Lista de exercícios de Derivada

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Tópicos de Matemática Aplicada — 2016/02 — Turma B1
Lista de exercícios 5 (Outubro de 2016)
1. Considere a função h(x) = x3 − x.
(a) Encontre os pontos críticos de h. (Lembre que um ponto crítico de h é um
ponto x em que a derivada h′(x) vale zero.)
(b) Determine o(s) intervalo(s) em que h é crescente e o(s) intervalo(s) em que h é
decrescente.
(c) Encontre os pontos de mínimo e de máximo locais de h.
(d) Responda: h tem máximo global? h tem mínimo global?
2. Considere a função f(x) = 3x4 + 4x3 + 5.
(a) Encontre os pontos críticos de f .
(b) Determine o(s) intervalo(s) em que f é crescente e o(s) intervalo(s) em que f é
decrescente.
(c) Encontre os pontos de mínimo e de máximo locais de f .
(d) Responda: f tem máximo global? f tem mínimo global?
3. Encontre os pontos de mínimo e de máximo (locais e globais) da função dada por
g(x) = x3 − 12x, com domínio x ∈ [−3, 5].
4. (Desafio.) Um pedaço de arame de comprimento L será cortado em duas partes.
Uma parte será usada para formar um quadrado, e a outra para formar um círculo.
Como se deve cortar o pedaço para que a soma das áreas do quadrado e do círculo
seja (a) mínima? (b) máxima?
Os exercícios indicados a seguir referem-se ao texto
L. D. Hoffmann e G. L. Bradley, Cálculo: um curso moderno e suas aplicações,
!! 9a Edição !! , ltc, 2007.
Seção 3.1: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9 a 34 (faça tantos quantos quiser/puder), 45, 46.
Seção 3.5: 13, 15, 19.
1
Respostas:
1. (a) x1 = −1/
√
3 e x2 = +1/
√
3;
(b) h é crescente nos intervalos (−∞, x1] e [x2,+∞) e é decrescente no intervalo
[x1, x2];
(c) x2 = 1/
√
3 é ponto de mínimo local e x1 = −1/
√
3 é ponto de máximo local;
(d) não e não.
2. (a) 0 e −1;
(b) f é decrescente no intervalo (−∞,−1] e é crescente no intervalo [−1,+∞);
(c) x = −1 é ponto de mínimo, f não tem pontos de máximo;
(d) x = −1 é ponto de mínimo global (e o valor mínimo de f é 4); f não tem
máximo global.
3. Pontos de máximo local: −2 e 5.
Pontos de mínimo local: −3 e 2.
Ponto de máximo global: 5 (valor máximo de g: g(5) = 65).
Ponto de mínimo global: 2 (valor mínimo de g: g(2) = −16).
4. (a) Usar 4L/(4 + pi) para fazer o quadrado, e o restante (piL/(4 + pi)) para o círculo.
(b) Usar todo o arame para o círculo, sem cortá-lo.
2