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UNIDADE II: TEORIA DA ESTIMAÇÃO PAU DOS FERROS - RN OUTUBRO DE 2016 UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E TECNOLÓGICAS CURSO: BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA DISCIPLINA: ESTATÍSTICA BASES TECNOLÓGICAS (EMENTA): Ementa: 2 I Estatística descritiva Conjuntos e probabilidades Variáveis aleatórias. Distribuições de probabilidade. II Distribuições especiais de probabilidade. Teoria da amostragem. Teoria da estimação. III Testes de hipóteses. Regressão linear Correlação. SUMÁRIO - TEORIA DA ESTIMAÇÂO Estimação por ponto Estimação por intervalo Intervalos de confiança para a amostra e população; Amostras Grandes - População Normal e não- Normal Intervalos de confiança para a proporção 3 Teoria da Estimação 4 TEORIA DA ESTIMAÇÂO Estimação. Um dos métodos para realizar inferências a respeito dos parâmetros é a estimação – TEORIA DA ESTIMAÇÂO; Este método utiliza as estimativas dos parâmetros populacionais; Existem dois tipos de estimação de um parâmetro populacional: estimação por ponto e a estimação por intervalo. 5 Estimação por ponto A partir das observações, usando o estimador, procura-se encontrar um valor numérico único (estimativa) que esteja bastante próximo do valor verdadeiro do parâmetro. Este procedimento não permite julgar a magnitude do erro que podemos estar cometendo, mas a distribuição por amostragem dos estimadores e que torna possível o estudo das qualidades do estimador. 6 Ex.1. ????? Estimação por ponto Na estimativa pontual, raramente os estimadores estatísticos coincidem com os valores populacionais. Assim, é importante delimitar a faixa de valores onde o parâmetro populacional deve ser procurado. Isso ocorre através das estimativas intervalares. A média amostral é a melhor estimativa pontual para a média populacional. 7 Estimação por ponto 8 Esse mi é populacional n = tamanho da população Estimativa intervalar: variância conhecida Usando o teorema central do limite, a média amostral 𝑋 é uma variável aleatória que tem distribuição normal com: Transformando essa média em uma variável aleatória (VA) normal padrão, temos: 9 Juntando os parâmetros=𝜇; 𝜎; 𝑛 ESTIMADORES PONTUAIS DOS PRINCIPAIS PARÂMETROS POPULACIONAIS 10 Exemplo - Estimação por ponto Exemplo 1: Para avaliar a taxa de desemprego em determinado estado, escolhe-se uma amostra aleatória de 1.000 habitantes em idade de trabalho e contam-se os desempregados, que nesse caso, é igual a 87. Estimar a proporção de desempregados em todo o estado. 11OBS 1 Estimação por intervalo Procura determinar um intervalo que contenha o valor do parâmetro populacional, com certa margem de segurança. Este procedimento permite julgar a magnitude do erro que podemos estar cometendo. Essa estimativa consiste em uma amplitude (ou um intervalo) de valores, no qual se admite ser parâmetro populacional. 12 Estimação por intervalo Com base na amostra, uma maneira de expressar a precisão da estimação é calcular os limites de um intervalo, o Intervalo de Confiança (IC); É dito como (1−α ), ou seja, a probabilidade de que o verdadeiro valor do parâmetro esteja contido nele. Portanto, 13 OBS 2 Estimação por intervalo CARACTERÍSTICAS Formalizando, se denotarmos o parâmetro de interesse por θ, desejamos obter um intervalo com LIMITE INFERIOR - I e LIMITE SUPERIOR - S, tal que: 14 teta Estimação por intervalo CARACTERÍSTICAS Quando se constrói um intervalo de confiança são determinados dois limites entre os quais se espera estar o parâmetro da população, de acordo com um risco conhecido de erro (ou nível de confiança). 15 Estimação por intervalo CARACTERÍSTICAS Os limites deste intervalo são variáveis aleatórias, pois dependem da amostra selecionada. Um intervalo deste tipo é chamado de intervalo de 1 - α (×100)%, que pra esse caso, tem-se a confiança para o parâmetro θ. 16 Nível de significância Intervalos de confiança Estimação por intervalo A precisão com que se conhece θ depende da amplitude deste intervalo dada por S – I. Quanto menor esta amplitude melhor estará o parâmetro. 17 Limite superior Limite inferior Estimação por intervalo A figura abaixo ilustra o conceito de intervalo de confiança. 18 Mede o grau de confiança AMOSTRA 5 = menos confiável AMOSTRA 7 = mais confiável Estimação por intervalo O verdadeiro valor do parâmetro estará contido em 1−α (×100) %; Observe que algumas estimativas de intervalos incluem e outras não incluem o verdadeiro valor do parâmetro da população; Ao retirarmos uma amostra e calcularmos um intervalo de confiança, não sabemos na verdade se o parâmetro da população se encontra naquele intervalo calculado; O importante é saber utilizar um método tal como 1−α (×100) % referente a probabilidade de sucesso. 19 Intervalos de confiança para a média de uma população normal com variância conhecida Consideremos uma população normal com média desconhecida que desejamos fazer uma estimação e com variância conhecida: X = N (𝜇1; 𝜇2); 20 Observações Estimação por intervalo GRÁFICO DA TEORIA DA ESTIMAÇÃO. 21 Parâmetro a esquerda Parâmetro a direita Estimação por intervalo Exemplos 2: A duração de vida de uma peça de equipamento é tal que σ = 5 horas. Foram amostradas aleatoriamente 100 dessas peças, obtendo-se uma média de 500 horas. Construir um intervalo de confiança para a verdadeira duração média da peça com um nível de 95% de confiança. 22 Estimação por intervalo 23 Procurar na tabela Z negativa O valor de z para 0,025... 𝟏 − 𝜶=95% nível de significância Nível de significância 005 ou 5% ?? 24 Tabela Z = 1,96 Z- = NEGATIVA 25 Tabela Z = 1,96 Z+ = POSITIVA 1,00 - 0,9750 = 0,0250 ou 2,50% 26 Estimação por intervalo Para os casos de populações finitas, multiplica-se o desvio padrão pelo fator de correção, gerando o IC: 27 Lado esquerdo ou negativo da tabela Z Lado direito ou positivo da tabela Z Estimação por intervalo 2. Admitindo os mesmos dados do exemplo anterior, consideremos como população a produção de 1000 peças. Considere os dados exemplo anterior. 28 Dados anterior σ = 5 n = 100 N = 1000 Nesse caso o intervalo para a média será (499,07; 500,93). Z = 1,96 Média=500 OBS 3 Estimação por intervalo Substituindo os dados na fórmula, temos o intervalo de confiança solicitado, significando que: 95% de confiança diz a duração média da peça que está entre 499,02 e 500,98 horas. Portanto, se fossem construídos intervalos dessa mesma maneira, para um grande número de amostras, em 95% dos casos os intervalos incluiriam µ 29 Amostras Grandes - População Normal ou não Normal Se n é suficientemente grande (em geral, n > 30), mesmo sem conhecermos a distribuição da população, os limites do Intervalo de Confiança para a média (µ) poderão ser calculados com base na distribuição Normal padrão. Da mesma forma podemos utilizar o desvio padrão amostral S no lugar de σ (desvio-padrão populacional), caso este não seja conhecido. 30 Intervalos de confiança para a proporção Lembramos que quando p populacional é conhecida, tem distribuição aproximadamente normal P ≅ 𝑁 (𝑝, 𝑝𝑞/𝑛); Para construirmos o IC para p desconhecida, determinaremos o pˆ na amostra e consideramos: 31 Intervalos de confiança para a proporção Logo, ao nível α de significância, temos: Desenvolvendoos cálculos, como foi feito para a média, chegamos à formula do IC para a proporção p populacional. 32 p = condição favorável q = condição desfavorável p + q = 1,0 Intervalos de confiança para a proporção Exemplo 3: Para se estimar a porcentagem de alunos de um curso favoráveis à modificação do currículo escolar, tomou-se uma amostra de 100 alunos, dos quais 80 foram favoráveis. A) Calcular o IC para a proporção de todos os alunos do curso favoráveis à modificação ao nível de 4% de significância (Intervalo de C = 96%). B) Qual o valor do erro de estimação ocorrido no intervalo acima? 33 Intervalos de confiança para a proporção Resposta da questão anterior: DADOS: 34 OBS 4 IC = Z-; Z+ Procurar = 2% ? 35 Intervalos de confiança para a proporção Temos uma confiança de 96% que de 71,8% a 88,2% dos alunos do curso serão favoráveis à modificação curricular. 36 OBS 5 prova – segunda avaliação Data da prova: (Turma 1): 18/10/2016 (Turma 2): 18/10/2016 Data da entrega do exercício + Fichamento: (Turma 1): até a data da prova – ANTES da prova; (Turma 2): até a data da prova – ANTES da prova; 37
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