2ª Aula A definição de matrizes suas operações e os conceitos de Sistema Lineares via Matrizes

Prévia do material em texto

Álgebra Linear
Assunto: A definição de Matrizes, suas operações e
os conceitos de Sistema Lineares via Matrizes
Universidade Federal Rural do Semi-Árido - UFERSA
Campus Pau dos Ferros-RN
18 de fevereiro de 2016
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 1 / 1
MATRIZES
As matrizes, como veremos, além de serem em si mesmas um campo de
estudo, permitem trabalhar os sistemas lineares de forma mais
sistêmica.
Definição 1:
Uma MATRIZ m× n é uma tabela retangular de mn números reais ou
complexos organizados em m linha horizontais e n colunas verticais,
que representamos por:
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 1 / 1
MATRIZES
As matrizes, como veremos, além de serem em si mesmas um campo de
estudo, permitem trabalhar os sistemas lineares de forma mais
sistêmica.
Definição 1:
Uma MATRIZ m× n é uma tabela retangular de mn números reais ou
complexos organizados em m linha horizontais e n colunas verticais,
que representamos por:
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 1 / 1
A =

a11 a12 . . . . . . . . . a1n
a21 a22 . . . . . . . . . a2n
...
...
. . .
...
...
... aij
...
...
...
. . .
...
am1 am2 . . . . . . . . . amn

.
Dizemos que A é uma matriz de ordem m por n. Sua i-ésima linha é[
ai1 ai2 . . . ain
]
, 1 ≤ i ≤ m
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 2 / 1
e sua j-ésima coluna é
a1j
a2j
...
amj
 , 1 ≤ j ≤ n.
Observação
Se m = n, então dizemos que A é uma MATRIZ QUADRADA DE
ORDEM n. E os números a11, a22, . . . , ann formam o que chamamos de
DIAGONAL PRINCIPAL DE A.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 3 / 1
Referimo-nos ao número aij como i, j-ésimo elemento de A, ou o
elemento (i, j) de A e escrevemos a matriz como
A = [aij ].
Por exemplo,
A =
[
1 2 3
−1 0 1
]
é uma matriz de ordem 2× 3 é o 2, 3-ésimo elemento é
a23 = 1.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 4 / 1
Referimo-nos ao número aij como i, j-ésimo elemento de A, ou o
elemento (i, j) de A e escrevemos a matriz como
A = [aij ].
Por exemplo,
A =
[
1 2 3
−1 0 1
]
é uma matriz de ordem 2× 3 é o 2, 3-ésimo elemento é a23 = 1.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 4 / 1
Observação
Se A é uma matriz n× n, então as linhas de A são matrizes 1× n e as
colunas de A são matrizes n× 1. Assim podemos formar o conjunto de
todas as matrizes com elementos reais n× 1, que denotamos por Rn.
1 Um elemento de Rn é também chamado de VETOR;
2 A matriz
0 =

0
0
...
0

é dita VETOR NULO;
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 5 / 1
1 Denotaremos os vetores por letras minusculas.
Por exemplo,
u =

1
2
−1
0
 e v =

1
−1
3

são vetores em R4 e R3, respectivamente.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 6 / 1
Definição 2:
Duas matrizes m× n A = [aij ] e B = [bij ] são IGUAIS se todos os
elementos forem iguais
aij = bij , para i = 1, 2, . . . ,m e j = 1, 2, . . . , n.
Por exemplo,
As matrizes
A =

1 2 −1
2 −3 4
0 −4 5
 e B =

1 2 w
2 x 4
y −4 z

são iguais se, e somente se,
x = −3, y = 0, w = −1 e z = 5.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 7 / 1
Definição 2:
Duas matrizes m× n A = [aij ] e B = [bij ] são IGUAIS se todos os
elementos forem iguais
aij = bij , para i = 1, 2, . . . ,m e j = 1, 2, . . . , n.
Por exemplo,
As matrizes
A =

1 2 −1
2 −3 4
0 −4 5
 e B =

1 2 w
2 x 4
y −4 z

são iguais se, e somente se, x = −3, y = 0, w = −1 e z = 5.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 7 / 1
OPERAÇÕES COM MATRIZES
Definição 3:
Se A = [aij ] e B = [bij ] são ambas matrizes m× n, então a SOMA
A+B é uma matriz C = [cij ], m× n, definida por
cij = aij + bij , i = 1, 2, . . . ,m e j = 1, 2, . . . , n.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 8 / 1
Por exemplo,
Um fabricante de um determinado produto faz três modelos, A, B e C.
Cada modelo é parcialmente feito na fabrica F1 e finalizado na fabrica
F2. O custo total de cada produto consiste no custo de fabricação e no
custo de transporte. Sendo o custo em cada fabrica dado pelas matrizes:
Custo de Custo de
fabricação transporte
F1 =

32 40
50 80
70 20

Modelo A
Modelo B
Modelo C
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 9 / 1
E
Custo de Custo de
fabricação transporte
F2 =

40 60
50 50
130 20

Modelo A
Modelo B
Modelo C,
o custo total por produto é fornecido
pela matriz F1 + F2.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 10 / 1
E
Custo de Custo de
fabricação transporte
F2 =

40 60
50 50
130 20

Modelo A
Modelo B
Modelo C,
o custo total por produto é fornecido pela matriz F1 + F2.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 10 / 1
Definição 4:
Se A = [aij ] é uma matriz m× n e r é um número real, então
MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR DE A POR r, denotada por
rA,
é a matria C = [cij ] tal que
cij = raij , i = 1, 2, . . . ,m e j = 1, 2, . . . , n.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 11 / 1
Por exemplo,
Se r = −2 e A =
[
4 −2 −3
7 −3 2
]
, então
rA = −2
[
4 −2 −3
7 −3 2
]
=
[
(−2)4 (−2)(−2) (−2)(−3)
(−2)7 (−2)(−3) (−2)2
]
=[
−8 4 6
−14 6 −4
]
.
Observação
Se A e B são matrizes m× n, escrevemos A+ (−1)B como A−B e a
chamamos DIFERENÇA ENTRE A E B.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 12 / 1
Por exemplo,
Se r = −2 e A =
[
4 −2 −3
7 −3 2
]
, então
rA = −2
[
4 −2 −3
7 −3 2
]
=
[
(−2)4 (−2)(−2) (−2)(−3)
(−2)7 (−2)(−3) (−2)2
]
=
[
−8 4 6
−14 6 −4
]
.
Observação
Se A e B são matrizes m× n, escrevemos A+ (−1)B como A−B e a
chamamos DIFERENÇA ENTRE A E B.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 12 / 1
Por exemplo,
Se r = −2 e A =
[
4 −2 −3
7 −3 2
]
, então
rA = −2
[
4 −2 −3
7 −3 2
]
=
[
(−2)4 (−2)(−2) (−2)(−3)
(−2)7 (−2)(−3) (−2)2
]
=[
−8 4 6
−14 6 −4
]
.
Observação
Se A e B são matrizes m× n, escrevemos A+ (−1)B como A−B e a
chamamos DIFERENÇA ENTRE A E B.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 12 / 1
Por exemplo,
Se r = −2 e A =
[
4 −2 −3
7 −3 2
]
, então
rA = −2
[
4 −2 −3
7 −3 2
]
=
[
(−2)4 (−2)(−2) (−2)(−3)
(−2)7 (−2)(−3) (−2)2
]
=[
−8 4 6
−14 6 −4
]
.
Observação
Se A e B são matrizes m× n, escrevemos A+ (−1)B como A−B e a
chamamos DIFERENÇA ENTRE A E B.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 12 / 1
Em alguns momentos uma notação mais compacta será útil, por isso
veremos a notação de somatório, que é
n∑
i=1
ai
e significa
a1 + a2 + . . .+ an,
onde i é o índice de soma e pode ser substituída por qualquer
variável, ou seja,
n∑
i=1
ai =
n∑
j=1
aj =
n∑
k=1
ak = a1 + a2 + . . .+ an.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 13 / 1
E tem por propriedades:
1
n∑
i=1
(ri + si)ai =
n∑
i=1
riai +
n∑
i=1
siai;
2
n∑
i=1
c(riai) = c
n∑
i=1
riai;
3
n∑
j=1
(
m∑
i=1
aij) =
m∑
i=1
(
n∑
j=1
aij).
Observação
Com essa notação, se A1, A2, . . ., Ak são matrizes m× n e c1, c2, . . .,
ck são números reais, então
k∑
i=1
ciAi = c1A1 + c2A2 + . . .+ ckAk.
é chamada combinação linear de A1, A2, . . ., Ak e c1, c2, . . ., ck são
ditos coeficientes.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 14 / 1
E tem por propriedades:
1
n∑
i=1
(ri+ si)ai =
n∑
i=1
riai +
n∑
i=1
siai;
2
n∑
i=1
c(riai) = c
n∑
i=1
riai;
3
n∑
j=1
(
m∑
i=1
aij) =
m∑
i=1
(
n∑
j=1
aij).
Observação
Com essa notação, se A1, A2, . . ., Ak são matrizes m× n e c1, c2, . . .,
ck são números reais, então
k∑
i=1
ciAi = c1A1 + c2A2 + . . .+ ckAk.
é chamada combinação linear de A1, A2, . . ., Ak e c1, c2, . . ., ck são
ditos coeficientes.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 14 / 1
Definição 5:
Se A = [aij ] é uma matriz m× n, então a TRANSPOSTA de A,
AT = [aij
T ],
é a matriz n×m definida por
aij
T = aji.
Por exemplo,
Se A =
[
4 −2 3
0 5 −2
]
, então AT =

4 0
−2 5
3 −2
.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 15 / 1
Definição 5:
Se A = [aij ] é uma matriz m× n, então a TRANSPOSTA de A,
AT = [aij
T ],
é a matriz n×m definida por
aij
T = aji.
Por exemplo,
Se A =
[
4 −2 3
0 5 −2
]
,
então AT =

4 0
−2 5
3 −2
.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 15 / 1
Definição 5:
Se A = [aij ] é uma matriz m× n, então a TRANSPOSTA de A,
AT = [aij
T ],
é a matriz n×m definida por
aij
T = aji.
Por exemplo,
Se A =
[
4 −2 3
0 5 −2
]
, então AT =

4 0
−2 5
3 −2
.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 15 / 1
Para o próximo conceito a seguinte definição é importante.
Definição 6:
O PRODUTO ESCALA ou PRODUTO INTERNO de vetores em Rn,
a =

a1
a2
...
an
 e b =

b1
b2
...
bn

é definido por
a · b = a1b1 + a2b2 + . . .+ anbn =
n∑
i=1
aibi.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 16 / 1
Por exemplo,
para u =

1
−2
3
 e v =

2
3
−2

tem-se
u · v = 1 · 2 + (−2) · 3 + 3 · (−2) = −10.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 17 / 1
Por exemplo,
para u =

1
−2
3
 e v =

2
3
−2
 tem-se
u · v = 1 · 2 + (−2) · 3 + 3 · (−2) = −10.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 17 / 1
Definição 7:
Se A = [aij ] é uma matriz m× p e B = [bij ] é uma matriz p× n, então
o PRODUTO de A e B, representado por
AB,
é a matriz m× n C = [cij ] definida por
cij = ai1b1j + ai2b2j + . . .+ aipbpj =
p∑
k=1
aikbkj ,
onde 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 18 / 1
Ou seja, cada elemento da matriz produto AB é o resultado do produto
escalar da i-ésima linha de A transposta pela j-ésima coluna de B.
Por exemplo,
se A =
[
1 2 −1
3 1 4
]
e B =

−2 5
4 −3
2 1
, então
AB =
[
1(−2) + 2 · 4− 1 · 2 1 · 5 + 2(−3)− 1 · 1
3 · (−2) + 1 · 4 + 4 · 2 3 · 5 + 1(−3) + 4 · 1
]
=
[
4 −2
6 16
]
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 19 / 1
Ou seja, cada elemento da matriz produto AB é o resultado do produto
escalar da i-ésima linha de A transposta pela j-ésima coluna de B.
Por exemplo,
se A =
[
1 2 −1
3 1 4
]
e B =

−2 5
4 −3
2 1
, então
AB =
[
1(−2) + 2 · 4− 1 · 2 1 · 5 + 2(−3)− 1 · 1
3 · (−2) + 1 · 4 + 4 · 2 3 · 5 + 1(−3) + 4 · 1
]
=
[
4 −2
6 16
]
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 19 / 1
Ou seja, cada elemento da matriz produto AB é o resultado do produto
escalar da i-ésima linha de A transposta pela j-ésima coluna de B.
Por exemplo,
se A =
[
1 2 −1
3 1 4
]
e B =

−2 5
4 −3
2 1
, então
AB =
[
1(−2) + 2 · 4− 1 · 2 1 · 5 + 2(−3)− 1 · 1
3 · (−2) + 1 · 4 + 4 · 2 3 · 5 + 1(−3) + 4 · 1
]
=
[
4 −2
6 16
]
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 19 / 1
Ou seja, cada elemento da matriz produto AB é o resultado do produto
escalar da i-ésima linha de A transposta pela j-ésima coluna de B.
Por exemplo,
se A =
[
1 2 −1
3 1 4
]
e B =

−2 5
4 −3
2 1
, então
AB =
[
1(−2) + 2 · 4− 1 · 2 1 · 5 + 2(−3)− 1 · 1
3 · (−2) + 1 · 4 + 4 · 2 3 · 5 + 1(−3) + 4 · 1
]
=
[
4 −2
6 16
]
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 19 / 1
Observação
Como o número de linhas de A tem que ser igual ao número de colunas
de B, a ordem no produto de matrizes importa. Se A é m× p e B
é p× n, então AB é m× n,
Am×p ·Bp×n = ABm×n.
Já BA pode:
1 não está definida, se m 6= n;
2 está definida, se m = n;
3 AB = BA e AB 6= BA, se m = p = n.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 20 / 1
Por exemplo,
sendo A =
[
1 2
−1 3
]
e B =
[
2 1
0 1
]
, tem-se
AB =
[
2 3
−2 2
]
enquanto BA =
[
1 7
−1 3
]
.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 21 / 1
Por exemplo,
sendo A =
[
1 2
−1 3
]
e B =
[
2 1
0 1
]
, tem-se AB =
[
2 3
−2 2
]
enquanto BA =
[
1 7
−1 3
]
.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 21 / 1
Por exemplo,
sendo A =
[
1 2
−1 3
]
e B =
[
2 1
0 1
]
, tem-se AB =
[
2 3
−2 2
]
enquanto BA =
[
1 7
−1 3
]
.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 21 / 1
As vezes é útil poder encontrar uma coluna na matriz produto sem ter
que multiplicar as duas matrizes. Então, como fazemos isso?
Observando que
o produto Ac de uma matriz m× n por um vetor c, pode ser escrito
como uma combinação linear das colunas de A, onde os coeficientes são
os elementos de c,
pois
Ac =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
am1 am2 . . . amn
 ·

c1
c2
...
cn
 =
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 22 / 1

a11c1 + a12c2 + . . .+ a1ncn
a21c1 + a22c2 + . . .+ a2ncn
...
am1c1 + am2c2 + . . .+ amncn
 =
c1

a11
a21
...
am1
+ c2

a12
a22
...
am2
+ . . .+ cn

a1n
a2n
...
amn

Logo,
colj(AB) = Acolj(B) = b1jcol1(A) + b2jcol2(A) + . . .+ bpjcolp(A)
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 23 / 1

a11c1 + a12c2 + . . .+ a1ncn
a21c1 + a22c2 + . . .+ a2ncn
...
am1c1 + am2c2 + . . .+ amncn
 =
c1

a11
a21
...
am1
+ c2

a12
a22
...
am2
+ . . .+ cn

a1n
a2n
...
amn

Logo,
colj(AB) = Acolj(B) = b1jcol1(A) + b2jcol2(A) + . . .+ bpjcolp(A)
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 23 / 1
Por exemplo,
se A =

1 2
3 4
−1 5
 e B =
[
−2 3 4
3 2 1
]
, então
col1(AB) =
b11col1(A)+ b21col2(A) = − 2

1
3
−1
+3

2
4
5
 =

4
6
17

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 24 / 1
Por exemplo,
se A =

1 2
3 4
−1 5
 e B =
[
−2 3 4
3 2 1
]
, então
col1(AB) = b11col1(A)+ b21col2(A) =
− 2

1
3
−1
+3

2
4
5
 =

4
6
17

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 24 / 1
Por exemplo,
se A =

1 2
3 4
−1 5
 e B =
[
−2 3 4
3 2 1
]
, então
col1(AB) = b11col1(A)+ b21col2(A) = − 2

1
3
−1
+3

2
4
5
 =

4
6
17

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 24 / 1
Por exemplo,
se A =

1 2
3 4
−1 5
 e B =
[
−2 3 4
3 2 1
]
, então
col1(AB) = b11col1(A)+ b21col2(A) = − 2

1
3
−1
+3

2
4
5
 =

4
6
17

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 24 / 1
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARESVIA
MATRIZES
Com esse estudo podemos expressar sistemas lineares em função de um
produto de matrizes por um vetor, pois, se considerarmos as matrizes
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
am1 am2 . . . amn
 , x =

x1
x2
...
xn
 e b =

b1
b2
...
bm

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 25 / 1
já que,
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
...
...
...
...
ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn = bi
...
...
...
...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm,
tem-se
Ax =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
am1 am2 . . . amn


x1
x2
...
xn
 =

b1
b2
...
bm

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 26 / 1
já que,
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
...
...
...
...
ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn = bi
...
...
...
...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm,
tem-se
Ax =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
am1 am2 . . . amn


x1
x2
...
xn
 =

b1
b2
...
bm

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 26 / 1
já que,
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
...
...
...
...
ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn = bi
...
...
...
...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm,
tem-se
Ax =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
am1 am2 . . . amn


x1
x2
...
xn
 =

b1
b2
...
bm

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 26 / 1
Portanto,
Um sistema linear pode ser expresso na forma
Ax = b,
onde a matriz A é dita MATRIZ DOS COEFICIENTES do sistema
linear.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 27 / 1
1 Quando tomamos a matriz
a11 a12 . . . a1n p b1
a21 a22 . . . a2n p b2
...
...
... p
...
am1 am2 . . . amn p bm

obtida pela união em bloco b com A dizemos que temos a MATRIZ
AUMENTADA do sistema linear;
2 Qualquer matriz com mais de uma coluna pode ser entendida como
a matriz aumentada de um sistema linear;
3 Se o sistema for homogêneo, então pode ser escrito como
Ax = 0
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 28 / 1
Por exemplo,
para o sistema linear
−2x+ z = 5
2x+ 3y − 4z = 7
3x+ 2y + 2z = 3
temos
A =

−2 0 1
2 3 −4
3 2 2
 , x =

x
y
z
 e b =

5
7
3
 ,
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 29 / 1
Por exemplo,
para o sistema linear
−2x+ z = 5
2x+ 3y − 4z = 7
3x+ 2y + 2z = 3
temos
A =

−2 0 1
2 3 −4
3 2 2
 ,
x =

x
y
z
 e b =

5
7
3
 ,
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 29 / 1
Por exemplo,
para o sistema linear
−2x+ z = 5
2x+ 3y − 4z = 7
3x+ 2y + 2z = 3
temos
A =

−2 0 1
2 3 −4
3 2 2
 , x =

x
y
z

e b =

5
7
3
 ,
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 29 / 1
Por exemplo,
para o sistema linear
−2x+ z = 5
2x+ 3y − 4z = 7
3x+ 2y + 2z = 3
temos
A =

−2 0 1
2 3 −4
3 2 2
 , x =

x
y
z
 e b =

5
7
3
 ,
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 29 / 1
onde A é a matriz dos coeficientes e
−2 0 1 p 5
2 3 −4 p 7
3 2 2 p 3

é a matriz aumentada.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 18 de fevereiro de 2016 30 / 1