Lista 4 com gabarito de geometria analitica

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UFF - Universidade Federal Fluminense
IME - Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica
GGM - Departamento de Geometria
Prof. Luiz Manoel.
Lista Extra 4
1. Identifique e fac¸a um esboc¸o das qua´dricas a seguir:
(a)
x2
9
+
y2
4
= 1.
(b) x2 +
y2
9
− z2 = 1.
(c) x2 + 4y2 = z2.
(d) z =
x2
4
+ y2.
(e) z2 − 4x2 − y2 = 1.
(f) z = y2 − 4x2.
2. Encontre a equac¸a˜o do elipso´ide de centro na origem e eixo paralelo aos eixos coordenador
e que passa pelos pontos (2,−1, 1), (−3, 0, 0) e (1,−1,−2). (Sugesta˜o: usar a forma Ax2 +
By2 + Cz2 = 1).
3. Achar a equac¸a˜o do parabolo´ide de ve´rtice em (0, 0, 0) e eixo OY que passa pelos pontos
(1,−2, 1) e (−3,−3, 2).
4. Encontre o lugar geome´trico dos pontos que deslocam do espac¸o tal que a soma das
distaˆncias a (2, 3, 4) e (2,−3, 4) permanece igual a 8. Identifique a superf´ıcie obtida.
5. Encontre o lugar geome´trico dos pontos que deslocam do espac¸o tal que a diferenc¸a entre
sua distaˆncia a (−4, 3, 1) e (4, 3, 1) e´ igual a 6.
6. Descreva por equac¸o˜es parame´tricas as retas contidas na qua´drica z = y2 − 4x2 e que
contenham o ponto (1, 3, 5).
7. Descreva por equac¸o˜es parame´tricas as retas contidas na qua´drica x2 + y2 − z2 = 1 e que
contenham o ponto (1, 1, 1).
8. Considere a famı´lia de qua´dricas
(λ2 − 4)x2 + (2− λ)y2 + 2(λ− λ2)z = λ− 1
Classifique a qua´drica em func¸a˜o do paraˆmetro λ.
9. Considere a famı´lia de qua´dricas
(k2 − 4)x2 + (1− k2)y2 + (k + 1)z2 = k
Classifique a qua´drica em func¸a˜o do paraˆmetro k.
1
1. (a)
x2
9
+
y2
4
= 1. Cilindro el´ıptico eixo-z.
(b) x2 +
y2
9
− z2 = 1. Hiperbolo´ide de 1 folha eixo -z.
(c) x2 + 4y2 = z2. Cone el´ıptico eixo-x.
2
(d) z =
x2
4
+ y2. Parabolo´ide el´ıptico eixo-z.
(e) z2 − 4x2 − y2 = 1. Hiperbolo´ide de 2 folhas eixo-z.
(f) z = y2 − 4x2. Parabolo´ide hiperbo´lico.
3
2. x2 + 4y2 + z2 = 9.
3. y2 = x2 − 3z2.
4. Elipso´ide dado por
(x− 2)2)
7
+
y2
16
+
(z − 4)2
7
= 1.
5. Hiperbolo´ide de 2 folhas eixo-x dado por
x2
9
− (y − 3)
2
7
− (z − 1)
2
7
= 1.
6.
r1 :
 x = 1 + ty = 3 + 2t
z = 5 + 4t
e s5 :
 x = 1− ky = 3 + 2k
z = 5 + 20k
7.
r0 :
 x = 1− ty = 1
z = 1− t
e s1 :
 x = 1y = 1 + k
z = 1 + k
8. (a) λ < −2. Parabolo´ide el´ıptico eixo-z.
(b) λ = −2. Cilindro parabo´lico eixo-x
(c) −2 < λ < 0. Parabolo´ide hiperbo´lico eixo-z.
(d) λ = 0. Cilindro hiperbo´lico eixo-z.
(e) 0 < λ < 1. Parabolo´ide hiperbo´lico eixo-z.
(f) λ = 1. Duas retas concorrentes.
(g) 1 < λ < 2. Parabolo´ide hiperbo´lico eixo-z.
(h) λ = 2. Plano.
(i) λ > 2. Parabolo´ide hiperbo´lico eixo-z.
9. (a) k < −2. Hiperbolo´ide 1 folha eixo-x.
(b) k = −2. Cilindro el´ıptico eixo-x.
(c) −2 < k < −1. Elipso´ide.
(d) k = −1. Dois planos paralelos.
(e) −1 < k < 0. Hiperbolo´ide de 2 folhas eixo-x.
(f) k = 0. Cone el´ıptico eixo-x.
(g) 0 < k < 1. Hiperbolo´ide 1 folha eixo-x.
(h) k = 1. Cilindro hiperbo´lico eixo-x.
(i) 1 < k < 2. Hiperbolo´ide de 2 folhas eixo-z.
(j) k = 2. Cilindro hiperbo´lico eixo-x.
(k) k > 2. Hiperbolo´ide 1 folha eixo-y.
4