1. Transformações Lineares: Definição e Propriedades Neste trabalho vamos estudar as Funções Vetoriais cujos domínio e contradomínio são Espaços Ve...

1. Transformações Lineares: Definição e Propriedades
Neste trabalho vamos estudar as Funções Vetoriais cujos domínio e contradomínio são Espaços Vetoriais Reais. Assim sendo estas funções levarão vetores em vetores. Em especial iremos estudar as Transformações Lineares. Para dizer que T é uma Transformação Linear do Espaço Vetorial V no Espaço Vetorial W escrevemos :T V W→ . Para exemplificar vamos considerar a Transformação Linear 2 3:T R R→ definida por ( ) ( ), , 2 ,T x y x y y x= + , assim temos por exemplo que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1,2 1 2,2 2,1 3,4,1 1,1 1 1,2 1, 1 0,2, 1 0,0 0 0,2 0,0 0,0,0 T T T = +  = − = − +  − = − = +  =

DEFINIÇÃO: Sejam V e W Espaços Vetoriais. Uma função :T V W→ é chamada Transformação Linear de V em W se, e somente se: ( ) ( ) ( ) ( ) T v w T v T w T v T v  + = + = , ,u v V R   

Uma Transformação Linear :T V V→ é chamada Operador Linear.

Observações: I. Em toda transformação linear :T V W→ a imagem do vetor 0 V é o vetor 0 W . II. Este resultado caracteriza as transformações lineares :T R R→ como ( )T x ax= cujos gráficos são retas passando pela origem do plano cartesiano. III. As transformações lineares 2 2:T R R→ são definidas por ( ) ( ), ,T x y ax by cx dy= + + . IV. Generalizando, as transformações lineares : n mT R R→ são definidas de tal forma que as coordenadas da imagem são funções lineares nas variáveis 1 2, ,..., nx x x . 4

4) Seja 2V = . Fazer um gráfico de um vetor genérico ( ),v x y do domínio e de sua imagem ( )T v sob a transformação linear 2 2:T → dada por:
a) ( ) ( ), 2 ,0T x y x=
SOLUÇÃO:

b) ( ) ( ), 2 ,T x y x y=
SOLUÇÃO:

c) ( ) ( ), 2 , 2T x y x y= − −
SOLUÇÃO: 12

f) Propriedade 1: Uma transformação linear :T V W→ é injetora se, e somente se:    ( ) / ( ) 0 0N T v V T v=  = = Como  ( ) 0N T  a transformação não é injetora.