23ª Aula Definição e exemplos de Transformações Lineares

Prévia do material em texto

Álgebra Linear
Assunto: Definição e exemplos de Transformações
Lineares
Universidade Federal Rural do Semi-Árido - UFERSA
Campus Pau dos Ferros-RN
9 de maio de 2016
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 9 de maio de 2016 1 / 16
DEFINIÇÃO E EXEMPLOS DE TRANSFORMAÇÕES
LINEARES
Até aqui já vimos dois tipos de funções entre espaços vetoriais, as trans-
formações matriciais de Rn em Rm e os isomorfismos. Ambas são casos
particulares das transformações lineares, funções que nos permitem
”trabalhar” da mesma forma em espaços vetoriais de natureza distintas.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 9 de maio de 2016 1 / 16
Definição: 1
Sejam V e W espaços vetoriais. Uma função L : V →W é chamada
transformação linear de V em W se
(a) L(u+ v) = L(u) + L(v) para todo u e v em V ;
(b) L(cu) = cL(u) para todo u ∈ V e c ∈ R.
Quando V = W chamamos L : V → V de Operador Linear. E
observamos que um isomorfismos é uma transformação linear bijetora.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 9 de maio de 2016 2 / 16
EXEMPLOS
Exemplo 1:
Toda transformação matricial é uma transformação linear.
Pois, toda transformação matricial L : Rn → Rm é definida por
L(u) = Au,
onde A a matriz m× n associada a L, obtendo que
(a) se u, v ∈ Rn, então L(u+ v) = A(u+ v) = Au+Av = L(u) +L(v);
(b) se u ∈ Rn e c ∈ R, então L(cu) = A(cu) = cAu = cL(u).
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 9 de maio de 2016 3 / 16
EXEMPLOS
Exemplo 1:
Toda transformação matricial é uma transformação linear.
Pois, toda transformação matricial L : Rn → Rm é definida por
L(u) = Au,
onde A a matriz m× n associada a L, obtendo que
(a) se u, v ∈ Rn, então L(u+ v) = A(u+ v) = Au+Av = L(u) +L(v);
(b) se u ∈ Rn e c ∈ R, então L(cu) = A(cu) = cAu = cL(u).
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 9 de maio de 2016 3 / 16
EXEMPLOS
Exemplo 1:
Toda transformação matricial é uma transformação linear.
Pois, toda transformação matricial L : Rn → Rm é definida por
L(u) = Au,
onde A a matriz m× n associada a L, obtendo que
(a) se u, v ∈ Rn, então L(u+ v) = A(u+ v) = Au+Av = L(u) +L(v);
(b) se u ∈ Rn e c ∈ R, então L(cu) = A(cu) = cAu = cL(u).
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 9 de maio de 2016 3 / 16
Exemplo 2:
Seja L : R3 → R3 definida por
L


u1
u2
u3

 =

u1 + 1
2u2
u3
 .
É L uma transformação linear?
Como
(a) se u, v ∈ R3, então
L(u+ v) = L


u1
u2
u3
+

v1
v2
v3

 = L


u1 + v1
u2 + v2
u3 + v3


(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 9 de maio de 2016 4 / 16
Implicando,
L(u+ v) =

(u1 + v1) + 1
2(u2 + v2)
u3 + v3
 .
Mas,
L(u) + L(v) =

u1 + 1
2u2
u3
+

v1 + 1
2v2
v3
 =

(u1 + v1) + 2
2(u2 + v2)
u3 + v3
 ,
donde vemos que L(u+ v) 6= L(u) +L(v) para todo u e v. Logo, L não
é uma transformação linear.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 9 de maio de 2016 5 / 16
Observação
Assim, mais um meio de sabermos se um conjunto S = {v1, v2, . . . , vn}
de um espaço V de dimV = n é uma base de V , é verificarmos,
conhecendo um isomorfismos L : V → Rn, se
{L(v1), L(v2), . . . , L(vn)}
é uma base de Rn.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 9 de maio de 2016 6 / 16
Por exemplo,
verifiquemos se S = {t2 + t, t+ 1, t− 1} é uma base de P2 sabendo que
L : P2 → R3 definida por L(at2 + bt+ c) =

a
b
c
 é um isomorfismo de
P2 em R3.
Calculamos então,
L(t2 + t) =

1
1
0
 , L(t+ 1) =

0
1
1
 e L(t− 1) =

0
1
−1
 .
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 9 de maio de 2016 7 / 16
E verificamos se são L.I.. Assim, como
det


1 0 0
1 1 1
0 1 −1

 = −2,
obtemos que são uma base de R3 e segue que S é uma base de P2.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 9 de maio de 2016 8 / 16
Agora, podemos ver algumas propriedades das transformações lineares:
Teorema 1:
Se L : V →W uma transformação linear, então:
(a) L(0V ) = 0W ;
(b) L(u− v) = L(u)− L(v), para todo u, v ∈ V .
Demonstração.
(a) Vemos que L(0V ) = L(0V + 0V ) = L(0V ) + L(0V ). Implicando que
L(0V )− L(0V ) = L(0V ) + L(0V )− L(0V ), donde 0W = L(0V );
(b) Como L(u− v) = L(u+ (−1)v) = L(u) + (−1)L(v), segue o
resultado para todo u, v ∈ V .
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 9 de maio de 2016 9 / 16
Agora, podemos ver algumas propriedades das transformações lineares:
Teorema 1:
Se L : V →W uma transformação linear, então:
(a) L(0V ) = 0W ;
(b) L(u− v) = L(u)− L(v), para todo u, v ∈ V .
Demonstração.
(a) Vemos que L(0V ) = L(0V + 0V ) = L(0V ) + L(0V ). Implicando que
L(0V )− L(0V ) = L(0V ) + L(0V )− L(0V ), donde 0W = L(0V );
(b) Como L(u− v) = L(u+ (−1)v) = L(u) + (−1)L(v), segue o
resultado para todo u, v ∈ V .
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 9 de maio de 2016 9 / 16
Assim, verificar que L(0V ) = 0W não é suficiente para dizer que uma
função L é uma transformação, mas L(0V ) 6= 0W é necessário para
dizer que não é uma transformação.
Por exemplo,
a função L : R3 → R3 definida por
L
([
u1 u2 u3
])
=
[
1 u3 u2
]
não é uma transformação linear, pois
L
([
0 0 0
])
=
[
1 0 0
]
6=
[
0 0 0
]
.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 9 de maio de 2016 10 / 16
Teorema 2:
Sejam S = {v1, v2, . . . , vn} uma base de V e L : V →W uma
transformação linear. Se v ∈ V , então L(v) é completamente
determinado por {L(v1), L(v2), . . . , L(vn)}.
Demonstração.
Como v = a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn, segue que
L(v) = L(a1v1+a2v2+· · ·+anvn) = a1L(v1)+a2L(v2)+· · ·+anL(vn).
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 9 de maio de 2016 11 / 16
Por exemplo,
Sejam L : R4 → R2 uma transformação linear e S = {v1, v2, v3, v4} uma
base de R4, onde v1 =
[
1 0 1 0
]
, v2 =
[
0 1 −1 2
]
,
v3 =
[
0 2 2 1
]
e v4 =
[
1 0 0 1
]
. Encontremos
L
([
3 −5 −5 0
])
,
já que L(v1) =
[
1 2
]
, L(v2) =
[
0 3
]
, L(v3) =
[
0 0
]
e
L(v4) =
[
2 0
]
.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 9 de maio de 2016 12 / 16
Fazendo, [
3 −5 −5 0
]
= a1v1 + a2v2 + a3v3 + a4v4,
obtemos um sistema e resolvendo-o encontramos o vetor de coordenada
[
[ 3 −5 −5 0 ]
]
S
=

2
1
−3
1
 .
Assim,
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 9 de maio de 2016 13 / 16
L
([
3 −5 −5 0
])
= 2L(v1)+L(v2)−3L(v3)+1L(v4) = 2
[
1 2
]
+[
0 3
]
− 3
[
0 0
]
+
[
2 0
]
=
[
4 7
]
.
E finalizemos sabendo que,
Teorema 3
Seja L : Rn → Rm uma transformação linear e {e1, e2, . . . , en} a base
canônica de Rn. Se x =

x1
x2
...
xn
 ∈ Rn e A é a matriz m× n, cuja
j-ésima coluna é L(ej), então L(x) = Ax.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 9 de maio de 2016 14 / 16
Além disso, A é a única matriz que satisfaz essa igualdade. Assim é
dita matriz canônica de L.
Por exemplo,
se L : R3 → R2 é dada por L


x1
x2
x3

 =
[
x1 + 2x2
3x2 − 2x3
]
encontremos
sua matriz canônica.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 9 de maio de 2016 15 / 16
Consideramos a base canônica {e1, e2, e3} do R3 e calculamos L(ej):
L(e1) = L


1
0
0

 =
[
1
0
]
, L(e2) = L


0
1
0

 =
[
2
3
]
e
L(e3) = L


0
0
1

 =
[
0
−2
]
.
E obtemos, portanto,
A =
[
1 2 0
0 3 −2
]
.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 9 de maio de 2016 16 / 16