ângulo entre vetores

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Álgebra Linear – Prof Mestre Matusalém Vieira Martins - Aula
Ângulos entre vetores
Quando o ângulo q entre dois vetores V e W é reto ( = 90º), ou um deles é o vetor nulo, dizemos que os vetores V e W são ortogonais ou perpendiculares entre si. Vamos definir, agora, um produto entre dois vetores, cujo resultado é um escalar. Por isso ele é chamado produto escalar. Este produto tem aplicação, por exemplo, em Física: o trabalho realizado por uma força é o produto escalar do vetor força pelo vetor deslocamento, quando a força aplicada é constante.
Definição 3.1. 
O produto escalar ou interno de dois vetores V e W é definido por
se V ou W é o vetor nulo, caso contrário, em que é o ângulo entre eles.
Quando os vetores são dados em termos das suas componentes não sabemos diretamente o ângulo entre eles. Por isso, precisamos de uma forma de calcular o produto escalar que não necessite do ângulo entre os vetores.
Se V e W são dois vetores não nulos e q é o ângulo entre eles, então pela lei dos cossenos,
∣∣V −W∣∣2 = ∣∣V∣∣2 + ∣∣W∣∣2 − 2∣∣V∣∣ ∣∣W∣∣ cos .
Assim,
V ⋅W = ∣∣V∣∣ ∣∣W∣∣ cos = (∣∣V∣∣2 + ∣∣W∣∣2 − ∣∣V −W∣∣2)					(3.6)
Já temos então uma fórmula para calcular o produto escalar que não depende diretamente do ângulo entre eles. Substituindo-se as coordenadas dos vetores em (3.6) obtemos uma expressão mais simples para o cálculo do produto interno.
Por exemplo, se V = (v1, v2, v3) e W = (w1,w2,w3) são vetores no espaço, então substituindo-se 
∣∣V∣∣2 = v12 + v22+ v32 , ∣∣W∣∣2 = w12 + w22 + w32 
e ∣∣V −W∣∣2 = (v1 –w1)2 + (v2 – w2)2 + (v3 – w3)2 em (3.6) os termos vi2 e w12 são cancelados e obtemos
V ⋅W = v1 w1 + v2 w2 + v3 w3.
Teorema 3.2. 
O produto escalar ou interno, V ⋅W, entre dois vetores é dado por
V ⋅W = v1 w1 + v2 w2,
se V = (v1, v2) e W = (w1,w2) são vetores no plano e por
V ⋅W = v1 w1 + v2 w2 + v3 w3,
se V = (v1, v2, v3) e W = (w1,w2,w3) são vetores no espaço.
Exemplo 3.8. 
Sejam V = (0, 1, 0) e W = (2, 2, 3). O produto escalar de V por W é dado por
V ⋅W = v1 w1 + v2 w2 + v3 w3 = 0 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 3 = 2 .
Ângulo de dois vetores
Podemos usar o Teorema 3.2 para determinar o ângulo entre dois vetores não nulos, V e W. O cosseno do ângulo entre V e W é, então, dado por 
.
Se V e W são vetores não nulos e q é o ângulo entre eles, então
(a) q é agudo (0 ≤ q < 90º) se, e somente se, V.W > 0,
(b) q é reto (q = 90º) se, e somente se, V ⋅W = 0 e
(c) q é obtuso (90º < q ≤ 180º) se, e somente se, V ⋅W < 0.
Exemplo 3.9. 
Vamos determinar o ângulo entre uma diagonal de um cubo e uma de suas arestas. 
Sejam V1 = (1, 0, 0), V2 = (0, 1, 0) e V3 = (0, 0, 1)
(Figura 3.18). 
Uma diagonal do cubo é representada pelo vetor D dado por
D = V1 + V2 + V3 = (1, 1, 1) .
Então o ângulo entre D e V1 satisfaz
ou seja,
Teorema 3.3. 
Sejam U,V e W vetores e a um escalar. São v´alidas as seguintes propriedades:
(a) (comutatividade) U ⋅ V = V ⋅ U;
(b) (distributividade) U ⋅ (V +W) = U ⋅ V + U ⋅W;
(c) (associatividade) a(U ⋅ V) = (U) ⋅ V = U ⋅ (V);
(d) V ⋅ V = ∣∣V∣∣2 ≥ 0, para todo V e V ⋅ V = 0 se, e somente se, V = .
Demonstração.
Sejam U = (u1, u2, u3), V = (v1, v2, v3) e W = (w1,w2,w3).
(a) U ⋅ V = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 = v1 u1 + v2 u2 + v3 u3 = V ⋅ U;
(b) U ⋅ (V +W) = (u1, u2, u3) ⋅ (v1 +w1, v2 +w2, v3 +w3) = 
u1 (v1 +w1)+u2(v2 + w2)+u3(v3 +w3) = (u1 v1 +u1 w1)+(u2 v2 +u2 w2)+(u3 v3 +u3 w3) = 
(u1 v1 + u2 v2 + u3 v3) + (u1 w1 + u2 w2 + u3 w3) = U ⋅ V + U ⋅W;
(c) (U ⋅ V) = (u1 v1 + u2 v2 + u3 v3) = (u1)v1 + (u2)v2 + (u3)v3 = (U) ⋅ V;
(d) V ⋅ V = ∣∣V∣∣2 é uma soma de quadrados, por isso é sempre maior ou igual a zero e é zero se, e somente se, todas as parcelas são iguais a zero.