Estatística - Cap. 5 - EXERCÍCIOS

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ESCOLA DE ENGENHARIA DE LORENA – EEL – USP
ESTATÍSTICA
Capítulo 5: Variáveis Aleatórias Discretas – EXERCÍCIOS
5.1 Considere uma urna contendo 3 bolas vermelhas e 5 pretas. Retire 3 bolas, uma a uma, sem reposição, e defina como variável aleatória X, aquela variável que indica o número de bolas pretas obtidas. Apresente a distribuição de probabilidades de X.
Resposta:
	xi
	0
	1
	2
	3
	P(xi)
	1/56
	15/56
	30/56
	10/56
5.2 Resolva o exercício 5.1, mas considerando as extrações com reposição.
Resposta:
	xi
	0
	1
	2
	3
	P(xi)
	27/512
	135/512
	225/512
	125/512
5.3 Uma moeda perfeita é lançada 4 vezes. Seja Y o número de resultados “Cara” obtidos. Apresente a distribuição de probabilidades de Y.
Resposta:
	yi
	0
	1
	2
	3
	4
	P(yi)
	1/16
	4/16
	6/16
	4/16
	1/16
 
5.4 Suponha que uma variável aleatória “V” tenha a seguinte distribuição de probabilidades:
	vi
	0
	1
	P(vi)
	q
	1 – q
Obtenha E(V) e V(V)
Resposta: E(V) = 1 – q V(V) = q . (1 – q)
5.5 Seja “X” uma variável aleatória com distribuição de probabilidades dada por:
	xi
	0
	1
	2
	P(xi)
	1/2
	1/4
	¼
 
 Considere Y = (x –a)2 e calcule E(Y) para a = 0 ; a = ¼ ; a = ½ ; a = ¾ ; e a = 1.
 
Resposta:
	A
	0
	¼
	1/2
	3/4
	1
	E(x – a)2
	10/8
	15/16
	6/8
	11/16
	6/8
 
5.6 O tempo T, em minutos, necessário para um operário processar certa peça, é uma variável aleatória com a seguinte distribuição de probabilidades:
	T
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	P(T)
	0,1
	0,1
	0,3
	0,2
	0,2
	0,1
 Calcule o tempo médio de processamento.
Resposta: 4,6 minutos
 
5.7 Se X = b(n, p); e sabendo-se que E(X) = 12 e 
(X) = 3; determine:
 a) n b) p c) p( x < 12) d) E(Z); V(Z); sendo Z = 
Resposta: a) n = 16 b) p = ¾ c) 0,3668 d) E(Z) = 0; V(Z) = 1
5.8 Num certo tipo de fabricação de fita magnética ocorrem cortes a uma taxa de 1 por 2.000 pés. Qual a probabilidade de que um rolo com 2.000 pés de fita magnética tenha:
a) nenhum corte?
b) no máximo dois cortes?
c) pelo menos dois cortes?
Resposta: a) 0,36788 b) 0,9197 c) 0,2642
5.9 Suponha que a probabilidade de que um item produzido por uma máquina seja defeituoso é de 0,2; se 10 itens produzidos por essa máquina forem selecionados ao acaso; qual será a probabilidade de que não mais do que 1 defeituoso seja encontrado? Use a binomial e a distribuição de Poisson e compare os resultados.
Reposta: Binomial = 0,3758 Poisson = 0,4060
5.10 Determinar a probabilidade de haver meninas em uma família com 3 crianças, admitindo-se as mesmas probabilidades para ambos os sexos em um nascimento. Apresentar a distribuição de probabilidades da variável.
Resposta: 
	xi
	0
	1
	2
	3
	P(xi)
	1/8
	3/8
	3/8
	1/8
5.11 Sabe-se que uma determinada moeda apresenta “CARA” três vezes mais freqüentemente que “COROA”. Essa moeda é jogada três vezes. Seja X o número de caras obtido. Estabeleça a distribuição de probabilidades de X.
Resposta:
	xi
	0
	1
	2
	3
	P(xi)
	1/64
	9/64
	27/64
	27/64
5.12 De um lote que contém 25 peças, das quais 5 são defeituosas, são escolhidas 4 ao acaso, com reposição. Seja X o número de defeituosas encontradas. Apresentar a distribuição de probabilidades de variável X.
Resposta:
	xi
	0
	1
	2
	3
	4
	P(xi)
	(4/5)4
	(4/5)4
	96/54
	16/54
	1/54
5.13 Um lote contém dez artigos perfeitos e três defeituosos. Escolhem-se quatro artigos ao acaso do lote, com reposição, um a um. Determinar a distribuição de probabilidade de X, que indica o número de artigos defeituosos entre os escolhidos.
Resposta:
	xi
	0
	1
	2
	3
	P(xi)
	(10/13)4
	12000/134
	5400/134
	1080/134
5.14 De um lote que contém 25 peças, das quais 5 são defeituosas, são escolhidas 4 ao acaso, sem reposição. Seja X o número de defeituosas encontradas. Apresentar a distribuição de probabilidades de variável X.
Resposta:
	xi
	0
	1
	2
	3
	4
	P(xi)
	0,3830
	0,4506
	0,1502
	0,0158
	0,0004
5.15 Um lote contém dez artigos perfeitos e três defeituosos. Escolhem-se quatro artigos ao acaso do lote, sem reposição, um a um. Determinar a distribuição de probabilidade de X, que indica o número de artigos defeituosos entre os escolhidos.
Resposta:
	xi
	0
	1
	2
	3
	P(xi)
	0,2937
	0,5035
	0,1888
	0,0140
5.16 Se X apresentar uma distribuição de Poisson com parâmetro 
 e se P(x = 0) = 0,2, calcular P( x > 2).
Resposta: P(x > 2) = 0,219
5.17 Num teste do tipo “certo-errado”, com 50 questões, qual é a probabilidade de que um aluno acerte 80% das questões, supondo que ele as responda ao acaso?
Resposta: 0,0000091
5.18 No exercício 5.17 considere que o teste seja do tipo com 5 alternativas em cada questão.
Resposta: 1,21 . 10-19
5.19 Em um dado experimento binomial com 3 provas; a probabilidade de exatamente 2 sucessos é 12 vezes superior do que a probabilidade de exatamente 3 sucessos. Encontre p.
Resposta: p = 0,20
5.20 No sistema abaixo, cada componente tem probabilidade p de funcionar. Supondo independência de funcionamento dos componentes.
�
 Qual a probabilidade de:
a) o sistema funcionar?
b) o sistema não funcionar?
c) exatamente dois componentes funcionarem?
d) pelo menos cinco componentes funcionarem?
Resposta: a) p10 b) 1 – p10 c) 45 . p2 . q8 = 45 . p2 . (1 – p)8 
5.21 Qual é a esperança matemática de uma pessoa ganhar um prêmio de US$ 10,00; sendo sua probabilidade de acerto igual a 1/5?
Resposta: E( R ) = US$ 2,00
5.22 Ache a esperança matemática para uma variável aleatória que pode assumir os valores da tabela abaixo:
	X
	8
	12
	16
	20
	24
	P(X)
	1/8
	1/6
	3/8
	1/4
	1/12
Resposta: E(X) = 16
5.23 Se uma pessoa adquirir um bilhete de loteria, poderá ganhar um primeiro prêmio de US$ 5.000,00 ou um segundo prêmio de US$ 2.000,00; com as seguintes probabilidades, respectivamente: 0,001 e 0,003. Qual é o valor da esperança matemática da pessoa?
Resposta: E( R ) = US$ 11,00
5.24 Em uma certa especulação comercial uma pessoa pode ter um lucro de US$ 300,00; com a probabilidade de 0,6; ou um prejuízo de US$ 100,00; com uma probabilidade de 0,4. Determinar a esperança matemática da pessoa.
Resposta: E( R ) = US$ 140,00
5.25 Os valores abaixo representam a distribuição de probabilidade de D, a procura diária de um certo produto. Calcule E(D).
	D
	1
	2
	3
	4
	5
	P(d)
	0.1
	0,1
	0,3
	0,3
	0,2
Resposta: E(D) = 3,4
5.26 Sabe-se que um lote contém 2 peças defeituosas e 8 não-defeituosas. Se essas peças forme inspecionadas ao acaso, uma após a outra, qual será o número esperado de peças que devem ser escolhidas, afim de removerem-se todas as peças defeituosas?
Resposta: E(x) = 22/3 
5.27 Suponha que D, a demanda diária de uma peça seja uma variável aleatória com a seguinte distribuição de probabilidade:
 P(D = d) = C . 
; sendo d = 1, 2, 3, 4
Calcular a constante C;
Calcular a demanda esperada.
Resposta: a) C = 1/6
E(D) = 19/9
5.28 Cada dia que uma pessoa joga na loteria, ela tem uma probabilidade de ganhar igual a 1/1.000 independentemente dos resultados anteriores. Se ele jogar 30 dias, qual a probabilidade de ganhar ao menos uma vez?
Resposta: 0,0296
5.29 Calcular o número esperado da soma de pontos, no lançamento de dois dados.
Resposta: E(X) = 7
5.30 A experiência indica que 15% dos que reservam mesa em um restaurante, nunca aparecem. Se o restaurante tem 60 mesas e aceita 62 reservas, qual a probabilidade de poder acomodar todos os que comparecerem?
5.31 Qual o número mínimo de jogadas de uma moeda é necessário para assegurar uma probabilidade superior a 0,74 de se obter ao menos uma cara?
 
C1
C2
C3
C4C5
C6
C7
C8
C9
C10
_1376311795.unknown
_1376394142.unknown
_1376999018.unknown
_1376311519.unknown