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Vetores - Tratamento Geométrico

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1 
 
Geometria Analítica 
Prof Luis Carlos 
Aula 1: Vetores – tratamento geométrico 
 
1. Segmentos orientados: 
Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos (A , B). 
 A é dito origem e B extremidade do segmento. 
 
 
 
 
 
 
(A , B): segmento orientado de A para B. 
(B , A): segmento orientado de B para A. 
Logo, (A , B)  (B , A) 
 
Observação: se A = B, temos um segmento orientado nulo. 
 
 Geometricamente, o segmento orientado (A , B) será indicado por uma flecha de A 
até B. 
 
Comprimento: 
A cada segmento orientado, podemos associar um número real (positivo ou nulo), 
seu comprimento, que é a sua medida. 
Utilizaremos u.c.: unidade de comprimento, para designar a unidade de medida 
do segmento. 
 
Direção e sentido: 
 Dados dois segmentos orientados não nulos (A , B) e (C , D) dizemos que eles têm 
mesma direção se as retas AB e CD são paralelas (ou coincidentes). Só podemos 
comparar os sentidos de dois segmentos orientados se eles têm mesma direção. 
 
 
A 
B 
2 
 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
2. Vetores: 
Um vetor é o conjunto de todos os segmentos orientados que têm a mesma 
direção (paralelos), o mesmo sentido e o mesmo comprimento. 
 
Exemplo: 
 
GH//EF//CD//AB
 
Notação: , 
AB
 ou B – A 
 
 
A B
C D
A B C D
A B
CD
AB C D
mesmo sentido
sentidos contrários
A B
C D
A B C D
A B
CD
AB C D
mesmo sentido
sentidos contrários
A
B
C
D
E
F
G
H
a
3 
 
 
Observações: 
i) Um mesmo vetor pode ter vários representantes: 
GHEFCDABa 
 
e, para citarmos um vetor, basta citar (ou desenhar) um deles. 
 
ii) A norma (ou módulo, ou comprimento) de um vetor é o comprimento de qualquer um 
de seus representantes. 
Notação: 
aoua
 
 
No exemplo acima, temos: 
GHEFCDAB 
 
 
Casos particulares de vetores: 
 
BA
: vetor oposto de 
AB
 
 
 
 
AAouO
: vetor nulo (a origem coincide com a extremidade) 
 Se 
a
 é tal que 
a
 = 1, então ele é um vetor unitário 
 Versor: a cada vetor não nulo 
a
 podemos associar dois vetores unitários de mesma 
direção 
u
 e - 
u
. 
Exemplo: 
 
A B
BA
a
- a
BA = - AB
A B
BA
a
- u
BA = - AB
u
4 
 
a
a
a
5
1
u
.c.u1uu
.c.u5a


 
 
O vetor 
u
 que tem mesmo sentido de 
a
 é um versor de 
a
. 
 
 Vetores paralelos: 
Exemplos: 
 
 Vetores ortogonais: 
Exemplos: 
 
 
 Vetores coplanares: quando estão no mesmo plano. 
Exemplos: 
 
coplanaressãowev,u
 
 
A B
BA
a
- u
BA = - AB
u
paralelos de mesmo sentido paralelos de sentidos contrários
u
v
w
x
A B
BA
a
- u
BA = - AB
u u
v
w
x
A B
BA
a
- u
BA = - AB
u
u
v
w
x
5 
 
 
veuacoplanarénãow
coplanaressãov,u 
 
 Observação: dois vetores quaisquer são sempre coplanares. 
 
Exercícios resolvidos: 
1) A figura abaixo é constituída por 9 quadrados congruentes: 
 
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): 
a) 
A B
BA
a
- u
BA = - AB
u
u
v
w
x
6 
 
(V) os vetores são iguais pois têm mesma direção, mesmo sentido e mesmo 
comprimento. 
b) 
(V) os vetores são iguais pois têm mesma direção, mesmo sentido e mesmo 
comprimento. 
c) 
(V) os vetores são iguais pois têm mesma direção, mesmo sentido e mesmo 
comprimento. 
d) 
(F) pois esses vetores têm sentidos opostos. 
e) 
(V) esses vetores têm mesma direção. 
f) 
(F) esses vetores não têm mesma direção. 
g) 
(V) esses vetores têm mesma direção. 
h) 
(V) esses vetores são ortogonais. 
i) 
(V) esses vetores são ortogonais. 
j) 
(F) esses vetores não são ortogonais. 
k) 
(V) esses vetores são ortogonais. 
l) 
(V) pois os comprimentos desses dois vetores são iguais. 
m) 
(V) pois os comprimentos desses dois vetores são iguais. 
 
 
 
7 
 
2) A figura abaixo representa um paralelepípedo retângulo: 
 
 
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): 
a) 
(V) os vetores são iguais pois têm mesma direção, mesmo sentido e mesmo 
comprimento. 
b) 
(F) o vetor 
HG
 é o vetor 
GH
 que tem sentido oposto ao do vetor 
AB
. 
c) 
(V) esses vetores são ortogonais. 
d) 
(V) esses vetores são ortogonais. 
e) 
(V) pois os comprimentos desses dois vetores são iguais. 
f) 
(V) pois os comprimentos desses dois vetores são iguais. 
g) 
(F) esses vetores não têm mesma direção. 
h) 
(F) esses vetores não estão no mesmo plano. 
i) 
(V) os vetores 
EGeFG,EFAB 
 estão no mesmo plano. 
 
 
 
8 
 
Operações com vetores 
 
1. Adição / Subtração de vetores: 
Vamos fazer a adição de vetores de duas maneiras: 
 
1.1. Consideremos um representante qualquer do vetor 
a
 = 
AB
 e o representante do 
vetor 
b
 que tem origem B. Seja C a extremidade deste último. Fica assim determinado o 
vetor 
AC
 que por definição é um representante do vetor soma de 
a
 com 
b
. 
 
Exemplo: 
 
 
1.2. Regra do paralelogramo: 
Consiste em tomar representantes de 
a
 e 
b
 com a mesma origem A e construir o 
paralelogramo ABCD. O vetor 
AC
 (uma das diagonais) é um representante do vetor 
soma 
a
 + 
b
 e o vetor 
DB
 (a outra diagonal) é um representante do vetor diferença 
a
 - 
b
. 
Exemplo: 
a
b
A
B
AB + BC = AC
DB = a - b
C
a
b
9 
 
 
Observação: 
a
 - 
b
 = 
a
 + (-
b
): soma do vetor 
a
 com o vetor oposto de 
b
. 
 
 
Observações: 
a) Sendo 
a
//
b
, temos: 
 
 
b) Para se determinar a soma de três vetores ou mais, o procedimento é análogo. 
Exemplo: 
a
b
A D
B C
AC = a + b
DB = a - b
a b
A
B
AB + BC = AC
DB = a - b
C
a
b
a + b
mesmo sentido
sentidos contrários
a
b
A
B
AB + BC = AC
DB = a - b
C
a
b
a + b
mesmo sentido
sentidos contrários
10 
 
 
 
Propriedades: 
P1 – comutativa: 
a
 + 
b
 = 
b
 + 
a
 
P2 – associativa: (
a
 + 
b
) + 
c
 = 
a
 + (
b
 + 
c
) 
P3 – elemento neutro: 
a
 + 
0
 = 
a
 
P4 – elemento oposto: 
a
 + (-
a
) = 0 
 
 
2. Multiplicação de número real por vetor: 
Sendo 
0v 
 e   0 ( é um número real), chama-se produto do número real  
pelo vetor 
v
, o vetor 
v
 tal que: 
i) Módulo: 
vv 
 
ii) Direção: 
v
//
v
 
iii) Sentido: 
v
 tem o mesmo sentido de 
v
, se  > 0; 
v
 tem o sentido oposto ao de 
v
, se  < 0. 
 
Exemplos: 
a
b
A
B
AB + BC = AC
DB = a - b
a
b
a + b
mesmo sentido
sentidos contrários
c C
D
c
a + b + c
AB + BC + CD = AD
11 
 
 
 
3. Soma de ponto com vetor: 
Dados P um ponto e 
v
 um vetor, definimos P + 
v
 = Q. Ou seja, a soma do ponto 
P com o vetor 
v
 é um ponto Q, sendo 
vPQ 
. 
 
Exemplo: 
 
 
Exercício resolvido: 
Com basena figura abaixo, determinar os vetores, expressando-os com origem no 
ponto A: 
a
b
A
B
AB + BC = AC
DB = a - b
3a
b
a + b
mesmo sentido
sentidos contrários
c
C
D
c
a + b + c
AB + BC + CD = AD
a -2b
A
B
AB + BC = AC
DB = a - b
3a
b
a + b
mesmo sentido
sentidos contrários
c
C
D
c
a + b + c
AB + BC + CD = AD
v
-2b
A
B
AB + BC = AC
DB = a - b
3a
b
a + b
mesmo sentido
sentidos contrários
c
C
D
c
a + b + c
AB + BC + CD = AD
P
Q
12 
 
 
a) = 
Solução: 
 
 
b) = 
Solução: 
 
 
c) = 
Solução: 
M N
L E
P
B
I
C DA
K
J H
O
F
G
M N
L E
P
B
I
C DA
K
J H
O
F
G
13 
 
 
 
d) = 
Solução: 
 
 
e) = 
Solução: 
 
 
f) = 
Solução: 
 
 
M N
L E
P
B
I
C DA
K
J H
O
F
GM N
L E
P
B
I
C DA
K
J H
O
F
G
EO = CM
M N
L E
P
B
I
C DA
K
J H
O
F
G
BL = MK
M N
L E
P
B
I
C DA
K
J H
O
F
G
-NP = PN = MC
MO = AM
14 
 
g) = 
Solução: 
 
 
h) = 
Solução: 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
CAMARGO, Ivan de; BOULOS, Paulo. Geometria Analítica: um tratamento vetorial. São 
Paulo: Pearson, 2010. 
 
STEINBRUCHY, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: Makron 
Books, 1987. 
 
WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Makron Books, 2000. 
 
 
 
M N
L E
P
B
I
C DA
K
J H
O
F
G
-NP = PN = MC
MO = AM
LP = AM
PN = MC
NF = CE
M N
L E
P
B
I
C DA
K
J H
O
F
G
-NP = PN = MC
MO = AM
LP = AM
PN = MC
NF = CE
BN = AM
BL = MK
PB = KA

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