Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Análise de Sensibilidade Fabiana Gomes dos Passos Referências • LACHTERMACHER, Gerson. Pesquisa operacional na tomada de decisões. 2. ed. rev. e atual. Rio de Janeiro: Elsevier, 2004. 384 p. Roteiro da aula • Conceito e objetivos da Análise de sensibilidade • Tipos básicos de análise de sensibilidade O que é Análise de Sensibilidade? • Oda et al. (2001) em seu estudo relata que na prática, a análise de sensibilidade deve ser feita para as variáveis que apresentam maior impacto nos custos, prazos ou outros resultados do projeto, ou seja, aquelas às quais o projeto é mais sensível. • De acordo com Salles (2004), a Análise de Sensibilidade é o procedimento que verifica qual o impacto sofrido no cronograma de um projeto, por exemplo, quando varia um determinado parâmetro relevante do projeto ou, o tempo de execução de determinada atividade. • Pode ser entendida como sendo o estudo da relação entre as variações no resultado de um modelo matemático e as diferentes fontes de variação dos dados de entrada do modelo. (SALALTELLI et al., 2008). 17 de outubro de 2012 O que é Análise de Sensibilidade? O que é Análise de Sensibilidade ou Análise de Pós-Otimização? 17 de outubro de 2012 O teste ou análise de sensibilidade é uma técnica que avalia a mudança de uma variável dentro do projeto, analisando o resultado desta variação sobre o seu planejamento inicial. O que é Análise de Sensibilidade? Em essência, a análise de sensibilidade responde a pergunta "O que faz a diferença nesta decisão?" Analisa o impacto que cada um dos parâmetros de um modelo pode causar em uma determinada métrica. 17 de outubro de 2012 O que é Análise de Sensibilidade? • Análise Univariada o Para avaliar a sensibilidade de um modelo e/ou projeto a uma determinada grandeza faz-se variar esta mantendo as demais constantes • Análise Multivariada o Consiste em variar mais do que uma grandeza em simultâneo 17 de outubro de 2012 Assim verifica-se até que ponto o projeto é sensível a determinadas variáveis Importância da Análise de Sensibilidade • Etapa muito importante na metodologia de Análise de Decisão. • É utilizada para: o Tomar melhores decisões; o Decidir quais dados estimados devem ser refinados antes de tomar uma decisão; o Concentrar-se nos elementos críticos durante a implementação. 17 de outubro de 2012 Importância da Análise de Sensibilidade • Permite avaliar impactos associados: o As alterações dos valores das variáveis de entrada e dos parâmetros do sistema. o Das mudanças estruturais em um modelo • Permite identificar os parâmetros que causam maior perturbação na performance do modelo. Deste modo, a análise de sensibilidade é realizada com o objetivo de definir a influência de alguns parâmetros (input) nos resultados (output) do modelo. 17 de outubro de 2012 Objetivos • Determinar os parâmetros que têm maior impacto nas saídas geradas pelo modelo; • Identificar gargalos do sistema (otimização); • Planejamento de experimentos; • Identificar possíveis erros de modelagem; • Identificar parâmetros insignificantes, que podem ser eliminados do modelo. 17 de outubro de 2012 Análise de sensibilidade na prática • A análise de sensibilidade tem sido aplicada principalmente nas seguintes áreas: o Física o Química o Estudos climáticos e ambientais o Economia o Análise de Risco o Processamento 17 de outubro de 2012 o Redes neurais o Avaliação de desempenho o Fabricação de novos produtos o Avaliar o emprego de novas tecnologias ou processo de fabricação Análise de sensibilidade • A análise de sensibilidade envolve, basicamente, investigar o efeito na solução ótima ao se realizar mudanças nos parâmetros do modelo de programação Linear Maximizar: Z = Sujeito a: x1, x2, ..., xn ≥ 0 n j jjxc 1 n j ijij mibxa 1 ),...,2,1( Análise de sensibilidade • Qual é o efeito de uma mudança no coeficiente da função- objetivo? • Qual é o efeito de uma mudança numa constante de uma restrição ? • Qual é o efeito de uma mudança num coeficiente de uma restrição ? Logo essa análise serve para medir a robustez do modelo! Análise de sensibilidade • Para pequenos problemas, seria simples verificar o efeito de uma série de mudanças nos valores de parâmetros, bastando replicar o método simplex a cada vez para ver se a solução ótima muda ou não; • No entanto, para problemas maiores, do tamanho típico encontrado na prática, essa análise exigiria um trabalho braçal bem significativo, ou uma carga de processamento tremendo, caso estivesse utilizando softwares como o solver do Excel, por exemplo ; • Através dessa necessidade foi elaborada quatro propriedades importantes do primal-dual, que revela imediatamente como quaisquer mudanças no modelo original modificariam os números no quadro final do simplex; Análise de sensibilidade • Dessa forma, após alguns cálculos simples para revisar esse quadro, pode- se verificar facilmente se a solução ótima original ainda permanece ótima ou, então, inviável ; • Em caso afirmativo essa solução seria usada como solução básica inicial para reiniciar o método simplex (ou o método simplex dual), para encontrar uma nova solução ótima, se desejado; • Se as alterações do modelo não forem grandes, serão necessárias apenas algumas poucas iterações para se chegar à nova solução a partir dessa solução básica inicial “adiantada”. Dois tipos básicos de Análise de Sensibilidade • Estabelece limites inferiores e superiores para todos os coeficientes da função objetivo e para as constantes das restrições: o Esse estudo é efetuado automaticamente pelo Excel e Lindo; o Considerando a hipótese de uma alteração a cada momento; • Verifica se mais de uma mudança simultânea em um problema altera a sua solução ótima: o Mais complexo e não é realizado automaticamente pelo Excel; o Pode ser feito através da alteração do problema e sua nova resolução. Dois tipos básicos de Análise de Sensibilidade • A maneira mais simples de se verificar o que se constitui esse estudo, é realizá-lo graficamente e posteriormente generalizar o resultado para um número maior de variáveis. • Vale ressaltar que este estudo está intimamente ligado ao problema Dual associado ao problema Primal. Alteração em um dos Coeficientes da Função Objetivo • Exemplo de análise dos limites dos coeficientes da função objetiva • As três retas pertencem a uma mesma família de retas, pois têm o ponto (25;20) em comum. • A única diferença entre elas está no coeficiente angular. • Podemos dizer que a mudança de um coeficiente da função objetivo Causará a alteração no coeficiente angular da função objetivo. Alteração em um dos Coeficientes da Função Objetivo Portanto enquanto o coeficiente angular da função objetiva estiver entre os das retas limites a solução ótima não se alterará. Matematicamente: Alteração em um dos Coeficientes da Função Objetivo A forma geral da função objetivo é dada por: Que na Forma declividade-Interseção é dada por: Será feito uma variação por vez, portanto manteremos constante primeiramente c2=30. Logo pode-se dizer que: Para estudarmosas variações possíveis de c2 manteremos c1 =40. Logo tem-se: Poderíamos então criar uma tabela resumindo os limites dos coeficientes das variáveis na função objetivo: Mantendo estes limites, podemos garantir que a solução ótima será a mesma! Exercício de Fixação • Faça a análise dos limites dos coeficientes da seguinte função objetiva: 21 25 xxZMax 0, 92 104 21 21 21 xx xx xx Exercício de Fixação CADEIRA MESA (0,12) Solução ótima (15,0) (0,0) (12,6) MCT = 8x1 + 6x2 (0,0) MCT = 0 (0,12) MCT = 72 (15,0) MCT = 120 (12,6) MCT = 132 0, 4842 6024:. 68 21 21 21 21 xx xx xxas xxZMax Faça a análise dos limites dos coeficientes da seguinte função objetiva: Alterando o valor da Constante da Restrição - Recursos • Uma mudança em qualquer das constantes das restrições pode também alterar a solução ótima de um problema. Geralmente acarreta uma alteração no conjunto de soluções viáveis, aumentando ou diminuindo o mesmo. 17 de outubro de 2012 Alterando o valor da Constante da Restrição - Recursos • A análise de sensibilidade através de limites é uma alteração resultante no valor da função objetivo devido ao incremento de uma unidade na constante de uma restrição é denominada preço- sombra (shadow price). A interpretação do preço-sombra é feita às vezes de custos ou receitas marginais, dependendo das variáveis envolvidas. 17 de outubro de 2012 Alterando o valor da Constante da Restrição - Recursos • Considere o problema abaixo, onde alteramos o nosso problema inicial modificando o valor da constante da segunda restrição de 9 para 15. 17 de outubro de 2012 Max Z = 15x1 + 2x2 Sujeito a: 4x1 + x2 ≤ 10(A) x1 + 2x2 ≤ 9(B) x1≥ 0 e x2 ≥ 0 Max Z = 15x1 + 2x2 Sujeito a: 4x1 + x2 ≤ 10(A) x1 + 2x2 ≤ 15 (B’) x1≥ 0 e x2 ≥ 0 Solução ótima Z = 37,5 x1 = 5/2 X2 = 0 Alterando o valor da Constante da Restrição - Recursos • A Figura mostra esta modificação graficamente, bem como a diferença no conjunto de soluções viáveis. Vale notar que esta mudança não alterou a solução ótima. A razão está no fato desta restrição não limitar a solução ótima. Neste caso as duas restrições que limitam a solução ótima são: 4x1 + x2 ≤ 10 e x1 ≥ 0. 17 de outubro de 2012 Max Z = 15x1 + 2x2 Sujeito a: 4x1 + x2 ≤ 10(A) x1 + 2x2 ≤ 15 (B’) x1≥ 0 e x2 ≥ 0 Alterando o valor da Constante da Restrição - Recursos • Considere agora o problema a seguir, em que alteramos a constante da primeira restrição de 10 para 15. Como esta restrição limita a solução ótima, seu valor será alterado. 17 de outubro de 2012 Max Z = 15x1 + 2x2 Sujeito a: 4x1 + x2 ≤ 15(A’) x1 + 2x2 ≤ 9 (B) x1≥ 0 e x2 ≥ 0 A figura mostra a alteração do conjunto de soluções viáveis e da solução ótima. Alterando o valor da Constante da Restrição - Recursos • A alteração de cinco unidades da constante da primeira restrição (10 para 15) provocou uma alteração no valor máximo da função objetivo de 37,5 para 56,25. Logo, o preço-sombra deste recurso pode ser obtido como: Preço-sombra = (56,25-37,5)/5 = 3,75 • Agora se alterarmos em 26 unidades ao invés de 5 unidades a constante da primeira restrição (10 para 36) provoca uma alteração no valor máximo da função objetivo de 37,5 para 135. Logo, o preço-sombra deste recurso pode ser obtido como: Preço-sombra = (135 – 37,5)/26 = 3,75 17 de outubro de 2012 Alterando o valor da Constante da Restrição - Recursos • Note que o valor do preço sombra é o mesmo. Isto acontece dentro de um intervalo de valores apenas. A solução gráfica desta segunda alteração do problema original está representada a seguir. 17 de outubro de 2012 Max Z = 15x1 + 2x2 Sujeito a: 4x1 + x2 ≤ 36 (A) x1 + 2x2 ≤ 9 (B) x1≥ 0 e x2 ≥ 0 Alterando o valor da Constante da Restrição - Recursos • Fazendo agora a terceira modificação no problema aumentando o valor da constante para 37 (qualquer número maior que 36), o modelo e sua solução gráfica seria o apresentado a seguir: 17 de outubro de 2012 Max Z = 15x1 + 2x2 Sujeito a: 4x1 + x2 ≤ 37 x1 + 2x2 ≤ 9 x1≥ 0 e x2 ≥ 0 • Repare que nessa alteração o valor da função objetivo continuou o mesmo (135); portanto, Preço-sombra = (135-135)/1 = 0,00 Alterando o valor da Constante da Restrição - Recursos • Vale notar que a primeira restrição deixou de ser limitante da solução ótima. As restrições limitante são agora x1 + 2x2 ≤ 9 e x1 ≥ 0. 17 de outubro de 2012 Max Z = 15x1 + 2x2 Sujeito a: 4x1 + x2 ≤ 37 x1 + 2x2 ≤ 9 x1≥ 0 e x2 ≥ 0 • Pode-se concluir que, enquanto a restrição continuar como limitante da solução ótima, o preço-sombra permanece a mesmo, tornando-se zero quando deixar de ser limitante da solução ótima. Exercício de Fixação CADEIRA MESA (0,12) Solução ótima (15,0) (0,0) (12,6) 0, 4842 6024:. 68 21 21 21 21 xx xx xxas xxZMax • Qual o preço sombra, quando se altera o valor da constante da restrição das seguintes restrições do seguinte problema? 0, 4842 6524:. 68 21 21 21 21 xx xx xxas xxZMax 0, 5542 6024:. 68 21 21 21 21 xx xx xxas xxZMax • Uma empresa de comida canina produz dois tipos de rações: Tobi e Rex. Para a manufatura das rações são utilizados cereais e carne. Sabe-se que: o a ração Tobi utiliza 5 kg de cereais e 1 kg de carne, e a ração Rex utiliza 4 kg de carne e 2 kg de cereais; o o pacote de ração Tobi custa $ 20 e o pacote de ração Rex custa $ 30; o o kg de carne custa $ 4 e o kg de cereais custa $ 1; o estão disponíveis por mês 10 000 kg de carne e 30 000 kg de cereais. • Deseja-se saber qual a quantidade de cada ração a produzir de modo a maximizar o lucro. Nosso modelo deseja maximizar o lucro (Z) a partir da quantidade de ração Tobi (x1) e de ração Rex (x2). Logo depois, faça a análise dos limites dos coeficientes. Exercício de Fixação 17 de outubro de 2012 Referências • LACHTERMACHER, Gerson. Pesquisa operacional na tomada de decisões. 2. ed. rev. e atual. Rio de Janeiro: Elsevier, 2004. 384 p.
Compartilhar