0+
ex
ex − 1 = limx→0+
1
ex − 1 = +∞;
lim
x→+∞ cosech(x) = limx→+∞
2
ex(1 − 1/e2x) = limx→+∞
2
ex
= 0.
3
1.5 Func¸a˜o secante hiperbo´lica
Definic¸a˜o 5. A func¸a˜o secante hiperbo´lica sech e´ definida por
sech(x) =
1
cosh(x)
, ∀ x ∈ R.
A func¸a˜o sech e´ deriva´vel pois e´ a recı´proca de uma func¸a˜o deriva´vel. Em particular,
d
dx
(sech(x)) = − tgh(x) sech(x), pois
(cosh(x))′
cosh2(x)
=
senh(x)
cosh2(x)
= tgh(x) sech(x).
Observe que para x→ ±∞ tem-se sech(x) ≈ 2e−x. De fato,
lim
x→+∞ sech(x) = limx→+∞
2ex
e2x + 1
= lim
x→+∞
2
ex + 1/e2x
= lim
x→+∞
2
ex
= 0;
lim
x→−∞ sech(x) = limx→−∞
2ex
e2x + 1
= 0.
1.6 Func¸a˜o cotangente hiperbo´lica
Definic¸a˜o 6. A func¸a˜o cotangente hiperbo´lica cotgh e´ definida por
cotgh(x) =
1
tgh(x)
, ∀ x > 0.
4
A func¸a˜o cotgh e´ deriva´vel pois e´ a recı´proca de uma func¸a˜o deriva´vel. Em particular,
d
dx
(cotgh(x)) = − cosech2(x), pois,
−(tgh(x))′
tgh2(x)
= −sech
2(x)
tgh2(x)
= − 1
senh2(x)
.
Observe que para x→ 0+ tem-se cotgh(x) ≈ 1
ex − 1,
enquanto que para x→ +∞ tem-se cotgh(x) ≈ 1. De fato,
lim
x→0+ cotgh(x) = limx→0+
e2x + 1
e2x − 1 = limx→0+
e2x + 1
(ex − 1)(ex + 1) = limx→0+
1
ex − 1 = +∞;
lim
x→+∞ cotgh(x) = limx→+∞
e2x + 1
e2x − 1 = 1.
2 Propriedades das func¸o˜es hiperbo´licas
Proposic¸a˜o 7. As func¸o˜es hiperbo´licas satisfazem, em seus respectivos domı´nios, as seguintes proprieda-
des:
[1] cosh(x) + senh(x) = ex;
[2] cosh(x) − senh(x) = e−x;
[3] cosh2(x) − senh2(x) = 1;
[4] cosech2(x) = cotgh2(x) − 1;
[5] sech2(x) = 1 − tgh2(x);
[6] senh(−x) = − senh(x);
[7] cosh(−x) = cosh(x);
[8] tgh(−x) = − tgh(x);
[9] cotgh(−x) = − cotgh(x);
[10] sech(−x) = sech(x);
[11] cosech(−x) = − cosech(x);
[12] (senh(x))′ = cosh(x);
[13] (cosh(x))′ = senh(x);
[14] (tgh(x))′ = sech2(x);
[15] (cotgh(x))′ = − cosech2(x);
[16] (sech(x))′ = − sech(x) tgh(x);
[17] (cosech(x))′ = − cosech(x) cotgh(x).
5
3 Func¸o˜es hiperbo´licas inversas
3.1 Func¸a˜o seno hiperbo´lico inverso
Definic¸a˜o 8. A func¸a˜o seno hiperbo´lico inverso ou arco seno hiperbo´lico, arcosenh, e´ definida por
arcosenh(x) = ln(x +
√
x2 + 1), ∀ x ∈ R.
A func¸a˜o arcosenh e´ deriva´vel, pois e´ a composta de func¸o˜es deriva´veis. Em particular,
d
dx
(arcosenh(x)) =
1√
x2 + 1
.
3.2 Func¸a˜o cosseno hiperbo´lico inverso
Definic¸a˜o 9. A func¸a˜o cosseno hiperbo´lico inverso ou arco cosseno hiperbo´lico, arcocosh, e´ definida por
arcocosh(x) = ln(x +
√
x2 − 1), ∀ x ≥ 1.
A func¸a˜o arcocosh e´ deriva´vel, pois e´ a composta de func¸o˜es deriva´veis. Em particular,
d
dx
(arcocosh(x)) =
1√
x2 − 1
.
6
3.3 Func¸a˜o tangente hiperbo´lica inversa
Definic¸a˜o 10. A func¸a˜o tangente hiperbo´lica inversa ou arco tangente hiperbo´lica, arcotgh, e´ definida por
arcotgh(x) =
1
2
ln
(1 + x
1 − x
)
, ∀ |x| < 1.
A func¸a˜o arcotgh e´ deriva´vel, pois e´ a composta de func¸o˜es deriva´veis. Em particular,
d
dx
(arcotgh(x)) =
1
1 − x2 , pois,
(1 + x)′(1 − x) − (1 − x)′(1 + x)
(1 − x)2 =
2
(1 − x)2 ,
1 − x
1 + x
2
(1 − x)2 =
2
1 − x2 .
3.4 Func¸a˜o cosecante hiperbo´lica inversa
Definic¸a˜o 11. A func¸a˜o cosecante hiperbo´lica inversa ou arco cosecante hiperbo´lica, arcocosech, e´ definida
por
arcocosech(x) = ln
1 + √1 + x2x
 , ∀ x > 0.
A func¸a˜o arcocosech e´ deriva´vel, pois e´ a composta de func¸o˜es deriva´veis. Em particular,
d
dx
(arcocosech(x)) = − 1
x
√
1 + x2
.
7
3.5 Func¸a˜o secante hiperbo´lica inversa
Definic¸a˜o 12. A func¸a˜o secante hiperbo´lica inversa ou arco secante hiperbo´lica arcosech e´ definida por
arcosech(x) = ln
1 + √1 − x2x
 , ∀ 0 < x ≤ 1.
A func¸a˜o arcosech e´ deriva´vel, pois e´ a composta de func¸o˜es deriva´veis. Em particular,
d
dx
(arcosech(x)) = − 1
x
√
1 − x2
.
3.6 Func¸a˜o cotangente hiperbo´lica inversa
Definic¸a˜o 13. A func¸a˜o cotangente hiperbo´lica inversa ou arco cotangente hiperbo´lica arcocotgh e´ definida
por
arcocotgh(x) =
1
2
ln
(x + 1
x − 1
)
, ∀ x > 1.
A func¸a˜o arcocotgh e´ deriva´vel, pois e´ a composta de func¸o˜es deriva´veis. Em particular,
d
dx
(arcocotgh(x)) =
1
1 − x2 .
8
4 Propriedades das func¸o˜es hiperbo´licas inversas
Proposic¸a˜o 14. As func¸o˜es hiperbo´licas inversas satisfazem, em seus respectivosdomı´nios, as seguintes
propriedades:
[1] arcosech(x) = arcocosh(1/x);
[2] arcocosech(x) = arcosenh(1/x);
[3] arcocotgh(x) = arcotgh(1/x);
[4] cotgh(−x) = − cotgh(x);
[5] (arcosenh(x))′ =
1√
x2 + 1
;
[6] (arcocosh(x))′ =
1√
x2 − 1
;
[7] (arcotgh(x))′ =
1
1 − x2 ;
[8] (arcocotgh(x))′ =
1
1 − x2 ;
[9] (arcocosech(x))′ =
−1
x
√
1 + x2
;
[10] (arcosech(x))′ =
−1
x
√
1 − x2
.
Refereˆncia bibliogra´fica:
[HG ] Georgi, H. Physics of waves. Prentice-Hall, 1993.
[Ste ] Stewart, J. Ca´lculo. 7a Edic¸a˜o, Cengage, 2013.
[MT ] Rousseau, C., Saint-Aubin Y., Mathematics and Technology, SUMAT, Springer, 2008.
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